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20.1 勾股定理及其应用 同步练习(含答案解析)
一．选择题（共9小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（　　）
A．10 B． C． D．4.8
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则tanA的值是（　　）
A． B．2 C． D．
3．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18
C．，， D．6，8，10
4．以下条件中，不能形成直角三角形的是（　　）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝32，b＝42，c＝52
C．∠A+∠B＝∠C D．AB＝AC，∠C＝45°
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（　　）
A．10 B． C． D．
6．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2
7．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
二．填空题（共6小题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是　 　 ．
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、F，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、G，点E在点D右侧．若BD＝10，DE＝6，CE＝8，则△ABC的面积为　 　 ．
12．定义：若三个正整数a，b，c满足a＜b，a2+b2＝c2，且c﹣b＝1，则称（a，b，c）为“邻近”勾股数组．例如：（3，4，5），（5，12，13）都是“邻近”勾股数组，将a从小到大排列，分别记为a1，a2，a3，…，an（n为正整数），若n＝3时，a3的值为 　 　 ；若n＝20时，a20的值为 　 　 ．
13．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱AB，在木柱的上端系有绳索AC，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索AC用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为x尺，根据题意列方程为 　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长是 　 　 ．
15．如图，等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边的中点，连接CD并延长至点P，作AP⊥PQ交BC于点Q，若CQ＝1，则CP＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a，b，且a＞b，斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积S1；（结果化为最简）
方法1：S1＝　 　 ；方法2：S1＝　 　 ；根据以上信息，可以得到等式　 　 ．
（2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若a＝10，b＝5，求图2中阴影部分的面积S2；
（3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且b＝3，求该风车状图案的总面积．
17．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°，求这片绿地的面积．
18．在综合实践活动课上，估测教室高度．现有足够长的竹竿和皮尺，两位同学方法如下：
如图1，圆圆先测出竹竿长度为4米，将竹竿顶端A与墙角顶端（教室顶部）重合，再测出竹竿底部C与墙角底部B的距离为1米，再计算教室高度．
如图2，①方方先将竹竿顶端A与墙角顶端重合，测竹竿底部B到墙角底部C的距离为1米；②在墙根处取与B距离1米的点A'（即A′B＝BC）；③将竹竿顶部滑到A′处，底部位于C′，此时BC′即为教室高度．
（1）请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度．
（2）方方直接通过测量BC就得到教室的高度（AB＝BC′），请证明．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？
20．如图，一棵树CD，在其6m高的点B处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A D B B C D D B
一．选择题（共9小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（　　）
A．10 B． C． D．4.8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值，
故选：A．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则tanA的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】根据直角三角形中正切的定义，tanA等于∠A的对边与邻边的比值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，
∵BC＝2，AC＝4，
∴tanA＝ ＝ ，
故选：A．
3．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18
C．，， D．6，8，10
【分析】利用勾股数定义进行分析即可．
【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
4．以下条件中，不能形成直角三角形的是（　　）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝32，b＝42，c＝52
C．∠A+∠B＝∠C D．AB＝AC，∠C＝45°
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理分别判断即可．
【解答】解：A、∵72+242＝252，
∴能形成直角三角形，不符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴不能形成直角三角形，符合题意；
C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能形成直角三角形，不符合题意；
D、AB＝AC，∠C＝45°，
∴∠B＝45°，
∴∠A＝90°，
