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2026年中考复习训练题01
一．选择题（共22小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D C C B C D C B C
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A C D A B D D B A B B
一．选择题（共22小题）
1．在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌．假设在全红婵的某场跳水比赛中，5位裁判给出的分数分别是9.5，9.3，9.5，9.1，9.1，则下列说法正确的是（　　）
A．平均数是9.2 B．中位数是9.3
C．众数是9.5 D．方差是0.8
【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．
【解答】解：5个数按从小到大的顺序排列9.1，9.1，9.3，9.5，9.5，
A、平均数是159.1×2+9.5×2+9.3＝9.3，故本选项不符合题意；
B、中位数是9.3，故本选项符合题意；
C、9.1和9.5出现次数最多，众数是9.1和9.5，本选项不符合题意；
D、方差是15×2×9.1﹣9.32+2×9.5﹣9.32+9.3﹣9.32＝0.032，本选项不符合题意．
故选：B．
2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
3．下列运算正确的是（　　）
A．4a3﹣a2＝3a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a6÷a2＝a3 D．a3 3a2＝3a5
【分析】根据合并同类项法则判断选项A；根据完全平方公式判断选项B；根据同底数幂的除法运算法则判断选项C；根据单项式乘单项式运算法则判断选项D即可．
【解答】解：A.4a3与a2不是同类项，不能合并，故选项A错误；
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B错误；
C．a6÷a2＝a4，故选项C错误；
D．a3 3a2＝3a5，故选项D正确．
故选：D．
4．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1
【分析】将原点坐标代入二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函数的二次项系数不为零．
【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣3＝0，
所以m＝﹣1或m＝3，
又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，
所以m＝3．
故选：C．
5．下表记录了二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：
x … ﹣2 3 4 …
y … m 0 m …
根据表中信息，当0＜x＜3时，过点（0，n）且平行于x轴的直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1＜n＜0 B． C． D．
【分析】由表格可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，进而求出二次函数解析式为，则二次函数图象开口向上，有最小值，求出0＜x＜3时分界点的函数值，即可得到答案．
【解答】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）
∵x＝3时，y＝0，
∴9a﹣6a﹣1＝0，
∴，则，
∴，
∴二次函数图象开口向上，有最小值，
当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，；当x＝3时，y＝0，
∵过点（0，n）且平行于x轴的直线与该二次函数图象有两个公共点，
∴，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB＝2，则CD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1 D．3
【分析】证AD＝BD＝BC，再证△BCD∽△ABC，得，则，则点D是AC的黄金分割点，求出AD的长，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣36°）＝72°，
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝36°，
∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝BC，△BCD∽△ABC，
∴，∴，
∴点D是AC的黄金分割点，AD＞CD，
∴ADAC1，
∴CD＝AC﹣AD＝3，
故选：B．
7．如图，将正五边形一角沿直线MN折叠，折叠后得到点D′，则∠1+∠2＝（　　）
A．108° B．72° C．216° D．144°
【分析】先确定∠D＝108°，再根据折叠的性质得∠D′＝∠D＝108°，再根据四边形内角和及邻补角的定义可得结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，
∴∠D′＝∠D＝108°，
∴∠DND′+∠DMD′＝360°﹣2∠D＝360°﹣2×108°＝144°，
∵∠1＝180°﹣∠DND′，∠2＝180°﹣∠DMD′，
∴∠1+∠2＝360°﹣144°＝216°．
故选：C．
8．如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为π，则正六边形的边长为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】设正六边形ABCDEF的边长为x，则AB＝BC＝x，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，，在Rt△ABH中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可．
【解答】解：以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，设正六边形ABCDEF的边长为x，
∴AB＝BC＝x，，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，
∴，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH＝CH，，
在Rt△ABH中，，
∴，
同理可证，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∵的长为，
∴，
解得，
正六边形的边长为．
故选：D．
9．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解．
【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2﹣4ac＜0；⑤若（，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中正确个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据该二次函数图象的对称轴、开口方向、与x轴的交点情况以及顶点坐标和图象上的坐标特征，分别判断每个小题的正误即可．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
