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第二十一章 四边形
人教版八年级(下)
21.1.2 多边形及其内角和
学校准备在学校小花园里新建一个各条边长为 6 m，各个内角都相等的六边形花坛，问六边形花坛的各个角是多少度
知识点1：多边形的相关概念
探究新知
合作探究
1.自己尝试画一画三角形，归纳总结多边形的定义.
多边形：在平面内，由________________相接所组成的封闭图形.
多边形的分类：按组成它线段的_____.
一些线段首尾顺次
条数
2. 依次画出四边形、五边形、六边形，类比三角形的有关概念，以六边形为例画出多边形的顶点、边、内角、外角．
四边形
五边形
六边形
顶点
边
内角
外角
n 边形有__个顶点，__条边，__个内角，__个外角.
n
n
2n
n
3. 前面利用角或边将三角形分类，观察下面三个四边形，请思考如何将多边形进行分类呢，能不能类比得到？
边
角
大小
位置
边、角
大小
分析：
正多边形：像正方形一样，各个角都_____，各个边都______的多边形叫作正多边形.
相等
相等
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
知识点2：多边形的内角和
合作探究
活动一：探索四边形、五边形、六边形内角和.
画一画
量一量
猜一猜
证一证
画一画
分析：
量出你画的三个图形的各个内角，并求出内角和.
多边形 四边形 五边形 六边形
内角和
量一量
猜一猜
360°
540°
720°
证一证
请用多种方法证明上述结论.
n 个三角形
多边形
未知
已知
以一个点为顶点连接对角线
连接内部一点与各顶点
连接边上任意一点与各顶点
分析：
方法一：以一个点为顶点，连接对角线.
多边形内角和：__________________.
多边形 n 四边形 五边形 六边形
三角形个数
内角和
(n - 2)×180°
4
4×180°
3
3×180°
2×180°
2
方法二：在多边形任意一边上取一点，连接这点和多边形的各顶点.
多边形内角和：__________________.
多边形 n 四边形 五边形 六边形
三角形个数
内角和
(n - 1)×180°-180°
3
4
3×180°-180°
5
4×180°-180°
5×180°-180°
方法三：在多边形内部找一个点，连接这点和多边形的各顶点.
多边形内角和：_____________.
多边形 n 四边形 五边形 六边形
三角形个数
内角和
n×180°-360°
4
5
4×180°-360°
6
5×180°-360°
6×180°-360°
对比一下三个式子，总结多边形内角和公式.
方法一
方法二
方法三
(n - 2)×180°
(n - 1)×180°-180°
n×180°-360°
n 边形内角和
(n - 2)×180°
1. 学校准备在学校小花园里新建一个各条边长为 6 m，各个内角都相等的六边形花坛，问六边形花坛的各个角是多少度
解：∵新建的是正六边形花坛，
∴正六边形花坛内角和是：
(6 - 2)×180°= 720°.
∴正六边形花坛各个角是 720°÷6=120°.
知识点3：多边形的外角和
合作探究
如果将教室四周作为小型的运动“跑道”，学生在 A 起点开始跑步，经过四边形 B、C、D 四个点后，跑回至起点 A ，完成跑步.完成运动后，对自身转动的角度进行观察.
跑步开始前和结束后，同学仍处于 A 点，那么完成的身体转动角度是多少？
360°.
如果将上题中的四边形换为 n 边形 ( n 是不小于 3 的任意整数)，可以得到同样的结果吗？
例2 如图，在六边形的各个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？
以六边形为例证明
分析：
一个外角+与它相邻内角=180°，
外角和=内外角总和-内角和.
解：∵六边形任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，
∴六边形内外角总和 = 6×180°= 1080°.
∴六边形的外角和 = 1080°-(6-2)×180°= 360°.
多边形的外角和等于_______.
360°
归纳总结
由上面的思考可以得到：
例2 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2 倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为 n.
∵ 它的内角和等于 (n－2) 180°，
外角和等于 360°，
∴ (n－2) 180°＝2×360°.
解得 n＝6.
∴ 这个多边形的边数为 6.
多边形
多边形的内角和
多边形的外角和
多边形的外角和等于______
360°
多边形的内角和等于
________________
(n - 2)×180°
基础练习
1.求出下列图形中的 x 的值：
2.如果一个 n 边形的内角和等于 2340°，那么 n =_____.
15
x =_____
x =_____
(1)
(2)
105
40

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