资源简介

2025学年第二学期
创新素养学科基础能力与创新思维水平考察
八年级数学
考生须知：
1 本卷满分150分，考试时间90分钟；
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规 定的位置上；
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的 作答一律无效；
4. 选择题请用2B 铅笔将对应试题的答案符号按要求涂黑，非选择题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔 在答题纸指定位置作答，不在答题区域内的答案一律无效。
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 设x,y,z 均为整数，若x +y =z , 则下列结论正确的是(▲)
A.x,y,z 不可能都是奇数 B.x,y 不可能都是偶数
C.x,y 必一奇一偶 D.z 不可能是偶数
2. 若一2x>a +2(a 为实数),则(▲)
A.x>-1 B.x>-2 C.x<-1 D.x < 一 2
3. 若√-b + √ (b-a) 有意义，则√a + √b =(▲)
A.a+b B.a-b C. 一a+b D. 一a—b
4. 设一次函数y =kx+b ,y2=kx+b2. 函 数y 的图象分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点A, 点B 函数y2的图象分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点C,点D,且△OAB 的面积与△OCD 的面积相等若 b =2b2, 则 ( ▲ )
A.ki=2k B.k=4k C.k =2k D.k =4k
5. 两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能 是 ( ▲ )
A, 三角形 B. 四边形 C, 六边形 D. 八边形
6. 设一个三角形的边长分别为a,b,c, 且a>b>c,2b=a+o,b 为正整数、若a +2b +c =145, 则b
的 值 为 ( ▲ ) A.4 B.5 C.6 D 、7 7. 如图，菱形 ABCD的对角线相交于点0,AE平分∠CAD交CD 于点E, 若 AE=BD, 则∠ CAD=(▲) A.22.5° B.30° C.36° D.37.5° (第7题)
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8. 设x 为非负实数，记[x]为不大于x 的最大整数。若[x]=n,[x[x]]=2026,则n 的各位数字之和为(▲)
A.6 B.7 C.8 D.9
二 、填空题(本大题共6小题，每小题5分；共30分)
9. 如图，在等腰△ABC 中 ，AB=AC,BD 是AC 边上的高。若AB=25,BC=20, 则 CD
二 ▲
10. 设a 为正整数，一元二次方程x +ax+1=0 有两个不相等的实数根，则a 的最小值为
▲ (第9题)
11. 用三个正整数的平方和的形式表示：2026=. ▲ 。(只需写出一种)
12. 若关于x 的一元一次不等式ax+b>1,bx+a<1 的解集相同，则实数a,b 满足的关系是 ▲
13、如图，在矩形ABCD中 ，AD>AB, 点 E 是对角线AC 上的一点，连接DE,BE, 且
D
满足∠AED=2∠DAE. 已知AE=3CE, 则
14. 如果正整数x,y,z 满足方程x +y =z , 且x,y 互素，那么就称这三个数是一组
本原勾股数.若m,n,40 为一组“本原勾股数”,则m+n= ▲
(第13题)
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15. (本小题10分)
在直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为(一2,0),(2,2),(4,1).
(1)求第四个顶点的坐标.
(2)求所有可能的平行四边形，在直角坐标系中覆盖的总面积.
16,(本小题10分)
已知关于x 的方程ax +bx+1=0(a,b 为实数，a≠0)有两个不相等的实数根x 和x 、
(1)若x =1, 求x2的值(用含b的代数式表示);
(2)若x=2x , 求a,b 之间满足的等量关系，
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17. (本小题12分)
如图1,已知点P 从△ABC 的边AC 上的一点出发，沿P—C—B 的方向匀速运动，速度为1 cm/s, 到 点B 后停止运动。设AB的长为acm, 运动的时间为t (单位：s);△ABP 的面积为y (单位：cm )。如
图 2 是y 关于t的函数图象，图象与y 轴交于点 , 当t=4 时 ，y 有最大值 .
(1)求∠A的度数.
(2)若∠ABC=45°, 求a 的值.
(
A
)
图 1
图2
(第17题)
18. (本小题12分)
设p 是一个大于3的素数。
(1)证明：24|(p -1).
(2)判断p +2026 是否可能为完全平方数，说明理由.
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19. (本小题16分)
如图，在正方形ABCD中，点E, 点 F 分别在边AD,CD 上，且满足AE=CF, 点0是对角线BD的
中点，连接EO.
(1)求证：△ABE≌△CBF.