当x＝0时，y＝c，
∴c＜0．
∵对称轴直线x1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0．
故①正确．
②∵对称轴直线x1，
∴2a+b＝0．
故②不正确．
③根据图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
故③正确．
④∵ax2+bx+c＝0有两个不同的实根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
故④不正确．
⑤∵x距对称轴为直线x＝1的距离为1；
x＝2距对称轴为直线x＝1的距离为2﹣1＝1，
∴（，y1）与（2，y2）相比，距对称轴的距离更近，
∴y1＜y2．
故⑤正确．
故选：B．
11．如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
【分析】先求出点A的坐标；设直线y＝2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC的长；若将直线y＝2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求出点Q的坐标．
【解答】解：令2x+2＝﹣x+5，解得x＝1，
∴A（1，4）．
设直线y＝2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC＝1，AC＝4，
令y＝2x+2＝0，则x＝﹣1，
∴OB＝1，
∴BC＝2．
将直线y＝2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP＝45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠ACO＝∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠ABD＝90°，∠BAP＝45°，
∴∠BDA＝∠BAP＝45°，
∴AB＝BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC＝DE＝2，BE＝AC＝4，
∴OE＝3，
∴D（3，﹣2），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y＝﹣3x+7，
令y＝0，则x，
∴P（，0）；
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，
则∠BAQ＝45°，
∵∠ABF＝∠ABD＝90°，
∴∠BAF＝∠BFA＝45°，
∴BF＝BA＝BD，即点B为DF的中点，
∵B（﹣1，0），D（3，﹣2），
∴F（﹣5，2），
设直线AQ的解析式为：y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AQ的解析式为：yx．
令y＝0，则x＝﹣11，
∴Q（﹣11，0），
综上所述，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（﹣11，0），（，0）．
故选：C．
12．如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB RBC RAC RR（AB+AC+BC），
∵AB+ACBC，
∴S△ABCR（BC+BC）R BC，
∵AD的长为h，
∴S△ABCBC h，
∴R BCBC h，
∴hR，
∴，
故选：A．
13．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（　　）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【分析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【解答】解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IECM＝4，
故选：C．
14．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AI＝2CD，则的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据三角形的内心性质证明△CDE∽△ADC，得，所以DECD，然后表示出AE，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接IC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC，
∵AI＝2CD，
∴AI＝2DI，AD＝3CD，
∵∠BCD＝∠BAD＝∠CAI，∠D＝∠D，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DECD，
∴AE＝AD﹣DE＝3CDCDCD，
∴8．
故选：D．
15．如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，进而即可求解．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为G，D，R，
∴图中阴影部分面积和是△AOB的面积﹣扇形TOQ的面积，
∵OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OABCAB，∠OBA∠CBA，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OAB+∠OBA∠CAB∠CBA＝55°，
∴∠AOB＝180﹣（∠OAB+∠OBA）＝125°，
∴S阴影＝S△AOB﹣S扇形10×3π×32＝15π，
故选：A．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
【分析】首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
【解答】解：如图，连接CD，在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM，BMCM，
∴AM＝AC﹣CM，
∴AB7．
故选：B．
17．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝104＝10+2＝12．
故选：D．
18．已知点A（3，3），点B为x轴负半轴上一点，直线BA绕点A顺时针旋转45°交y轴于点C，当BC＝BO+2时，则点B坐标为（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣9，0） C．（﹣6，0） D．（﹣3，0）
【分析】过点A作y轴的平行线，交x轴于点H，过点C作y轴的垂线，两条直线相交于点G，过点A作AF⊥AC，交x轴于点F，证明△ACG≌△FAH（ASA），得AG＝FH，AC＝AF，再证明△ACB≌△AFB（SAS），得BC＝BF，设BO＝x，则BC＝x+2，利用勾股定理求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作y轴的平行线，交x轴于点H，过点C作y轴的垂线，两条直线相交于点G，过点A作AF⊥AC，交x轴于点F，
∵A（3，3），CG⊥GH，GH⊥x轴，
∴AH＝OH＝CG＝3，∠CGA＝∠AHF＝90°，
∵AF⊥AC，
∴∠CAG+∠ACG＝∠CAG+∠FAH＝90°，
∴∠ACG＝∠FAH，
∴△ACG≌△FAH（ASA），