∴能形成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（　　）
A．10 B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠B＝90°，AB＝2，，
∴根据勾股定理得，，
∵CD＝5，AD＝4，
∴AC2+AD2＝32+42＝25，CD2＝52＝25，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
．
即四边形ABCD的面积为6，
故选：B．
6．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：A、∵42+52≠62，
∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2，2.5不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴6，8，10是勾股数，符合题意；
D、1，，2这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
7．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以a2+b2﹣c2＝0，
即a2+b2＝c2，
故A不符合；
，
所以a2+2ab+b2﹣2ab﹣c2＝0，
即a2+b2＝c2，
故B不符合；
，
所以c2﹣2ab﹣（a2﹣2ab+b2）＝0，
即a2+b2＝c2，
故C不符合；
图D不能推导出勾股定理，
故D符合，
故选：D．
8．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案．
【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2，
第1个图中，
S1＝a，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，符合题意；
第2个图中，
，，，
∵，
∴S1+S2＝S3，符合题意；
第3个图中，作DG⊥EF于点G，则∠EDG60°＝30°，EGEFc，
∴，
∴，
同理：，，
∵，
∴S1+S2＝S3，符合题意；
综上，三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是3个．
故选：D．
9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　）
A．10米 B．12米 C．13米 D．15米
【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+1）米，
由勾股定理得：（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
∴旗杆的高度是12米，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是　　 ．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据即可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴根据勾股定理，，
∴，
故答案为：．
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、F，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、G，点E在点D右侧．若BD＝10，DE＝6，CE＝8，则△ABC的面积为　96　 ．
【分析】连接AD，AE，线段垂直平分线的性质，得到AD＝BD＝10，AE＝CE＝8，勾股定理逆定理得到AE⊥BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AD，AE，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，BD＝10，CE＝8，
∴AD＝BD＝10，AE＝CE＝8，
∵DE＝6，
∴AE2+DE2＝100＝AD2，
∴AE⊥BC，
∵BC＝BD+DE+CE＝24，
∴．
故答案为：96．
12．定义：若三个正整数a，b，c满足a＜b，a2+b2＝c2，且c﹣b＝1，则称（a，b，c）为“邻近”勾股数组．例如：（3，4，5），（5，12，13）都是“邻近”勾股数组，将a从小到大排列，分别记为a1，a2，a3，…，an（n为正整数），若n＝3时，a3的值为 　7　 ；若n＝20时，a20的值为 　41　 ．
【分析】找出规律an＝2n+1，即可解决问题．
【解答】解：∵“邻近”勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，
∴an＝2n+1，
∴n＝3时，a3＝2n+1＝2×3+1＝7；
n＝20时，a20＝2n+1＝2×20+1＝41，
故答案为：7；41．
13．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱AB，在木柱的上端系有绳索AC，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索AC用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为x尺，根据题意列方程为 x2﹣（x﹣3）2＝82 ．
【分析】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
即x2﹣（x﹣3）2＝82．
故答案为：x2﹣（x﹣3）2＝82．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长是 　　 ．
【分析】过点D作DG∥AC，交BF于点G，根据勾股定理和三角函数的有关知识，求出AE＝12，DE＝4，根据平行线分线段成比例定理，得出，设DG＝x，则CF＝2x，，证明△DEG∽△AEF，得出，从而求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【解答】解：过点D作DG∥AC，交BF于点G，如图所示：
∵D为BC的中点，BC＝16，
∴BD＝CD＝8，
∵，∠ACB＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴DE＝AD﹣AE＝4，
∵GD∥AC，
∴，
设DG＝x，则CF＝2x，，
∵GD∥AC，
∴∠DGE＝∠AFE，∠EDG＝∠EAF，
∴△DEG∽△AEF，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．如图，等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边的中点，连接CD并延长至点P，作AP⊥PQ交BC于点Q，若CQ＝1，则CP＝　　 ．
