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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二章不等式与不等式组单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A A D D D D C D
1．A
本题考查解一元一次不等式，先移项，再在不等式的两边除以即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
解：移项，得，
不等式两边除以，得，
即，
故选：．
2．A
本题考查不等式的基本性质．
根据不等式两边同时乘以负数时不等号方向改变，可判断选项A正确，根据不等式两边同时减去同一数时不等号方向不变，可判断选项B错误，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项C错误，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项D错误．
解：∵，∴，A正确；
∵，∴，B错误；
∵，∴，C错误；
∵，∴，D错误；
故选：A．
3．A
本题主要考查了解一元一次不等式，根据已知等式，得到，，再由得到，求出，再由即可求出答案．
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为19，
故选：A．
4．A
本题主要考查求不等式组中参数的范围，根据题意，列出关于参数a的不等式组，是解题的关键．
先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围．
解：解不等式组，得
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为3, 4, 5，
∴，
解得，
故选：A．
5．D
本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可．
解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值．
联立两直线解析式：，
解得，代入解析式求得．
故选：D．
6．D
本题考查一次函数的图象与性质．
根据一次函数的图象与性质逐一判断即可．
解：∵一次函数中，，，
∴图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故选项B、C错误；
∵当时，，
∴图象不经过，选项A错误；
∵当时，，随的增大而减小，
∴当时，，选项D正确；
故选：D．
7．D
本题考查了不等式的应用．
根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可．
解：设租36座的车x辆，
由题意得，
故选：D．
8．D
本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解．
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：
在数轴上表示为：
故选：D．
9．C
本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解一元一次不等式．
根据二次根式的非负性，绝对值的非负性得到，根据解不等式即可．
解：∵，
∴，
且，
，
，
，
．
故选：C．
10．D
本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可．
解：∵方程 的解为整数，
展开得，即，
∴为整数，
故为偶数，
∵5为奇数，
∴为奇数，即为奇数，
对于不等式组 ，
解不等式①，可得，即，
∴，
解不等式②，可得，两边乘5得，
即，
∴，
∴，
故该不等式组的解为且，
∵有且仅有3个整数解，
∴整数解为，
∴，
∴，即，
∴为整数，可能值为，
又∵为奇数，故或15，
当时，，为整数；
当时，，为整数．
且不等式组整数解均为，满足条件．
∴满足条件的整数和为．
故选：D．
11．
本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式．
先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可．
解：解原方程得．
∵原方程的解是正数，即，
，
解得．
故答案为：．
12．
本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案．
解：∵关于x的不等式组的解集是，
∴，
故答案为：．
13．1（答案不唯一）
根据不等式的性质，不等式两边同时除以后，不等号方向没有改变，说明除数是正数，因此，只需写出一个正数即可．
解：已知不等式两边同时除以，得到．
不等号方向没有改变，说明．
因此，的值可以是 1．
故答案为：．
本题考查了不等式的基本性质，解题关键是根据不等号方向是否改变，判断除数的符号．
14．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，平方差公式，勾股定理的知识点，掌握利用函数图像确定不等式解集的方法是解题的关键．
先利用平方差公式将已知条件转化，结合勾股定理求出的长度得到点的坐标，再根据判断直线走向，确定不等式的解集．
解：，
，即，
∴点的坐标为．
由图可知，不等式的解集为．
故答案为：．
15．28
本题主要考查了一元一次不等式的应用、公倍数的应用，熟练掌握根据实际问题列不等式及求最小公倍数的方法是解题的关键．
设班级总人数为，根据题意表示出踢足球的学生人数．根据“踢足球的学生不足6人”列出不等式，求出的取值范围．结合必须是2、4、7的公倍数，求出满足条件的最小．
解：设该班有个学生．
，
∵，
∴，
是2、4、7的公倍数，且2、4、7的最小公倍数为28，
．
故答案为：28．
16．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
17．(1)；
(2)；
本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变．
（1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集；
（2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解．
（1）解：，
移项得，即，
系数化为1，两边同时除以2得．
（2）解：，
两边同时乘以6去分母得，
去括号得，
合并右边常数项得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1，两边同时除以5得．
18．的值为或1
本题考查了一元一次不等式的整数解，方程的解，解题的关键是准确熟练地进行计算．
先按照解一元一次不等式的步骤求出解集，并得到整数解，然后代入方程求出的值．
解：解不等式，得．
解不等式，得．
同时满足不等式和，
．
是整数，
或．
将代入方程，
得，
解得；
将代入方程，得，解得．
综上所述，的值为或．
19．(1)
(2)5
本题考查换元法解二元一次方程组，二元一次方程组与不等式：
（1）根据的解为，得到的解满足，进行求解即可；
（2）分别用含的式子表示出，结合，且，列出不等式进行求解即可．
（1）解：∵的解为，
∴的解满足，
解得．
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴x的最小值是5．
20．(1)
(2)的取值范围为，且为整数
(3)安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元
本题考查一次函数的实际应用：
（1）设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，则y等于A种螃蟹总利润与B种螃蟹总利润之和；
（2）根据装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，列不等式组，即可求解；
（3）根据可得随的增大而减小，当取最小值6时，取最大值．
（1）解：设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，
由题意知：，
即关于的函数关系式为，其中，且为整数；
（2）解：由题意得，
解得，
故自变量的取值范围为，且为整数；
（3）解：由（1）知，，
，
随的增大而减小，
当取最小值6时，取最大值，
最大值为：（元），
综上可知，安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元．
21．(1)1；
(2)
(3)存在；或
本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键．
（1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集．
（2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值．
（3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解．
（1）解：∵ 点在直线上，
∴ ，
解得 ，
∵ 不等式，
∴ 解得 ，
解得 ，
∴ 不等式的解集为；
（2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上，
，，
，
，，
当时，有最大值，
的最大值为；
（3）解：存在．直线，令得，
．
点在直线上，设点坐标为，
①当时，点在轴的下方,
，
解得，点坐标为，
②当时，点在轴的上方,
，
解得，此时点坐标为．
点的坐标为或．
22．(1)购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶
(2)800元
(3)至少购进A品牌洗衣液70瓶
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、有理数运算的应用等知识，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