(2)若EO⊥BF.
①求证：∠ BEO=2∠ABE.
②求证：SABE=S△ODE。
(第19题)
20. (本小题20分)
在四边形ABCD中，AD//BC,∠A=∠B=90°. 点P,Q 分别从A,D 出发，在线段AD 上往返运动；
点M,N 分别从B,C 出发，在线段BC上往返运动.四个点同时开始运动，设运动的时间为t.
(1)如图1,已知AD=BC=5, 点 P,Q 的速度都是1,点M,N 的速度都是2.
①若点P,Q,M,N 恰好同时回到初始位置，求t的所有可能取值；
② ,当t=2026 时，求k 的值.
(2)如图2,若AD=2,BC=3. 点P,Q,M,N 的速度都是1,当以P,Q,M,N 为顶点的四边 形是平行四边形时，求t 的所有可能取值。
(
图1
)图2
(第20题)
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2025学年第二学期
创新素养学科基础能力与创新思维水平考察 八年级数学参考答案
一 . 选择题：本题有8个小题，每小题5分，共40分.
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D B A C C D
提示1:选项B,C,D 由6,8,10举反例即可，选项A 通过模4的余数可证.故选A.
提示2:由题意，得 故选C.
提示3:由题意，得a≤b≤0, 所以 √a +√b =-a-b. 故选D.
提示4:由两个三角形面积相等， ,因为b =2b , 所以k =4k . 故选B.
提示5:根据图形的对称性，重叠部分的边数为偶数，四边形、六边形、八边形均能举出具体例子.故选
A.
提示6:因为a +c =(a+c) -2ac=4b —2ac, 所以a +2b +c =6b —2ac=145, 所以. 因
为 ac>0, 所以. 构造以a,c 为根的一元二次方程x -(a+c)x+ac=0,△=(a+c) -4ac
,解得 b <36.25, 所以, 且b 为正整数，所以b=5 或 b=6. 经 检验b=5 舍去，所以b=6. 故选C.
提示7:如图，构造平行四边形DPAE, 所 以AE=DP, 因 为AE=BD, 所 以DP=BD. 设
∠CAE=x°, 则∠CAD=2x°,∠BAD=4x°,∠BAE=∠AED=∠P=∠PBD
=3x°. 因为AB=AD, 所以∠ADB=3x°, 所以x=18, 所以∠CAD=36°. 故 选C.
提示8:设x=n+a,O≤a<1.[x[x]]=[n(n+a)]=n +[na]=2026, 因为0≤na1,2,…,n-1, 所以n ≤2026≤n +n-1, 经检验，仅有当n=45 时满足 .故选D.
二 . 填空题：本题有6个小题，每小题5分，共30分.
9.8
提示9:设CD=x, 则 AD=25-x. 由题意得AB —AD =BC -CD , 所以25 —(25—x) =20 —x , 解得 x=8. 所以CD=8.
10.3
提示10:由题意，得a —4>0, 又因为a 是正整数，所以a 的最小值是3.
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11. 只需写出一种
提示11:2026=1 +27 +36 =3 +9 +44 =8 +21 +39 =9 +24 +37 =12 +19 +39 =15 +24 +352
=17 +21 +36 =19 +24 +33 .
12.a+b=1, 且a,b 异号；
提示12:由题意，ab≠0. 因为两个不等式不等号方向不同，而有相同的解集，所以a,b 异号 . 不论a,b
取正或负，两个不等式的解集不等号右边分别 ,所!.整理得(a—b)(a+b—1) = 0 , 解 得a=b (舍去),或a+b=1. 综上所述，a+b=1, 且 a,b 异号.
13.
提示13:如图，连接BD 交 AC 与点O, 作 DH⊥CA, 垂足为点H. 由题意，得AO= 20E=2CE, ∠DOE=2∠DAE, 因为∠AED=2∠DAE, 所以∠DOE=∠AED, 所以∠BOE=∠CED,OD=ED, 所以△BOE≌△DEC, 所以BE=CD. 因 为 DH⊥CA, 所以OH=EH, 设 OH=x, 则AO=20E=4x=ED, 由勾股定
理得：DH=√ 15x,DC=2√6x. 所
14.800或50(仅有一个正确结果得3分，有对有错得2分，否则0分)
提示14:显然40非其中最大的数，不妨假设m>n, 则(m+n)(m—n)=1600. 由奇偶性得，m,n 同奇偶， 所以1600=800×2=400×4=200×8=160×10=100×16=80×20=50×32,解得符合题意的有m= 401,n=399; 或 m=41,n=9. 所以m+n=800 或50 .
