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22.2 函数的表示
第1课时 画函数图象
第二十二章 一次函数
“乌鸦喝水”的故事前面我
们都知道了，乌鸦衔来一些小石子放入
瓶中(如图)，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，愉快地飞走了.
你能画图表示上面的故事情节吗？
知识点：函数的图象
问题：1.正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式为 ，其中 x 的取值范围是 .
我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S 与 x 的关系.
S = x2
x > 0
(2) 怎样获得组成图形的点？
先确定点的坐标.　　　　
(4) 自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一
的函数值 S，是否唯一确定了一个点 (x，S) 呢？
取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
(3) 怎样确定满足函数关系的点的坐标？
(1) 在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对
来表示.即坐标平面内 与有序数对是一一 的.
有序数对
点
对应
想一想：
例1 在下列式子中，y 是的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1) y＝x＋0.5.
解：(1) 从式子 y＝x＋0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数.
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 x 的对应值，列表（计算并填写表中空格).
典例精析
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
S ··· -0.5 0.5 ···
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点 (x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数 y＝x＋0.5 的图象可以看出：
直线从左向右上升，即当 x 由小变大时，y 随之增大.
1
2
-1
-2
1
2
3
-1
-2
-1.5
1.5
2.5
中的取值范围是全体正实数，
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表（计算并填写表中空格）.
x ··· 0.5 1 2 3 4 5 6 ···
S ··· 3 1.5 1 0.75 ···
0.5
0.6
6
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点 (x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数 (x＞0) 的图象可以看出：
曲线从左向右上升，即当 x 由小变大时，y 随之增大.
x ··· 0.5 1 2 3 4 5 6 ···
S ··· 3 1.5 1 0.75 ···
0.5
0.6
6
2.填写下表：
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
S
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
　　一般地，对于一个函数，如
果把自变量与函数的每对对应值
分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，
就是这个函数的图象．如右图中
的曲线就叫函数 （x＞0）
的图象．
用平滑曲线去连接画出的点
用空心圈表示不在曲线的点
画函数图象的一般步骤：
归纳总结
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及
其 ；
第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为 ，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标 的顺序，
把所描出的各点用 连接起来.
总结
对应的函数值
横坐标
纵坐标
平滑曲线
由小到大
(2) 点 P (5，2) 该函数的图象上(填“在”或“不在”).
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-1
0
1
O
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-3
不在
练一练
1. (1) 在所给的平面直角坐标系中画出函数 的图象.（先填写下表，再描点、连线）
描点法画函数图象的一般步骤：
1.________；2.________；3._________
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对________分别作为点的___、___坐标，那么坐标平面内由这些___组成的图形，就是这个函数的图象．
通过图象可以数形结合地研究函数
函数
对应值
描点
列表
横
纵
点
连线
1. 一条小船沿直线向码头匀速前进. 在时间 t = 0 min ，2 min，4 min，6 min 时，测得小船与码头的距离 s 分别为 200 m，150 m，100 m，50 m.
（1）小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数吗？
（2）如果是，写出函数的表达式，并画出函数图象.
函数表达式为： .
列表：
t/min 0 2 4 6 …
s/m 200 150 100 50 …
是
s = 200 - 25t
小船速度为 (200 - 150) ÷ 2 = 25 m/min，
s = 200 - 25t
t/min
s/m
O
1
2
3
4
5
6
7
50
100
150
200
画图：
22.2 .2 函数的图象的应用
心电图
记录的是心脏本身的生物电流在每一心动周期中发生的电变化情况.
有些问题中的函数很难用函数解析式来表示，但是可以用图象来直观地反映它们的变化情况.
思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化．
你从图象中得到了哪些信息？
从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
知识点：实际问题中的函数图象
时间
气温
最低气温
最高气温
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
-3
O
4
14
24
8
T/℃
t/时
（1）从这个函数图象可知：这一天中 时气温最低（ ）， 气温最高（ ）；
4
-3°C
14 时
8°C
（2）从_____至 气温呈下降状态，从4时至 14 时气温呈上升状态，从 至 气温又呈下降状态.
0 时
4 时
14 时
24 时
例2 下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中 x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
根据图象回答下列问题：
(1) 食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
解：(1) 由纵坐标看出，食堂离小明家 0.6 km；小明从家到食堂用了 8 min.
到达食堂
(2) 小明在食堂吃早餐用了多少时间？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
(2) 由横坐标看出， 25 - 8 = 17，小明在食堂吃早餐用了 17 min.
横坐标保持不变，吃早餐的时间
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
(3) 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(3) 由纵坐标看出，0.8 - 0.6 = 0.2，食堂离图书馆 0.2 km；由横坐标看出，28 - 25 = 3，小明从食堂到图书馆用了 3 min.
到达图书馆
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（4）小明读报用了多长时间？
（4）58 - 28 = 30，小明读报用了 30 min.
读报的时间
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（5）图书馆离小明家 0.8 km；由横坐标看出，小明从图书馆回家用了 68 - 58 = 10 (min)，由此算出的平均速度是 0.08 km/min.
解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息.
方法小结
(1)了解横、纵轴的意义；
(2)从 上判定函数与自变量的关系；(3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义.
步骤
图象形状
（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？
答：2.5 千米，15 分钟 .
2. 下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，图中 x 表示时间，y 表示张强离家的距离.
练一练
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店停留了多少时间？
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
答：2.5 - 1.5 = 1 (千米).
答：65 - 45 = 20 (分钟).