（2）根据“利润=单瓶销售利润数量”，将两种品牌洗衣液的销售利润求和即可；
（3）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案．
（1）解：设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶，
根据题意，可得，
解得 ，
答：购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶；
（2）（元），
答：全部售出后可获得利润800元；
（3）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶，
根据题意，可得 ，
解得 ，
答：至少购进A品牌洗衣液70瓶．
23．(1)一次函数的表达式为；
(2)点坐标为；
(3)．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键．
（1）将点坐标代入解析式解出值即可得到解析式；
（2）将点坐标代入一次函数解析式求出值，即可得到点的坐标；
（3）当时，求出一次函数值，利用不等式得到值的范围即可．
（1）解：一次函数的图象经过点，
，
解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：点在一次函数图象上，
，
解得，
点的坐标为；
（3）解：当时，一次函数的值都大于一次函数，
两个一次函数的交点坐标为：，
即，
．
24．(1)
(2)6
(3)
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质等知识定，明确题意、找准等量关系，列出方程是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）表出A、B坐标，利用中点公式列方程求解即可；
（3）表出P、Q坐标，结合范围求解即可．
（1）解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）解：设t秒后，A表示，B表示，
∵中点为，
∴，解得．
（3）解：∵P先出发1秒，运动时间，
∴点P表示的数为，Q表示；
∵对应到3，
当点P在点Q点左侧，即时，线段对应的范围是到，
∴ ，解得：；
当点P在点Q点右侧，即时，线段对应的范围是到，
，解得：，
当点P在点Q点重合时，线段PQ对应的范围是到，
∴ ，解得：.
综上，线段与线段有重合部分时时间t的取值范围．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二章不等式与不等式组单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．将不等式化为“”或“”的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（ ）
A．19 B．26 C．21 D．30
4．不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过 B．随的增大而增大
C．图象经过第一、三、四象限 D．当时，
7．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．方程，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ．
12．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ．
13．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的值可以是 （写出一种情况即可）．
14．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ．
15．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有 学生．
16．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解下列一元一次不等式．
(1)；
(2)．
18．已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值．
19．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？
(2)若，且，试求x的最小值．
20．武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示：
每辆汽车运载量/吨 2 3
每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
(1)设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式；
(2)若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围；
(3)在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润．
21．如图，直线与直线交于点，与轴交于点．
(1)_____，不等式的解集为_____；
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
(3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标．
22．某超市销售A、B两种品牌的洗衣液，已知A品牌洗衣液每瓶进价为25元，售价为35元；B品牌洗衣液每瓶进价为15元，售价为20元．
(1)若超市购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，花费2100元，求购进A、B两种品牌洗衣液各多少瓶
(2)在（1）的条件下，全部售出后可获得多少利润
(3)若超市计划购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，且总利润不低于850元，求至少购进A品牌洗衣液多少瓶
23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点在该函数图象上，求点的坐标；
(3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围．
24．已知a，b满足．且a，b的值分别是点A、B在数轴上对应的数．
(1)直接写出a，b的值： ， ；
(2)A、B两点沿着数轴运动，点A以4个单位长度/秒的速度向左运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向右运动，求两点出发几秒后所表示的点为的中点；
(3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，求线段与线段有重合部分时时间t的取值范围．(共7张PPT)
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第二章 不等式与不等式组
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 15
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求一元一次不等式的解集
2 0.85 不等式的性质
3 0.75 不等式的解集；不等式的性质
4 0.65 求不等式组的解集；由不等式组解集的情况求参数
5 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；两直线的交点与二元一次方程组的解
6 0.65 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；根据一次函数解析式判断其经过的象限；一次函数图象与坐标轴的交点问题；判断一次函数的增减性
7 0.65 用一元一次不等式解决实际问题
8 0.65 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集；在数轴上表示不等式的解集
9 0.65 二次根式有意义的条件；利用算术平方根的非负性解题；求一元一次不等式的解集
10 0.4 已知一元一次方程的解，求参数；由一元一次不等式组的解集求参数
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 求一元一次不等式的解集；已知方程的解，求参数
12 0.84 由一元一次不等式组的解集求参数
13 0.75 不等式的性质
14 0.65 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；一次函数图象与坐标轴的交点问题；用勾股定理解三角形
15 0.65 用一元一次不等式解决实际问题；整式加减的应用
16 0.64 求一元一次不等式的解集；在数轴上表示不等式的解集
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 求一元一次不等式的解集
18 0.75 求一元一次不等式的解集；求不等式组的解集
19 0.65 加减消元法；求一元一次不等式的解集；已知二元一次方程组的解的情况求参数
20 0.65 最大利润问题(一次函数的实际应用)；一元一次不等式组的其他应用
21 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；求直线围成的图形面积；一次函数与几何综合；求一次函数解析式
22 0.65 有理数四则混合运算的实际应用；用一元一次不等式解决实际问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
23 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；求一次函数解析式
24 0.4 线段中点的有关计算；行程问题(一元一次方程的应用)；绝对值非负性；求一元一次不等式组的整数解

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