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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二章不等式与不等式组单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C D C D A A A
1．A
根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义．
本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键．
解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意；
B、是代数表达式，无不等号，不符合题意；
C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意；
D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意；
故选：A．
2．A
本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解．
根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可．
∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式，
∴ x 的指数 ，且系数 ，
解 ，得 ，即 或 ，
又 ∵ ，即 ，
∴．
故选A．
3．C
本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可．
解：中不包括，
故选：C．
4．C
本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和．
解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得，
所以不等式组的解集为．
∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1，
∴，解得．
再解关于的方程，得，
∵方程的解为非正数，即，
∴，解得．
结合与，得，符合条件的整数为2、3，
∵它们的和为，
∴符合条件的整数的和是5．
故选：C．
5．D
本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握相关内容是解题的关键；
先对不等式进行变形，再结合一次函数的性质以及点P在直线上求出x的取值范围．
解：解不等式
移项得
∵
∴
则不等式系数化为1得
∵点P在直线上
∴
移项得
把代入得
综上可得，x的取值范围为：
故选：D ．
6．C
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，分当，，两种情况讨论，再结合当时，，得出不等式，解不等式即可．
解：当时，一次函数为增函数．要使当时，恒成立，则该一次函数图象与轴的交点的横坐标需要满足．
解得，与矛盾，故此种情况不存在．
当时，一次函数为减函数．要使当时，恒成立，则当时，必有．即．
解得，即．
又∵，
∴；
故选C．
7．D
本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键．
解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，
无解，
，
故选：D．
8．A
本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
解：∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是6．
故选：A．
9．A
本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键；
根据新定义的运算解出不等式的解，结合数轴上的表示，即可解出k的值．
解：由，
得，
则．
由数轴，得不等式的解集为，
，
解得；
故选：A．
10．A
本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
直接把两方程相减，得到关于的表达式，再代入不等式求解即可．
解：方程组
，得：，
，
，
解得，
故选：A．
11．
本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出答案．
解：去分母得，
去括号得，
移项合并得，
故答案为：．
12．
本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可．
解：由，得．
因为，所以，因此，即．
故答案为：．
13．
本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果．
解：∵是方程的解，
∴，即．
∴，
∵，是正整数，
∴，解得，
又为正整数，
∴的取值为．
∴要使最小，需取最大值，
当时，，满足正整数条件，此时；
故答案为：．
14．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可．
解：，
解不等式可得，；
∴该不等式组的解集为．
∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1，
∴．
故答案为：．
15．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键．
设小亮答对道题，则小亮得分、小亮答错或不答题的得分为．再结合本次竞赛且成绩不低于75分进行列式即可解答．
解：设小亮答对道题，则小亮得分、小亮答错或不答题的得分为，
由题意可得：．
故答案是：．
16．/
本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键．
根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集．
解：∵点为一次函数与的图象交点，
且点的横坐标为，
根据一次函数与不等式的关系，
可判断出的解集为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的解法．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组，通过变形方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后代入原方程求另一个未知数的值；
（2）按照解一元一次不等式的步骤，通过移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集．
（1）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
故原方程组的解为；
（2）解：，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
故不等式的解集为．
18．(1)
(2)，数轴见解析
本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握相关运算法则及解不等式的方法是解题的关键．
（1）先计算乘方、立方根及化简绝对值，再计算加减，即可得答案；
（2）根据解一元一次不等式的方法移项，合并同类项，得出不等式的解集，再在数轴上表示即可．
（1）解：
．
（2）解：
移项，得，
合并同类项，得，
在数轴上表示如下：
19．(1)
(2)点的坐标为
(3)
本题主要考查了一次函数解析式的确定、函数图象上点的坐标特征以及一元一次不等式的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式以及根据函数值的大小关系确定参数的取值范围是解题的关键．
（1）将点代入一次函数，通过解方程求出的值，进而得到函数解析式．
（2）将点代入第(1)小题求得的函数解析式，解出的值，再代回点的坐标表达式中，得到点的坐标．
（3）根据题意，当时，不等式恒成立．先代入的值化简不等式，再根据的取值范围，求出的取值范围．
（1）解：一次函数的图象经过点，
，
，
该一次函数的解析式为．
（2）解：点在函数的图象上，
，
解得，
，，
点的坐标为；
（3）解：当时，，
，
，
，
．
20．(1)种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生
(2)至少种植甲作物7亩
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用．
（1）先设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，列出方程组并求解即可；
（2）先设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，列出不等式并求解不等式，从而确定a的最小值．
（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，
根据题意，得，
解得，
即种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生．
（2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得，
解得，
即至少种植甲作物7亩．
21．(1)
(2)
本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键．
（1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围；
（2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值．
（1）解：，
解得，，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，，范围内的最小整数解为，
将，代入方程，得：
，
解得，．
22．(1)．
(2)．
本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键；
（1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子．
（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车，
则乙型汽车租用辆；
甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为；
则：．
（2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车，
则乙型汽车租用辆；
甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元；
则：．
23．(1)，
(2)100
(3)当次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析