描点法画函数图象的一般步骤：
1.________；2.________；3._________
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对________分别作为点的___、___坐标，那么坐标平面内由这些___组成的图形，就是这个函数的图象．
通过图象可以数形结合地研究函数
函数
对应值
描点
列表
横
纵
点
连线
1. 一天，张阿姨从家匀速步行去超市买菜，到了超市她花了一段时间购买好了所需菜品，在支付钱的时候接到朋友来家拜访她的电话，且朋友正在家门口等张阿姨，于是她用快于来时的速度匀速回到了家.则张阿姨离家的距离 y (单位：m)与时间 x (单位：min)之间的关系大致图象是( )
C
A.
B.
C.
D.
2.右图是某市某一天内的气温变化图，根据图象，下列说法中错误的是( )
A. 这一天中最高气温是 24℃
B. 这一天中最高气温与最低
气温的差为 16℃
C. 这一天中 2 时至 14 时之间的
气温在逐渐升高
D. 这一天中只有 14 时至 24 时之间的气温在逐渐降低
D
3. 小明同学骑自行车去郊外春游，
如图表示他离家的距离 y (km) 与所
用的时间 x (h) 之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离
家最远的地方用了______h；
（2）小明出发 2.5 h 后离家_______km；
（3）小明出发__________h 后离家 12 km.
3
22.5
2.5
12
0.8 或 5.2
22.2.3函数的表示方法
在计算器上按照下面的程序进行操作：
输入 x (任意一个数)
按键
×
2
=
显示 y (计算结果)
　x 1 3 －4 0 101
　y
7
11
－3
5
207
显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗？为什么
填表：
+
5
如果是，写出它的解析式.
y = 2x + 5
动手操作
知识点 1：函数的三种表示方法
用平面直角坐标系中的一个图象来表示的．
问题1 下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，气温 T 是不是时间 t 的函数？
这里是怎样表示气温 T 与时间 t 之间的函数关系的？
是
问题2 正方形的面积 S 与边长 x 的取值如下表，面积 S 是不是边长 x 的函数？
这里是怎样表示正方形面积 S 与边长 x 之间的函数关系的？
列表格来表示的．
1 4 9 16 25 36 49
是
问题3 某城市居民用的天然气，1 m3 收费 2.88 元，使用 x (m3) 天然气应缴纳的费用 y (元) 为 y = 2.88x．
y 是不是 x 的函数？
这里是怎样表示缴纳的天然气费 y 与所用天然气的体积 x 的函数关系的？
用函数解析式 y＝2.88x 来表示．
是
归纳小结
函数的三种表示法：
y = 2.88x
图象法、
列表法、
解析式法．
1 4 9 16 25 36 49
请从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点，填写下表：
表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性
列表法
解析式法
图象法
　例1 一水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
典例精析
+0.3
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
+0.3
+0.3
+0.3
+0.3
x/h
y/m
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
解：可以看出，这 6 个点 ，且每
小时水位 . 由此猜想，在这个时间
段中水位可能是以同一速度均匀上升的.
在同一直线上
上升 0.3 m
5
O
5
（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写
出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函数图象．
这个函数能表示水位的变化规律吗？
（2）由于水位在最近 5 小时内持续上涨，对于时间 t的每一个确定的值，水位高度 y 都有 的值与其对应，所以，y t 的函数.
函数解析式为： .
自变量的取值范围是： . 它表示在这 小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个函数可以近似地表示水位的变化规律.
唯一
是
y = 0.3t + 3
0≤t≤5
5
0.3 m/h
(3) 据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2 h 水位高度将达到多少 m．
(3) 如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续 2 小时，水位的高度： .
此时函数图象 (线段AB)
向 延伸到对应的位置，这时水位高度约为 m.
5.1 m
右
5.1
7
x/h
y/m
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
O
5
4.5
3
1. 已知火车站托运行李的费用 C（元）和托运行李的质量 P（千克）（P 为整数）的对应关系如表：
P 1 2 3 4 5 …
C 2 2.5 3 3.5 4 …
（1）已知小周的所要托运的行李为 7 千克，请问小周托运行李的费用为多少元？
（2）写出 C 与 P 之间的函数解析式；
（3）小李托运行李花了 15 元钱，请问小李的行李是多少千克？
5 元
C = 0.5P + 1.5
27 千克
练一练
从数量关系的角度明确_____与________的对应关系
函数的表示方法
解析式法
清楚地列出一些____和______的对应值，某些特定的数值一目了然
列表法
可以直观形象地反应函数的___________，对于一些无法用解析式表达的函数，图象的作用非常重要
图象法
函数
自变量
函数
自变量
变化地趋势
1.向最大容量为 60 升的热水器内注水，每分钟注水 10 升，注水 2 分钟后停止注水 1 分钟，然后继续注水，直至注满.则能反映注水量与注水时间之间的函数关系的图象是 ( )
D
A
B
C
D
2.某工厂投入生产一种机器，每台成本 y（万元/台）与生产数量 x（台）之间是函数关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
x (单位：台) 10 20 30
y (单位：万元/台) 60 55 50
C
则 y 与 x 之间的解析式是（ ）
A. y = 80 - 2x B. y = 40 + 2x
C. y = 65 - D. y = 60 -
3. 用解析式法与图象法表示等边三角形的周长 l 关于边长 a 的函数关系.
a … 1 2 3 4 …
l … 3 6 9 12 …
描点、连线：
用描点法画函数 l = 3a 的图象.
O
2
x
y
1
2
3
4
5
8
6
4
10
12
解：因为等边三角形的周长 l 是边长 a 的 3 倍，所以周长 l 与边长 a 的函数关系可表示为 l = 3a (a＞0).

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