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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A B A D C D B
1．D
本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，已知两直角边，利用勾股定理求斜边．
解：∵在中，两直角边分别为，，
∴第三边（斜边）为．
故选D．
2．C
本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键．
勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和的条件，即可解答．
解：勾股数需为正整数且满足，
对于A：，不符合；
对于B：，，不是正整数，不符合；
对于C：，相等，且均为正整数，符合；
对于D：，不符合；
故选C．
3．A
本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度．
解：根据网格可知，，
，
，
，
，
故选：A．
4．A
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解．
解：∵，，
∴，
∴
在中，，
∴，
故选：A．
5．B
本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
6．A
本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为28，
∴，
∴，又，
∴，
设，，
∵，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得，即，
解得，
即，
故选：A．
7．D
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③．
解：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
由①中证明，
，
，，
，
，
连接，
，
，
，，
，
故②正确；
设与的交点为，
，，
，，
，
故④正确；
，，
，
故③不正确，
故选：D．
8．C
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答．
解：∵，
∴，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意．
故选：C．
9．D
本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
解：在中，根据勾股定理得到，
即，
解得，
故选：D．
10．B
本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027，
故选：B．
11．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和．根据，因此为斜边，和为直角边．代入已知值计算即可．
解：在中，，如果，
由勾股定理得：．
故答案为：．
12．
由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论．
解：，，，
，
是直角三角形，，
．
，，
，
，
，
是直角三角形，．
故答案为：．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键．
13．
本题考查了勾股定理的应用．
连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解．
解：如图，连接，

由题意可知：，
在直角三角形和中，
，
即，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论．
解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
解：如图：
，
设，过作于，
则由题知，，，．
在中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）为寸．
故答案为：．
16．
本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解．
解：依题意，在中，，；
据勾股定理可得：，
故小汽车的速度为s．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）由，可得，再根据勾股定理求出，即可求解．
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
18．（1）；（2）
本题考查了二次根式的混合运算，勾股定理及其逆定理，三角形面积法求高的知识点，掌握二次根式的化简方法，勾股定理逆定理的应用以及面积法求线段长度是解题的关键．
（1）先化简各二次根式，再去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式
（2）先利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，再用面积法求高．
解：（1） 原式
(2)∵在中，，，
∴
∴
∴
∴是直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴
19．(1)任选一个即可，证明见解析
(2)，理由见解析
本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
（1）根据图中面积关系即可得证；
（2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证．
（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：；
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：；
（2）解：，，满足的关系是，
，，
，
．
20．（1）①；②；（2），，见解析；（3）2
（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②由，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．
解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴；
故答案为：①；②；
（2），
理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，
∴，，，
，
即，
在和中，
，
∴（），
∴，；
；
（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，，
∴
∴，
∴，，，
∴在中，．
故答案为：2．
本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)新路比原路少0.2千米
此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案．
（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米．
22．(1)能安全通过，理由见解析
(2)
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解.
（1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过.
（2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度.
（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下：
如图①，为卡车的宽度．
过点分别作的垂线交半圆于两点，
连接，过点作于点E，
则，
所以．
因为，
所以在中，由勾股定理，得，所以，
所以．
因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞．
（2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点．
过点E作于点F，交半圆于点B，
连接，过点作，交的延长线于点G．
根据题意可知，，所以．
在中，根据勾股定理，得，
所以．
故此桥洞的宽至少应增加到．
23．(1)共用时4秒
(2)该车超速，理由见详解
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可
（1）解：依题意可得，，
∴，为直角三角形
∵米，米，
∴米，
，
∴
答∶共用时4秒；
（2）解：超速，理由如下∶
，
∵，
∴该车超速．
24．（1）是直角三角形，理由见解析；（2）或或2；（3）米或米或米
（1）由勾股定理的逆定理可得出结论；
（2）分三种情况，根据等腰三角形的定义和勾股定理讨论求解即可；
（3）先利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，再证明为等腰直角三角形，丙利用勾股定理求出的长，接着分三种情况，，根据等腰三角形的定义和勾股定理求解即可．
解：（1）是直角三角形，理由如下：
在中，，
∴，，，
∴
∴是直角三角形；
（2）①如图，当时，则，
∴，
∴；

②如图，当时，则，
∴，
∴，
∴；

③当满足时，也满足是等腰三角形；
综上所述，当为等腰三角形时，或或2；
（3）∵米，米，米，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
又∵米，且点D在延长线上，
∴米，
∴米，
∴为等腰直角三角形，
∴，米，
①当时，则，

∴，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
②当时，则，

∴，
∴米，
∴米，
③当米时，

则米，
综上所述，为等腰三角形时，米或米或米．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．(共7张PPT)
人教版2024 八年级下册
第二十章 勾股定理
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 2
较易 3
适中 18
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 用勾股定理解三角形
2 0.85 勾股树（数）问题
3 0.75 勾股定理与网格问题
4 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
5 0.65 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
6 0.65 利用勾股定理的逆定理求解；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
7 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
8 0.65 判断三边能否构成直角三角形
9 0.65 求河宽(勾股定理的应用)
10 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股树（数）问题
三、知识点分布
二、填空题 11 0.84 求一个数的算术平方根；用勾股定理解三角形
12 0.75 利用勾股定理的逆定理求解
13 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积
14 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；线段垂直平分线的性质；等边对等角
15 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
16 0.65 判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 含30度角的直角三角形；全等的性质和HL综合（HL）；用勾股定理解三角形
18 0.75 判断三边能否构成直角三角形；二次根式的加减运算；二次根式的混合运算
19 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股定理的证明方法
20 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；全等三角形综合问题；旋转模型(全等三角形的辅助线问题)；等边三角形的判定和性质
21 0.65 勾股定理的证明方法；用勾股定理解三角形
22 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
23 0.65 判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
24 0.4 利用勾股定理的逆定理求解；二次根式的应用；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，两直角边分别是，，则第三边等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（）
A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12
3．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
7．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④
C．①③④ D．①②④
8．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2027 C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．在中，，如果，那么 ．
12．如图，在中，，，，，则的度数为 ．

13．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是 ．
14．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ．
15．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸．
16．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．

三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（1）计算：．
（2）如图，在中，于点，，，．求的长．
19．在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
20．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：
①的度数为_______；
②线段、之间的数量关系为_______；
【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______．
21．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？
22．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为．
(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．
(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
23．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米．
(1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．
24．【问题提出】
（1）如图①，在中，（其中），猜测是什么三角形，并说明理由．
【问题探究】
（2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号）
【问题解决】
（3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，当种植栀子花的区域（为等腰三角形时），直接写出的长．（结果保留根号）．

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