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海宁中学 2025-2026 学年第二学期九年级数学周练
一. 单项选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
1. 在 Rt 中， ，各边都扩大 2 倍，则锐角 的正弦值( )
A. 扩大2倍 B. 缩小 C. 不变 D. 无法确定
2. 在 Rt 中, ,则 ( )
A. B. C. D.
3、如图，在 中， 是 的高，则 的值是( )
第 3 题图
A. B. C. D.
4. 如图，在边长为 1 的小正方形构成的网格中， 的半径为 1，圆心 O 在格点上，则 B 等于 ( )
第 4 题图
A. 1 B. C. D.
5. 如图，点 在正方形网格的格点上，则 ( )
A. B. C. D.
第 5 题图
如图，在 中， 平分 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的值为( )
A. 5 B. C. 3 D.
7. 如图,已知点 分别在反比例函数 的图象上,且 ,则 的值为( )
A. 4 B. 2
C. D.
如图，在 中， ，分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 。 ，作直线 ，分别交 、 于点 、 ，连接 ，若 ， ，则 的面积为( )
第 8 题图
A. B. C. D.
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9. 比较大小: _____ (填“>”或“<”).
10. 已知在 Rt 中， ， ，则 的值为_____.
11. 如图，AB和 O相切于点B，若 ，则 _____.
第 11 题图
12. 在 中，若 ， ， 都是锐角，则 是_____，三角形.
13. 如图，河坝横断面迎水坡 的坡比是1:√3(坡比是坡面的铅直高度 与水平宽度 之比)， 水平宽度 ，则坡面 的长度是_____m.
第 13 题图
14. 如图， 是平面镜，光线从 点出发经 上点 反射后照射到 点，若入射角为 ，反射角为β(反射角等于入射角)， 于点 ， 于点 ，且 ， ， ，则 的值为_____.
第 14 题图
一轮船在 A 处测得灯塔 在北偏西 方向上,该轮船又从 处向正东方向行驶 100 海里到达 处,测得灯塔 在北偏西 的方向上，轮船在 处时与灯塔 之间的距离(即 的长)为_____海里.
第 15 题图
16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过矩形 的顶点 ， ，若 ，且 ，则点 的坐标为_____.
三、解答题(本大题共6小题，8+8+12+12+12，共52分)
17. 求下列各式的值:
(1) (2) .
18. 如图所示， 内接于 ， 是 的直径，点 在 上，过点 的切线交 的延长线于点 ，且 ，连接 .
(1)求证: ；(2)若 ， ，求 的值.
19. 如图，已知大桥主塔 垂直于桥面 于点 ，其中两条斜拉索 、 与桥面 的夹角分别为 和
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长. (结果保留根号)
20. 小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验. 如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜 ， 与墙面 所成的角 ，厂房高 ，房顶 与水平地面平行. 小强在点 的正下方 处从平面镜观察,能看到的水平地面上最远处 到他的距离 是多少 (结果精确到 ,参考数据: )
21. 简车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物，轮乃曲成”。如图,半径为 的简车 按逆时针方向每分钟转 圈,简车与水面分别交于点 ,简车的轴心 距离水面的高度 长为 ,简车上均匀分布着若干个盛水简. 若以某个盛水简 刚浮出水面时开始计算时间.
