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第6课时 四则混合运算的应用
第一单元 问题与运算（二）
观察算式，你能发现什么规律？
99×1= 99
99×2=198
99×3=297
99×4=396
99×5=495
1.第一个乘数都是99，第二个 乘数逐题增加1。
2.积的首位都比第二个因数少1（第一个算式积的百位可以看作0），积的末位与首位的和都是9，中间一位都是9。
探索运算规律（一）。
（1）按下图给出的顺序计算。
在1～9九个数字中，任意取两个数字
组成两位数，求差
用求出的差除以9
写出结果
把你算的结果与同学交流一下。
1.试着在1～9九个数字中，任意取两个数字，按图中顺序计算。
小组讨论
2.在小组内交流计算结果，以及发现的规律。
从下面的数字球中任选两个，按照图中顺序计算。
计算与交流
2
3
4
5
6
7
8
9
1
我取数字2和7，组成
两个两位数27和72。
27
72
72－27＝45
计算两个两位数的差。
用差除以9。
45÷9＝
5
从下面的数字中任选两个，按照图中顺序计算。
计算与交流
2
3
4
5
6
7
8
9
1
我取数字4和6，组成
两个两位数46和64。
46
64
64－46＝18
计算两个两位数的差。
用差除以9。
18÷9＝
2
根据计算结果，试着找出规律。
任意取的两个数字组成的两个两位数的差，都能被9整除。
27
72
72－27＝45
45÷9＝
5
46
64
64－46＝18
18÷9＝
2
探索运算规律（一）。
（2）计算下面各题。
（21－12）÷9
（72－27）÷9
（95－59）÷9
（75－57）÷9
（81－18）÷9
（92－29）÷9
（21－12）÷9
（72－27）÷9
（95－59）÷9
（75－57）÷9
（81－18）÷9
（92－29）÷9
（2）计算下面各题。
＝9÷9
＝1
＝18÷9
＝2
＝45÷9
＝5
＝63÷9
＝7
＝36÷9
＝4
＝63÷9
＝7
试着根据计算结果找出规律。
2－1＝1
＝1
＝7
（21－12）÷9
（72－27）÷9
（95－59）÷9
（75－57）÷9
（81－18）÷9
（92－29）÷9
7－2＝5
9－5＝4
7－5＝2
8－1＝7
9－2＝7
＝5
＝4
＝2
＝7
由1～9中任意取的两个数字组成的两个两位数的差，都能被9整除。并且得出的商与两个数字的差相等。
由1～9中任意两个数字组成的两个两位数，
它们的差和9有什么关系？
议一议
求出的商与这两个数字有什么关系？
由1～9中任意两个数字组成的两个两位数，它们的差都能被9整除。
求出的商与两个数字的差相等。
探索运算规律（一）。
（3）在1～9中任选三个数字，组成一个最大的三位数
和一个最小的三位数，用这两个数的差除以9。至
少写出三组，看一看你能发现什么。
我选数字2、5、7，组成最大三位数是752，最小三位数是257。
2
5
7
752
257
求出两个数的差。
752－257＝495
495÷9＝
用差除以9。
55
我选数字1、6、8，组成最大三位数是861，最小三位数是168。
我选数字3、4、9，组成最大三位数是943，最小三位数是349。
1
6
8
861
168
861－168＝693
693÷9＝
3
4
9
943
349
943－349＝594
594÷9＝
求出两个数的差。
用差除以9。
求出两个数的差。
用差除以9。
77
66
说一说你们的发现。
我发现：每组中组成的最大三位数与最小三位数的差除以9没有余数，且商的个位数字和十位数字相同，这个数字就是组成三位数的三个数字中最大数字与最小数字的差。
2
5
7
752
257
752－257＝495
495÷9＝
55
1
6
8
861
168
861－168＝693
693÷9＝
77
3
4
9
943
349
943－349＝594
594÷9＝
66
探索运算规律（二）。
（1）按下图给出的顺序计算。
任取一个两位数
是双数，除以2；是单数，乘3再加1
得出结果后，如上反复进行
最后得出结果是1，停止
计算与交流
我取一个单数35作为起始数开始计算。
35
×3＋1
106
÷2
53
160
×3＋1
÷2
80
40
÷2
20
÷2
10
÷2
5
×3＋1
16
÷2
8
÷2
÷2
4
÷2
2
÷2
1
我取一个双数28作为起始数开始计算。
28
14
÷2
÷2
7
×3＋1
22
÷2
11
×3＋1
34
÷2
17
×3＋1
52
÷2
26
÷2
13
×3＋1
40
÷2
20
÷2
10
÷2
5
×3＋1
16
÷2
8
÷2
4
2
÷2
÷2
1
计算与交流
根据计算结果，试着找出规律。
我任取的两位数是单数，按“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行计算，最终结果是1。
