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(共27张PPT)
章末检测（七）　复数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数z＝ ，则z在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A. （1，1） B. （－1，1）
C. （1，－1） D. （－1，－1）
解析：　z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，则z在复平面内对
应的点的坐标为（－1，1）.故选B.
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2. 已知复数z＝m2－1＋（m＋i2）i（m∈R）为纯虚数，则m＝（　　）
A. 1 B. －1
C. 1或－1 D. 2
解析：　z＝m2－1＋（m＋i2）i＝m2－1＋（m－1）i，因为复数z为纯
虚数，所以 解得m＝－1.故选B.
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3. 已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部
为（　　）
A. 2 B. 1
C. －2 D. i
解析：　由题意，化简得z＝ ＝ ＝ ＝2＋i，所以复数z的
虚部为1.故选B.
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4. 若z＝1＋i，则｜iz＋3 ｜＝（　　）
A. 4 B. 4
C. 2 D. 2
解析：　因为z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i
＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝ ＝
2 .故选D.
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5. 已知复数z＝ ，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ －
i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限.故选C.
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6. 在复平面上，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝ － i所对应的点分
别是Z1，Z2，Z3，则下列复数所对应的点与这三个点不在同一个圆上的是
（　　）
A. z＝ B. z＝5i
C. z＝ ＋ i D. z＝－1－2i
解析：　｜z1｜＝ ，｜z2｜＝ ，｜z3｜＝ ，∴Z1，Z2，Z3都在
以原点为圆心，半径为 的圆上，∵z＝5i的模长｜z｜＝5，∴z＝5i对
应的点与这三个点不在同一圆上.故选B.
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7. 在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i（－4＋3i），z2＝7＋i对应的点
分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为（　　）
A. B.
解析：　因为z1＝i（－4＋3i）＝－3－4i，z2＝7＋i，所以 ＝（－
3，－4）， ＝（7，1），所以 · ＝－21－4＝－25，所以 cos
∠Z1OZ2＝ ＝－ ＝－ .又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以
∠Z1OZ2＝ .
√
C. D.
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8. 已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，
则复数z＝（　　）
A. 2－2i B. 2＋2i
C. －2＋2i D. －2－2i
解析：　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋
（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以
解得 所以z＝2－2i.故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 下面关于复数z＝ 的四个说法中，正确的有（　　）
A. ｜z｜＝2 B. z2＝2i
C. z的共轭复数为1＋i D. z的虚部为－1
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解析： 　∵z＝ ＝ ＝－1－i，∴｜z｜＝ ，A不正
确；z2＝（－1－i）2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C不正确；z的
虚部为－1，D正确.
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10. 设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（　　）
A. 若｜z1－z2｜＝0，则 ＝
B. 若z1＝ ，则 ＝z2
C. 若｜z1｜＝｜z2｜，则z1 ＝z2
D. 若｜z1｜＝｜z2｜，则 ＝
解析： 　A项，｜z1－z2｜＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 ＝ ，真命
题；B项，z1＝ ＝z2，真命题；C项，｜z1｜＝｜z2｜ ｜z1｜2＝｜
z2｜2 z1 ＝z2 ，真命题；D项，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2
＝i，显然 ＝1， ＝－1，即 ≠ ，假命题.
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11. 任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示
成：z＝r（ cos θ＋i sin θ）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数
学家棣莫弗发现：zn＝[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn（ cos nθ＋i sin nθ）
（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确
的是（　　）
A. 当r＝1，θ＝ ，n＝1时， ＝ － i
B. （ ＋ i）3＝1
C. ｜z4｜＝｜z｜4
D. （ ＋ i）10在复平面内对应的点在第三象限
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解析： 　对A，由题意可知，当r＝1，θ＝ ，n＝1时，z＝r（ cos θ＋
i sin θ）＝ ＋ i，所以 ＝ － i，A正确；对B，（ ＋ i）3＝（ cos
＋i sin ）3＝ cos π＋i sin π＝－1，所以B错误；对C，｜z4｜＝｜r4（ cos
4θ＋i sin 4θ）｜＝r4，｜z｜4＝r4，所以C正确；对D，由（ ＋ i）10＝
（ cos ＋i sin ）10＝ cos ＋i sin ＝ － i，所以（ ＋ i）10在复平
面内对应的点的坐标为（ ，－ ），在第四象限，D错误.故选A、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 若复数z满足z（1＋i）24＝2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于
第 象限.