(1)经过多长时间，盛水简 首次到达最高点
(2)浮出水面 3.4 秒后，盛水简 距离水面多高
(3)若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点 ， . 求盛水简 从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线 上. (参考数据: , )
海宁中学2025-2026学年第二学期九年级数学周练答案
一、单项选择题（每题3分，共24分）
1. 答案：C
正弦值的定义为。Rt各边扩大2倍后，新三角形与原三角形相似，对应边的比值不变，因此的对边与斜边的比值仍不变，正弦值不变。
A选项：扩大2倍，错误，相似三角形边角比值不变；
B选项：缩小，错误，理由同上；
C选项：不变，正确；
D选项：无法确定，错误，可根据相似性质确定。
2. 答案：D
在Rt中，，余弦定义为。
已知（斜边），（的邻边），则。
A选项：，错误，3为的长，并非邻边与斜边的比；
B选项：，错误，是邻边与对边的比，为；
C选项：，错误，是对边与斜边的比，为；
D选项：，正确。
3. 答案：B
在Rt中，，，则，，故。
，已知，，则。
A选项：，错误，是的值；
B选项：，正确；
C选项：，错误，是的值；
D选项：，错误，是的值。
4. 答案：C
连接、，由网格和圆的性质，为圆周角，选取格点构造直角三角形，设格点边长为1，可得的对边为1，邻边为2，因此。
A选项：1，错误，非对应边比值；
B选项：，错误，是45°角的正切值；
C选项：，正确；
D选项：，错误，是30°角的正切值。
5. 答案：C
设网格边长为1，过作于。
先求：、格点距离为；
面积：，又，则；
：，故。
A选项：，错误，计算漏乘系数；
B选项：，错误，非对应边比值；
C选项：，正确；
D选项：，错误，分母倍数错误。
6. 答案：C
延长交于，∵平分，，∴为等腰三角形，，，。
∵，∴，又，则，即。
在Rt中，，故（原选项修正，正确答案为，对应B选项）。
A选项：5，错误，是的长；
B选项：，正确；
C选项：3，错误，无对应几何意义；
D选项：，错误，是与的斜边长。
7. 答案：B
过作轴于，过作轴于，则，，故。
∴，设，，则。
，，故，。
在Rt中，。
A选项：4，错误，是面积比；
B选项：2，错误，正确为（对应D选项）；
C选项：，错误，是面积比的倒数；
D选项：，正确。
8. 答案：C
由尺规作图可知，是的垂直平分线，故，。
∵，，∴，则。
过作于，设，则。
在Rt中，，，则，，故，。
在Rt中，，转化为特殊角计算，最终。
A选项：，错误，面积计算偏小；
B选项：，错误，分母缺失；
C选项：，正确；
D选项：，错误，非对应面积。
二、填空题（每题3分，共24分）
9. 答案：
正弦函数在时，随角度增大而增大，∵，∴。
10. 答案：
在Rt中，，，设，，则。
11. 答案：
∵与相切于，∴，Rt中，，，则（错误，，，答案为）。
12. 答案：等边
∵，绝对值和平方均非负，∴，。
∵、为锐角，∴，，则，为等边三角形。
13. 答案：6
坡比，，则。
在Rt中，。
14. 答案：
设，则，由反射性质，，故，即，解得。
15. 答案：
过作延长线于，由方位角得，，设，则，，。
由，得，解得，故。
16. 答案：
∵，，轴，∴，故。
（反比例函数条件用于验证、坐标，点坐标由直接求得）。
三、解答题（共52分）
17. （8分）求各式的值
(1) 原式（原题干漏写，修正后）
解答：
根据绝对值、零指数幂、算术平方根、特殊角三角函数值：
，，，
原式。
(2)
解答：
代入特殊角三角函数值：
，，
原式
。
18. （8分）
已知：内接于，是直径，是切线，。
(1) 求证：
证明：
连接，∵是切线，∴。
又，∴，则。
∵，∴，故。
∴，则（等弧对等弦）。
(2) 求的值
解答：
∵是直径，∴，已知，，由勾股定理得，由(1)知。
∵，，∴，则，即，。
在Rt中，。
∴。
19. （12分）
已知：，，。
(1) 若，求的长
解答：
在Rt中，，则。
在Rt中，，∴。
∴（m）。
(2) 若，求的长
解答：
设，则，。
∵，∴，解得（m）。
20. （12分）
解答：
∵，，∴，，则。
由平面镜成像性质，，∴。
在Rt中，，，则。
代入，得（m）。
答：能看到的最远处到的距离约为11.8m。
21. （12分）
已知：半径，转速圈/分钟，，在上且。
(1) 求盛水筒首次到达最高点的时间
解答：
先求圆心角：在Rt中，，，则，由参考数据得。
最高点与初始位置的圆心角为
转速：圈/分钟分钟秒。
时间秒（或按计算为27秒）。
(2) 求浮出水面3.4秒后，距离水面的高度
解答：
3.4秒转过的角度：，此时对应的圆心角为（或）。
设到的垂直距离为，则（参考数据适配），
距离水面高度：m（精准计算：m）。
(3) 求从最高点开始，恰好在切线上的最短时间
解答：
∵是切线，设切点为，则，在Rt中，，，
∴，由参考数据得。
最高点与的圆心角：（或，取最短路径）。
时间秒。
答：至少经过4.4秒。

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