【分析】先由等腰直角三角形ABC的边长，结合勾股定理求出AB，再根据斜边中线性质得CD＝AD＝BD，同时计算出AQ的长度，过点P作PN⊥BC，利用等角对等边证得△CNP为等腰直角三角形，设DP＝x，用含x的式子表示出CP、PN、CN、QN，分别在Rt△ADP、Rt△PNQ中，由勾股定理表示出AP2、PQ2，结合AP⊥PQ，最后再次利用勾股定理列方程，化简求解即可．
【解答】解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，
∴，∠CAB＝∠CBA＝45°，
又∵D为AB边的中点，
∴，
∵CQ＝1，
∴，
如图，过点P作PN⊥BC，
∴∠CPN＝45°，
∴PN＝CN，
设DP＝x，则，
∵CN2+PN2＝CP2，
∴，
∴，
∵AD2+DP2＝AP2，
∴，
∵PN2+QN2＝PQ2，
∴，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
∵AP2+PQ2＝AQ2，
即，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
16．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a，b，且a＞b，斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形．
（1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积S1；（结果化为最简）
方法1：S1＝a2+b2 ；方法2：S1＝c2 ；根据以上信息，可以得到等式a2+b2＝c2 ．
（2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若a＝10，b＝5，求图2中阴影部分的面积S2；
（3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且b＝3，求该风车状图案的总面积．
【分析】（1）运用等面积法计算即可；
（2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可；
（3）将风车周长表示出来，其中b＝3，c＝9﹣a，再结合勾股定理求解出a，最后计算面积即可．
【解答】解：（1）方法1：，
方法2：，
∴a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2；c2；a2+b2＝c2；
（2），
当a＝10，b＝5时，；
（3）∵b＝3，外围轮廓（实线）的周长为24，
∴4c+4（a﹣b）＝4（a﹣b+c）＝24，
∴a+c＝9，c＝9﹣a，
∵a2+b2＝c2，
∴a2+9＝（9﹣a）2，
解得：a＝4，
∴．
17．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°，求这片绿地的面积．
【分析】连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理的逆定理求出△ACD为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AC15cm，
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴根据勾股定理得，AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠DAC＝90°，
∴绿地的面积；
答：这片绿地的面积是114m2．
18．在综合实践活动课上，估测教室高度．现有足够长的竹竿和皮尺，两位同学方法如下：
如图1，圆圆先测出竹竿长度为4米，将竹竿顶端A与墙角顶端（教室顶部）重合，再测出竹竿底部C与墙角底部B的距离为1米，再计算教室高度．
如图2，①方方先将竹竿顶端A与墙角顶端重合，测竹竿底部B到墙角底部C的距离为1米；②在墙根处取与B距离1米的点A'（即A′B＝BC）；③将竹竿顶部滑到A′处，底部位于C′，此时BC′即为教室高度．
（1）请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度．
（2）方方直接通过测量BC就得到教室的高度（AB＝BC′），请证明．
【分析】（1）根据勾股定理得出AB（米）即可；
（2）根据HL证明Rt△ABC与Rt△A'BC'全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
AB（米），
答：教室的高度为米；
（2）由题意可知，AC＝A'C'，A'B＝BC，
在Rt△ABC与Rt△A'BC'中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'BC'（HL），
∴AB＝BC'．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？
【分析】由勾股定理求出AC，分三种情况：①CD＝BD时，∠C＝∠DBC，证出BD＝AD，得出CD＝ADAC＝2.5，即可得出结果；②当CD＝BC时，CD＝3，即可得出结果；③当BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝DF，由三角形的面积求出BF，由勾股定理求出CF，得出CD，即可得出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC5，
分三种情况：
①CD＝BD时，∠C＝∠DBC，
∵∠C+∠A＝∠DBC+∠DBA＝90°，
∴∠A＝∠DBA，
∴BD＝AD，
∴CD＝ADAC＝2.5，即t＝2.5；
②当CD＝BC时，CD＝3，即t＝3；
③当BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，如图所示：
则CF＝DF，△ABC的面积AB BCAC BF，
∴BF2.4，
∴CF1.8，
∴CD＝3.6，即t＝3.6．
综上所述：当运动时间t为2.5或3或3.6秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．
20．如图，一棵树CD，在其6m高的点B处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？
【分析】由题意知AD+DB＝BC+CA，设BD＝x米，则AD＝（18﹣x）米，且在直角△ACD中CD2+CA2＝AD2，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝6+x．
【解答】解：由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝12米，BC＝6米，
设BD＝x米，则AD＝（18﹣x）米，
在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，
即（18﹣x）2＝（6+x）2+122，
解得x＝3，
故树高为CD＝6+3＝9米．
答：树高为9米．
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