∴AG＝FH，AC＝AF，
∵∠CAB＝45°，
∴∠FAB＝90°﹣∠CAB＝45°，
∴∠FAB＝∠CAB，
∵AB＝AB，AG＝FH，
∴△ACB≌△AFB（SAS），
∴BC＝BF，
∵BC＝BO+2，BC＝BO+OF，
∴OF＝2，
∴FH＝AG＝1，
∴HG＝4，即C（0，4），
∴OC＝4，
设BO＝x，则BC＝x+2，
在Rt△BOC中，有BO2＝BC2﹣OC2，即x2＝（x+2）2﹣42，
∴x＝3，
∴B（﹣3，0），
故选：D．
19．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AB的长，∠ABC的度数，再根据线段的中点定义可得AD＝BDAB＝4，从而可得DHAD＝2，然后利用旋转的性质可得：BE＝BF，∠EBF＝60°，从而利用等式的性质可得∠ABE＝∠CBF，进而利用SAS证明△BDE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得DE＝CF，再根据垂线段最短，即可解答．
【解答】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠AHD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BDAB＝4，
∴DHAD＝2，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，
∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵BD＝BC＝4，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴DE＝CF，
当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2，
∴CF长的最小值是2，
故选：B．
20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　）
A．3 B．64 C．22 D．2
【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
【解答】 解：取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MNOC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故选：A．
21．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．56米 D．66米
【分析】通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝26米，由勾股定理可求出DM的长，设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝262，
解得k＝2，
∴DM＝10（米），CM＝24（米），
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，
∵tan∠ADEtan53°，
∴，
解得a，
∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），
BE＝5a（米），
∴AB＝AE﹣BE＝56（米），
答：基站塔AB的高为米．
故选：B．
22．已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BH⊥AC于H，利用勾股定理得数量关系，过点B作BH⊥AC于H，建立等腰三角形，求角的关系，等量代换后，再用三角函数求值．
【解答】解：过点B作BH⊥AC于H，
设HC＝x，HA＝y，HB＝h，
∴x2+h2＝a2，y2+h2＝c2，x+y＝b．
解得：x（5a﹣3c），y（5c﹣3a），h（3c﹣a）（3a﹣c）．
∵CE＝CB，
∴∠E＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠CBE+∠E，
∴∠E∠BCA，
∴tan∠BAC tan∠BCA＝tan∠D tan∠E．
故选：B．
二．填空题（共12小题）
23．因式分解：a﹣a2＝a（1﹣a）　 ．
【分析】原题中的公因式是a，用提公因式法来分解因式．
【解答】解：原式＝a（1﹣a）．
24．如图，把边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，边BC与D'C'交于点O，则四边形ABOD'的面积为　1　 ．
【分析】如图，利用正方形的性质得∠B′AC′＝∠AC′D′＝45°，AC′AB′，再根据旋转的性质得点B在AC′上，AB′＝AB＝1，∠AB′C′＝∠B＝90°，则可判断△OC′B为等腰直角三角形，所以OB＝C′B1，然后利用四边形ABOD′的面积＝S△AD′C′﹣S△OC′B进行计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B′AC′＝∠AC′D′＝45°，AC′AB，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′，
∴点B在AC′上，AB′＝AB＝1，∠AB′C′＝∠B＝90°，
∴△OC′B为等腰直角三角形，而C′B＝AC′﹣AB1，
∴OB＝C′B1，
∴四边形ABOD′的面积＝S△AD′C′﹣S△OC′B1×1（1）×（1）1．
故答案为：1．
25．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　　 ．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：因为函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣3，1），
所以方程组的解是．
故答案为．
26．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线上，则点A2025的坐标是　　 ．
【分析】先求出OB2025的长度，再用勾股定理求出B2025的坐标，根据A2025和OB2025的位置关系即可求出A2025的坐标．
【解答】解：∵△B1A1B2，△B2A2B3都是边长为2的等边三角形，点B1，B2，B3，…，都在直线上，
∴OB2025＝2×2025＝4050，
设B2025（x，），则x240502，
解得，
∴B2025（2025，2025），
∴A2025（2025，2025+2），即A2025（2025，2027），
故答案为：（2025，2027）．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烽同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是 　②③　 ．
【分析】根据顶点坐标判断b、c的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用a表示b、c，再解方程判断③；根据平移法则判断④．
【解答】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2），
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
把x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+c得：
a+b+c＝2，
∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a，
