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19.3.3 正方形
第 19 章 四边形
学习目标
1. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形，矩形、菱形之间的联系和区别； 探索并证明正方形的判定. (重、难点)
2. 矩形、菱形之间的联系和区别；会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算. (难点)
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
正方形的性质
1
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么
发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形的定义：
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴ ∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又 ∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形既是矩形又是菱形 .
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ；
对称轴： .
轴对称图形
4 条
A
B
C
D
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 .
知识要点
A
D
C
B
O
例1 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
典例精析
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵△BEC 是等边三角形，
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°.
【变式题】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．在本题中，点 E 有两种情况: ① 在正方形的外部，②在正方形的内部．
例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.
A
B
C
D
P
E
F
解：
连接 PC，AC.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四边形 PECF 是矩形.
∴ PC = EF.
∴ AP = PC.
∴ AP = EF.
在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分线模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
归纳
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
B
D
练一练
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形的判定
2
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条
对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
证一证
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
证一证
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
归纳总结
3. 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
C
A
B
C
D
O
练一练
D
C
A
B
B1
D1
A1
C1
1
2
3
例4 已知：如图，点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA' = BB' = CC' = DD'.
求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形
证明 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA ，
∠A = ∠B =∠C =∠D = 90°.
又 ∵ AA' = BB' = CC' = DD'，
∴ D'A = A'B = B'C = C'D.
∴ Rt△AA'D' ≌Rt△BB'A' .
∴ D'A' = A'B'，∠1 = ∠3.
同理：A'B' = B'C'，B'C' = C'D'，C'D' = D'A'.
∴ A'B' = B'C' = C'D' = D'A'，
∴ 四边形 A'B'C'D' 是菱形.
∴ ∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D'A'B' = 90°.
∴ 四边形 A'B'C'D' 是正方形.
D
C
A
B
B1
D1
A1
C1
1
2
3
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B
的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5°
第3题图
第4题图
45
5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB = BC (答案不唯一)
A
B
C
D
O
6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．
②③或①④
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．
1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形

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