解析：因为（1＋i）24＝[（1＋i）2]12＝（2i）12＝212，所以z＝ ＝
＋ i，所以复数z在复平面内对应的点为（ ， ），该点位于
第一象限.
一　
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13. 已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别
为Z1和Z2，且 ⊥ ，则a＝ 　 　.
解析：依题意可知 ＝（－3，4）， ＝（2a，1）.因为
⊥ ，所以 · ＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝ .
　
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14. 已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值
范围为 .
解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，
1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数
z的对应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，
0）之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知
当点A与点B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重
合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3，∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3].
[0，3]　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝ .求：
（1）z1z2；
解：z2＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－3i.
（1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i.
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（2） .
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
16. （本小题满分15分）已知复数z＝（1＋i）m2－4i－3m＋2
（m∈R）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
解： 由题意可得z＝（m2－3m＋2）＋（m2－4）i，
则z的实部为m2－3m＋2，虚部为m2－4.
因为z是纯虚数，所以 解得m＝1.
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
解： 由题意可得 解得－2＜m＜1，即m的取值
范围是（－2，1）.
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17. （本小题满分15分）设z是虚数，ω＝z＋ 是实数，且－1＜ω＜2.
（1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围；
解： ∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋ ＋（y－
）i，
可得 x2＋y2＝1 ｜z｜＝1，
此时，ω＝2x － ＜x＜1，
即z的实部的取值范围为（－ ，1）.
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（2）设μ＝ ，求证：μ为纯虚数.
解： 证明：μ＝ ＝ ＝ ＝ ，∵y≠0，
∴μ为纯虚数.
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18. （本小题满分17分）设复数z1＝2＋i在复平面内对应的向量为 ，复
数z2＝－1＋λi在复平面内对应的向量为 ，复数z3＝－2＋i在复平面内对
应的向量为 ，且A，E，C三点共线.
（1）求实数λ的值；
解：复数z1＝2＋i在复平面内对应的向量 ＝（2，1），
复数z2＝－1＋λi在复平面内对应的向量 ＝（－1，λ），
复数z3＝－2＋i在复平面内对应的向量 ＝（－2，1）， ＝ ＋
＝（2，1）＋（－1，λ）＝（1，λ＋1）.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得 ＝k ，所以（1，λ
＋1）＝k（－2，1），解得k＝－ ，λ＝－ .
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（2）求 的坐标；
解： 由（1）知 ＝ ＋ ＝（－1，－ ）＋（－2，1）＝（－
3，－ ）.
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（3）已知点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四
边形，求点A的坐标.
解：因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以
＝ ，
设A（x，y），则 ＝（3－x，5－y）.
由（2）得 ＝（－3，－ ），所以 解得
故点A的坐标为（6， ）.
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19. （本小题满分17分）已知复数z1，z2满足z1·z2∈R，z1＝ .
（1）求z1；
解： z1＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
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（2）求｜2z1＋z2｜的最小值.
解：设z2＝a＋bi（a，b∈R），则z1·z2＝ ＝ .因为z1·z2∈R，所以 ＝0，即a＝－ b，
故z2＝－ b＋bi，则｜2z1＋z2｜＝｜ （1－b）＋（1＋b）i｜＝
＝ ≥ ，当b＝ 时取等号.
故｜2z1＋z2｜的最小值为 .
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