∴c的符号无法判断，
故结论①错误；
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故结论②正确；
∵b＝﹣2a，c＝2+a，
∴y＝ax2﹣2ax+2+a，
∵ax2+bx+c＝0的一个根为3，
∴0＝9a﹣6a+2+a，
∴，
故结论③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，2），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，
∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故结论④错误；
∴一定正确的是②③．
故答案为：②③．
28．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为　2　 ．
【分析】由图象可知，抛物线y＝ax2+bx的顶点纵坐标为2，根据题意可得抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣m+3有两个交点，进而可得﹣m+3＜2，求出m的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：由图象可知，抛物线y＝ax2+bx的顶点纵坐标为2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣m+3有两个交点，
∴﹣m+3＜2，
解得m＞1，
∴整数m的最小值为2．
故答案为：2．
29．已知二次函数y＝2（x+1）2﹣5，当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是 　﹣5≤y＜13　 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣5，
∴该函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，取得最小值，此时y＝﹣5，
∵当x＝﹣4时，y＝18﹣5＝13，当x＝1时，y＝8﹣5＝3，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是：﹣5≤y＜13，
故答案为：﹣5≤y＜13．
30．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BAC的度数为　50　 度．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等，求出角的度数，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由条件可知∠B＝∠D＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝50°，
故答案为：50．
31．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠BDC＝30°，则 　2　 ．
【分析】设BC＝a，证明AD＝DB＝2a，CDa，再利用正切函数的定义求解．
【解答】解：设BC＝a，
∵∠C＝90°，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝2a，CDa，
∵MN垂直平分线段AB，
∴DB＝DA＝2a，
∴AD+CD＝2aa＝（2）a，
∴2．
故答案为：2．
32．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为 　2π﹣4　 ．
【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC，
故答案为：2π﹣4．
33．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF．若AB＝1，BC＝2，则AF长为 　　 ．
【分析】根据折叠的性质得出AF＝CF，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由折叠可得，AF＝FC，
设AF＝x，则BF＝2﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即12+（2﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴AF，
故答案为：．
34．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值是　2　 ．
【分析】作AG⊥x轴，BH⊥x轴，可证明△AGO∽△OHB，利用面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，
∵点A在函数图象上，
∴S△AGO，
∵点B在反比例函数图象上，
∴S△BOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴，
∴．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
35．解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
由①，得：x＜1，
由②，得：x≥﹣1，
由上可得，该不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
其解集在数轴上表示如下，
．
36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接BD，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC，由题意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可证∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得∠ECO＝∠ACB＝90°，则可证CE是⊙O的切线；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得CE＝CF，可证△CED≌△CFB，可得DE＝BF，根据勾股定理可求⊙O的半径长．
【解答】证明：（1）连接BD
∵，
∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC
∵四边形ACBD是圆内接四边形
∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC，BD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
又∵∠CAB＝∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCO＝∠ACE，
∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（3）过点C作CF⊥AB于点F，
又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，
∴∠CEA＝∠CFA＝90°，
∴△AEC≌△AFC（AAS），
∴AE＝AF，
∵，
∴CB＝CD，
在△CED和△CFB中，
∴△CED≌△CFB（AAS），
∴ED＝FB，
设AB＝x，则AD＝x﹣2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
∴⊙O的半径的长为．