三 . 解答题：本题有6个小题，共80分.
15 . (本小题10分)
解：(1)(0, - 1)或( 一 4,1)或(8,3) . … … 6分
(2)由题意，得覆盖部分是以(0,- 1),(-4,1),(8,3)为顶点的三角形.
过点(-4,1),(8,3)的直线对应的函数表达式为 此直线与y 轴交于点 , 所
以y 轴截三角形线段长水平宽为12,面积为16. … … 4分
16 . (本小题10分)
解：(1)由韦达定理得
代入x =1 得 a=-b-1, 所以 … … 4分
( 2 ) 由x =2x , 得
所以
第2页(共5页)
所
所以 ……6分
17 . (本小题12分)
解：(1)过点C 作 CD⊥AB 于点D, 过点P 作 PE⊥AB 于点E, 作 PF⊥CD 于 点F.
由题意，得 当点P 在初始位置时， 所以CF=2.
(
……
) (
6分
)又因为PC=4,∠CFP=90°, 所以∠A=∠CPF=30°.
( 2 ) 由 ( 1 ) 得 ，AC=7, 因为∠ ABC=45°,
第3页(共5页)
所以
所以
18. (本小题12分)
解：(1)由题意，设p=2k+1,k 为整数.
所以p -1=4k(k+1), 而 k(k+1) 是偶数，所以8|(p —1);
因为p 不能被3整除，
所以p=±1(mod3),
所以p =1(mod3), 所以3|(p —1),
因为8和3互素，
所以24|(p -1).
(2)假设p +2026=q ,q 为整数，则q —p =2026, 所以(q+p)(q-p)=2026=2026×1=1013×2,
因为q+p 和 q 一p 同奇偶，
所以不存在符合条件的p 和q,
所以p +2026 不可能为完全平方数.
19 . (本小题16分)
解：证明：(1)因为正方形 ABCD,
所以AB=BC=CD=AD,∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90°,
……6分
……6分
……6分
因为AE=CF,
(
……
) (
4分
)所以△ ABE≌△CBF.
(2)①如图，延长EO 交 BF 于点N, 交BC 于点M, 因为△ABE≌△CBF,
所以∠ABE=∠CBF,
所以∠FBE=90°-2∠ABE,
因为EO⊥BF, 所以∠BNE=90°,
所以∠BEO=2∠ABE.
②如图，构造矩形ABQE,ABTP,
所以矩形 EQTP,
易得：△ODE≌△OBM,
所以 OE=OM,
易得：△OEP≌△OMT,
所以EP=MT,OP=OT,
因为矩形 EQTP,
所以 EP=QT, 所以 MT=QT,QM=2MT,
因为∠BEO=2∠ABE,∠EBC=90°-∠ABE, 所以∠EMB=90°-∠ABE, 所以EB=EM, 所以 BQ=MQ,BM=4MT,
因为矩形 ABQE,AE=BQ=2MT,
因为△ODE≌△OBM, 所以DE=BM=4MT, 所以DE=2AE, 所以2S△ABE=S△BDE,
因为点O 是对角线BD 的中点，
所以S△BDE=2S△ODE,
所以S△ABE=S△ODE.
(
D
)
……6分
第4页(共5页)
(其他方法正确亦可) ……6分
20. (本题满分20分)
解：(1)①因为P,Q 回到初始位置的周期为10,M,N 回到初始位置的周期为5, 又因为[5,10]=10,
所以点P,Q,M,N 恰好同时回到初始位置的时间t=10n,n 为正整数.
……6分
②由①得，2026=6(mod10), 当t=6 时 ，PQ=3;
6=1(mod5),
当t= 时 ，MN=1,
第5页(共5页)
所以
……
6分
(2)因为以P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形仅与PQ,MN 的长度有关， 所以t=6 为一个周期.
如图，以时间t 为x 轴 ，P,Q 的距离，M,N 的距离s 为 y 轴，在同一直角坐标系中画出图象，
由图可得，在一个周期内有4次PQ=MN, 此时以P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形.
由s=-2t+3,s=2t-2, 解得 由 s=-2t+6,s=2t-3, 解得
再由对称性，得
所以t的所有可能取值 ,m 为正整数. ……8分

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