本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式，即可直接得出答案；
（3）求出两直线交点，结合图象即可解答．
（1）解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
（2）解：∵选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
当时，，
∴购买一张动物园年卡的费用为100元．
故答案为：100；
（3）解：联立，解得：，
∴直线与直线的交点为．
∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即，
∴此时选择甲种购票方式更划算；
当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
当时，直线在直线的图象上方，即，
∴此时选择乙种购票方式更划算．
24．(1)①；②；
(2)
(3)
本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合．
（1）①求出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断；
②表示出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，解不等式组即可求解；
（2）可推出、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，从而得出关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值；
（3）表示出A、B、D、E于直线l的倍镜像的对应点坐标，关于直线l的n倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的倍镜像“接收距离”时，即当的横坐标关于轴对称时，得出，从而求得临界的值，进而得出结果．
（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为，
如图，
，，
∵点距离y轴距离最大为：4，
∴线段关于直线的倍镜像“接收距离”是；
故答案为：4；
②点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的倍镜像“接收距离”是，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，
，，，
、距离轴的距离之差是，
、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，
，关于直线l的倍镜像“接收距离”的最小值是 ，
故答案为：；
（3）解：如图，
点A和B关于直线的对称点为：，，
线段关于直线l的倍镜像的线段是，则，，
当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的n倍镜像“接收距离”时，
当的横坐标关于轴对称时，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”
即，
，
当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的倍镜像“接收距离”时，．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二章不等式与不等式组单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
3．下列不等式的解集中，不包括的是（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数（ k为常数，）．当时，，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
9．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．1 D．5
10．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．不等式的解集为 ．
12．已知，且，则的取值范围是 ．
13．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是 ．
14．关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为 ．
15．2025年4月24日是我国第十个中国航天日，主题为“海上生明月，九天揽星河”．某校举办航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错或不答扣2分，小亮参加了本次竞赛且成绩不低于75分，那么小亮至少答对几道题？若设小亮答对道题，则可列不等式为 ．
16．如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程（不等式）
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)．
(2)解不等式，并把解集表示在数轴上．
19．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点．
(1)求该一次函数的解析式．
(2)若点在该函数图象上，求点的坐标．
(3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值．求的取值范围．
20．为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，某校组织学生参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植2亩甲作物和3亩乙作物需要28名学生，种植2亩甲作物和4亩乙作物需要34名学生．
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过53人，至少种植甲作物多少亩？
21．已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值．
22．某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示：
承载质量/（/辆） 租金/（元/辆）
甲型汽车 16 800
乙型汽车 18 850
设租用甲型汽车辆，回答下列问题：
(1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式．
(2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式．
23．五一假期结束后，为了吸引游客，甘肃定西的贵清山国家森林公园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费，门票每人每次25元．
乙：购买一张贵清山国家森林公园年卡后，门票每人每次按五折优惠．
设某人一年内去贵清山国家森林公园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数解析式．
(2)购买一张贵清山国家森林公园年卡的费用为_____元．
(3)小明准备利用本学期的周末去贵清山国家森林公园完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算？请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”．已知点，．
(1)①线段关于直线的倍镜像“接收距离”是 ；
②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是，的取值范围是 ；
(2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是 ．
(3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，直接写出的取值范围．(共7张PPT)
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第二章 不等式与不等式组
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 17
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 不等式的定义
2 0.85 一元一次不等式的定义
3 0.75 不等式的解集
4 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；求一元一次不等式组的整数解；由不等式组解集的情况求参数
5 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集
6 0.65 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；求一元一次不等式的解集；根据一次函数增减性求参数
7 0.65 绝对值的几何意义；解|x|≥a型的不等式
8 0.65 不等式的解集；求一元一次不等式解的最值
9 0.65 求一元一次不等式的解集；在数轴上表示不等式的解集
10 0.65 加减消元法；求一元一次不等式的解集；已知二元一次方程组的解的情况求参数
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 求一元一次不等式的解集
12 0.75 不等式的性质
13 0.65 已知二元一次方程组的解求参数；求一元一次不等式解的最值
14 0.65 由不等式组解集的情况求参数
15 0.65 列一元一次不等式
16 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 加减消元法；求一元一次不等式的解集
18 0.75 实数的混合运算；求一元一次不等式的解集；在数轴上表示不等式的解集；求一个数的立方根
19 0.65 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；求一次函数解析式；求一次函数自变量或函数值
20 0.65 用一元一次不等式解决实际问题；和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
21 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；求一元一次不等式的解集；求一元一次不等式的整数解
22 0.65 列一元一次不等式；用一元一次不等式解决实际问题
23 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；其他问题(一次函数的实际应用)；求一次函数解析式；求一次函数自变量或函数值
24 0.4 坐标与图形变化——轴对称；求点到坐标轴的距离；一元一次不等式组的其他应用

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