37．如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，连接BE、DF，且∠DFC＝∠EBC．求证：AE＝CF．
【分析】通过矩形ABCD得到AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，证明∠BEA＝∠DFC，则△ABE≌△CDF（AAS），即可求证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，
∵∠DFC＝∠EBC，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
38．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率；
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
【分析】（1）根据图示，单独闭合A时小灯不亮，单独闭合B时小灯不亮，单独闭合C时小灯不亮，单独闭合D时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解
【解答】解：（1）共有四个开关A，B，C，D，
当闭合一个开关时，单独闭合A时小灯不亮，单独闭合B时小灯不亮，单独闭合C时小灯不亮，单独闭合D时小灯亮，
∴概率是；
（2）闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有12中等可能结果，其中小灯泡发光的是（A，D），（B，D），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C）共6种，
∴概率是．
39．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若，求出y的最小值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式求出Δ＞0即可求解；
（2）利用根与系数的关系找出x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，代入来求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，
∴
＝（﹣m）2+2（m﹣2）
＝m2+2m﹣4
＝（m+2）2﹣5，
∴y最小值为﹣5．
40．小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点O建立平面直角坐标系xOy，记羽毛球与发球点的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为3.2m，根据上述信息，回答下列问题．
水平距离x/m … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
垂直高度y/m … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 …
（1）求羽毛球按抛物线飞行时，y与x满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）；
（2）已知球网高1.52m，与发球点的水平距离为3m．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为4.5m的点Q处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）近似满足一次函数关系y＝kx+b（k≠0）；
①若k＝0.4，请通过计算说明小胜回击的球能否过网；
②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时k的值．
【分析】（1）根据表格信息，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），把（1，2.75），（1.5，3），（2，3.15）代入，运用待定系数法即可求解；
（2）①根据表格信息可得，当x＝4.5时，y＝2，即Q（4.5，2），代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高1.52m，与发球点的水平距离为3m，把x＝3代入计算即可求解；
②根据题意可得Q（4.5，2），刚好过网时球与网接触的点为（3，1.52），运用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），把（1，2.75），（1.5，3），（2，3.15）代入得：
，
解得，
∴y与x满足的函数关系式为；
（2）①小胜回击的球不能过网；理由如下：
根据表格信息可得：当x＝4.5时，y＝2，即Q（4.5，2），
∵k＝0.4，
∴一次函数解析式为y＝0.4x+b，把点Q代入得：0.4×4.5+b＝2，
解得b＝0.2，
∴一次函数解析式为：y＝0.4x+0.2，
已知球网高1.52m，与发球点的水平距离为3m，
∴当x＝3时，y＝0.4×3+0.2＝1.4，
∵1.4＜1.52，
∴小胜回击的球不能过网；
②羽毛球距地面的垂直高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）近似满足一次函数关系y＝kx+b（k≠0），Q（4.5，2），球网高1.52m，与发球点的水平距离为3m，小胜回击的球刚好过网，
∴刚好过网时球与网接触的点为（3，1.52），代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴k的值为0.32．
41．如图1，雯雯同学将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为AE，延长EG交CD于点F，连接AF．
（1）求证：FD＝FG；
（2）如图2，过点F作FM⊥AE与点M，连接BM，求证BM平分∠ABC；
（3）如图3，过点G作GH∥AD交AE于点H，当时，求GH与AB的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据正方形的性质及折叠性质得AB＝AG，BE＝GE，∠B＝∠AGE＝90°，则AD＝AG，然后根据“HL”判定Rt△ADF和Rt△AGF全等即可得出结论；
（2）先由正方形的性质及折叠性质得∠EAF＝45°，证明△ABE和△FME相似得，再根据∠ABE＝∠FME＝90°得△BEM和△AEF相似，则∠MBE＝∠EAF＝45°，据此可得出结论；
（3）延长EF于AD的延长线交于M，设正方形的边长为6a，DF＝x，根据已知条件得EF＝5a，则BE＝GE＝5a﹣x，CE＝a+x，CF＝6a﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理可求出x＝2a或x2＝3a，①当x＝2a时，则DF＝FG＝2a，CE＝3a，GE＝3a，CF＝4a，证明△DMF和△CEF相似得DM＝1.5a，MF＝2.5a，则AM＝7.5a，EM＝7.5a，再证明△EGH和△EMA相似得GH＝3a，则GHAB；②当x＝3a时，则DF＝FG＝3a，CE＝4a，GE＝2a，CF＝3a，同理可证△DMF∽△CEF，则DM＝4a，MF＝5a，进而得AM＝10a，EM＝10a，再证明△EGH和△EMA相似得GH＝2a，则GHAB，综上所述即可得出GH与AB的数量关系．
【解答】（1）证明：如图1所示：
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，
由折叠的性质得：AB＝AG，BE＝GE，∠B＝∠AGE＝90°，
∴AD＝AG，
∵EG的延长线交CD于F，
∴∠D＝∠AGF＝90°，
在Rt△ADF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∵FD＝FG；
（2）证明：如图2所示：
由折叠的性质得：∠1＝∠2，∠AEB＝∠AEG，
由（1）可知：Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠BAD＝90°，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3＝45°，
即∠EAF＝45°，
∵EM⊥AF，
∴∠ABE＝∠FME＝90°，
又∵∠AEB＝∠AEG，
∴△ABE∽△FME，
∴，
又∵∠ABE＝∠FME＝90°，
∴△BEM∽△AEF，
∴∠MBE＝∠EAF＝45°，
∴∠ABM＝∠ABC﹣∠MEB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MBE＝∠ABM＝45°，
∴BM平分∠ABC；
（3）解：GH与AB的数量关系是：GHAB或GHAB，证明如下：
延长EF于AD的延长线交于M，如图3所示：
设正方形的边长为6a，DF＝x，则DF＝FG＝x，
由折叠的性质得：AB＝BC＝CD＝AD＝AG＝6a，∠AGE＝∠B＝90°，
∴S△AFEEF AGEF×6a＝3a×EF，S正方形ABCD＝（6a）2＝36a2，
∵，
∴，
∴EF＝5a，
∴BE＝GE＝EF﹣FG＝5a﹣x，
∴CE＝BC﹣BE＝6a﹣（5a﹣x）＝a+x，CF＝CD﹣DF＝6a﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CF2+CE2，
∴（5a）2＝（a+x）2+（6a﹣x）2，
整理得：x2﹣5ax+6a2＝0，
解得：x1＝2a，x2＝3a，
①当x＝2a时，则DF＝FG＝2a，CE＝a+x＝3a，GE＝5a﹣x＝3a，CF＝6a﹣x＝4a，
∵GH∥AD，
∴GH∥BC，
∴∠GHE＝∠AEB，
∵△ABE由AE翻折为△AGE，
∴∠AEB＝∠AEG，
∴∠GHE＝∠AEG，
∴GH＝GE＝BE＝BC﹣CE＝6a﹣3a＝3a，
此时；
∴GHAB；
②当x＝3a时，则DF＝FG＝3a，CE＝a+x＝4a，GE＝5a﹣x＝2a，CF＝6a﹣x＝3a，
同①得：GH＝GE＝BE＝BC﹣CE＝6a﹣4a＝2a，
此时；
∴GHAB
综上所述：GH与AB的数量关系是：GHAB或GHAB．
42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足OB＝OC＝2OA．连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点Q是线段BC上一点，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足EF＝1，连接AF，PE．当线段PQ长度取得最大值时，求AF+EF+PE的最小值；
（3）如图2，在（2）线段PQ长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线CB的方向移动个单位长度，得到新的抛物线y1，求出新抛物线y1的解析式．抛物线y1交CB延长线于点K，新抛物线y1上是否存在动点N，使得∠NQK＝∠ACB．若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可求得点A，B的坐标，设为交点式，进一步得出结果；
（2）设P（t，），Q（t，t﹣4），从而表示出PQ2，从而得出P（2，﹣4），将点A向下平移1个单位，记作A′（﹣2，﹣1），连接A′P，交y轴E，进而得出结果；
（3）可求得y1，设N（n，），作EG∥x轴，当点N在EG下方时，∠KQN＝∠ACB，可推出∠GQN＝∠ACO，从而tan∠GQN＝tan∠ACO，从而得出，从而求得结果；作QH∥y轴，同样得出∠NQH＝∠ACO，从而tan∠NQH＝tan∠ACO，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OB＝OC＝2OA，
∴OB＝4，OA＝2，
∴B（4，0），A（﹣2，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+2），
∴﹣4＝a×（﹣4）×2，
∴a，
∴y，
（2）∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
设P（t，），Q（t，t﹣4），
∴PQ＝（t﹣4）﹣（）2t2，
∴当t＝2时，PQ最大＝2，
当t＝2时，y4，
∴P（2，﹣4），
将点A向下平移1个单位，记作A′（﹣2，﹣1），连接A′P，交y轴E，
∴A′P5，
∴（AF+EF+PE）最小＝A′P+EF＝5+1＝6；
（3）∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∴2，
∵y，
∴y1，
如图1，
设N（n，），
作QG∥x轴，当点N在EG下方时，∠KQN＝∠ACB，
∴∠KQG+∠GQN ＝∠ACO+∠BCO，
∵∠KQG＝∠BCO＝45°，
∴∠GQN＝∠ACO，
∴tan∠GQN＝tan∠ACO，
∴，
∴，
∴n＝3或n＝2（舍去），
当n＝3时，y1，
∴N（3，），
如图2，作QH∥y轴，
同理可得，
∠NQH＝∠ACO，
∴tan∠NQH＝tan∠ACO，
∴，
∴，
∴n＝0或n＝2（舍去），
当n＝0时，y1＝2，
∴N（0，2），
综上所述：N（3，）或（0，2）．中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考复习训练题01
一．选择题（共22小题）
1．在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌．假设在全红婵的某场跳水比赛中，5位裁判给出的分数分别是9.5，9.3，9.5，9.1，9.1，则下列说法正确的是（　　）
A．平均数是9.2 B．中位数是9.3
C．众数是9.5 D．方差是0.8
2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．4a3﹣a2＝3a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a6÷a2＝a3 D．a3 3a2＝3a5
4．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1
5．下表记录了二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：
x … ﹣2 3 4 …
y … m 0 m …
根据表中信息，当0＜x＜3时，过点（0，n）且平行于x轴的直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1＜n＜0 B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB＝2，则CD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1 D．3
7．如图，将正五边形一角沿直线MN折叠，折叠后得到点D′，则∠1+∠2＝（　　）
A．108° B．72° C．216° D．144°
8．如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为π，则正六边形的边长为（　　）
A．2 B． C． D．
9．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2﹣4ac＜0；⑤若（，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中正确个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　）
A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
12．如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（　　）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
14．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AI＝2CD，则的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
15．如图，已知△ABC中，∠C＝70°，AB＝10，内切圆⊙O半径为3，则图中阴影部分面积和是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
17．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
18．已知点A（3，3），点B为x轴负半轴上一点，直线BA绕点A顺时针旋转45°交y轴于点C，当BC＝BO+2时，则点B坐标为（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣9，0） C．（﹣6，0） D．（﹣3，0）
19．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　）
A．3 B．64 C．22 D．2
21．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．56米 D．66米
22．已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
23．因式分解：a﹣a2＝　 　 ．
24．如图，把边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，边BC与D'C'交于点O，则四边形ABOD'的面积为　 　 ．
25．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　 ．
26．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线上，则点A2025的坐标是　 　 ．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烽同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是 　 　 ．
28．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为　 　 ．
29．已知二次函数y＝2（x+1）2﹣5，当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是 　 　 ．
30．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BAC的度数为　 　 度．
31．如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠BDC＝30°，则 　 　 ．
32．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
33．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF．若AB＝1，BC＝2，则AF长为 　 　 ．
34．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值是　 　 ．
三．解答题（共8小题）
35．解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．
36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
37．如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，连接BE、DF，且∠DFC＝∠EBC．求证：AE＝CF．
38．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率；
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
39．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若，求出y的最小值．
40．小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点O建立平面直角坐标系xOy，记羽毛球与发球点的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为3.2m，根据上述信息，回答下列问题．
水平距离x/m … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
垂直高度y/m … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 …
（1）求羽毛球按抛物线飞行时，y与x满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）；
（2）已知球网高1.52m，与发球点的水平距离为3m．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为4.5m的点Q处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）近似满足一次函数关系y＝kx+b（k≠0）；
①若k＝0.4，请通过计算说明小胜回击的球能否过网；
②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时k的值．
41．如图1，雯雯同学将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为AE，延长EG交CD于点F，连接AF．
（1）求证：FD＝FG；
（2）如图2，过点F作FM⊥AE与点M，连接BM，求证BM平分∠ABC；
（3）如图3，过点G作GH∥AD交AE于点H，当时，求GH与AB的数量关系，并证明你的结论．
42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足OB＝OC＝2OA．连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点Q是线段BC上一点，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足EF＝1，连接AF，PE．当线段PQ长度取得最大值时，求AF+EF+PE的最小值；
（3）如图2，在（2）线段PQ长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线CB的方向移动个单位长度，得到新的抛物线y1，求出新抛物线y1的解析式．抛物线y1交CB延长线于点K，新抛物线y1上是否存在动点N，使得∠NQK＝∠ACB．若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

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