我任取的两位数是双数，按这个规则重复进行计算，最终结果是1。
任取一个两位数，按照“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行运算，最终结果都是1。
探索运算规律（二）。
（2）任取一个三位数，按上面的顺序计算一下。
我选一个双数100作为起始数。
计算与交流
100
÷2
50
÷2
25
×3＋1
76
÷2
38
÷2
19
×3＋1
58
÷2
29
×3＋1
88
÷2
44
÷2
22
÷2
11
×3＋1
34
÷2
17
×3＋1
52
÷2
26
÷2
13
×3＋1
40
÷2
20
÷2
10
÷2
5
×3＋1
16
÷2
8
÷2
4
÷2
2
÷2
1
我选一个单数105作为起始数。
105
×3＋1
316
÷2
158
÷2
79
238
×3＋1
÷2
119
358
×3＋1
÷2
179
×3＋1
538
÷2
269
808
×3＋1
÷2
404
÷2
202
÷2
101
304
×3＋1
÷2
152
÷2
76
÷2
38
……
经过若干次计算，结果是1。
计算与交流
根据计算结果，试着找出规律。
我任取的三位数是双数，按“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行计算，最终结果是1。
我任取的三位数是单数，按这个规则重复进行计算，最终结果是1。
任取一个三位数，按照“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行运算，最终结果都是1。
结合任选两位数、三位数，按“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行计算的结果，试着归纳一个规律。
任选一个自然数（0除外），按“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行运算，最终结果必定是1。这是著名的“角谷猜想”。
探索运算规律（二）。
（3）将角谷猜想中的“逢单数乘3再加1”，改为
“逢单数乘5再加1”，结果会怎样？
像数学家一样大胆猜想，再验证！
我觉得按照这个规则运算，最终结果不一定是1。
我选一个单数25作为起始数。
验证猜想
25
×5＋1
……
经过若干次计算后，没有发现规律。
126
÷2
63
×5＋1
316
÷2
158
÷2
79
×5＋1
396
÷2
198
÷2
99
×5＋1
496
÷2
248
÷2
124
÷2
62
我选一个双数62作为起始数。
62
验证猜想
÷2
……
经过若干次计算后，没有发现规律。
31
×5＋1
156
÷2
78
39
196
98
÷2
49
÷2
246
×5＋1
123
÷2
616
÷2
308
154
÷2
×5＋1
×5＋1
÷2
根据计算结果，说说你们的看法。
我任取的两位数双数，按“逢双数除以2，逢单数乘5再加1”的规则进行计算，发现结果不是1，且没有规律。
我任取的两位数是单数，按这个规则进行计算，发现结果不是1，且没有规律。
当改变规则时，可能会导致完成不同的计算结果和规律特征。
把24分成两个数的和有很多不同的分法。
（1）24分成哪两个数（0 除外） 时，这两个数的乘积最小？
24分成1和23时，这两个数的乘积最小。
把24分成两个数的和有很多不同的分法。
（2）24 分成哪两个数时，这两个数的乘积最大？
24分成12和12时，这两个数的乘积最大。
在1～9中任意选取两个数字组成两个两位数，
求差，再用求出的差除以3，写出三组，看看
你能发现什么。
发现：在1～9中任意选取两个数字组成两个两位数，它们的差除以3，结果都是整数。
（52－25）÷3＝9
（举例不唯一）
（83－38）÷3＝15
（92－29）÷3＝21
2. 将角谷猜想中的“逢单数乘3再加1”改为“逢
单数乘2再加1 ”，结果会怎样？
规律：结果会不断增大，没有规律。
以3为例:
3是单数，3×2＋1＝7
7是单数，7×2＋1＝15
15是单数，15×2＋1＝31
31是单数，31×2＋1＝63
63是单数，63×2＋1＝127
……
把18分成两个数的和有很多不同的分法。
（1）18分成哪两个数（0除外）时，这两个数的乘积最小？
当把18分成1和17时，乘积为1×17＝17；当把18分成2和16时，乘积为2×16＝32；当把18分成3和15时，乘积为3×15＝45……可以发现，随着两个数的差值逐渐减小，乘积逐渐增大。
18分成1和17时，这两个数的乘积最小。
把18分成两个数的和有很多不同的分法。
（2）18分成哪两个数时，这两个数的乘积最大？
当把18平均分成两份，即9和9时，乘积为9×9＝81；当把18分成8和10时，乘积为8×10＝80；当把18分成7和11时，乘积为7×11＝77……可以发现，随着两个数的差值逐渐增大，乘积逐渐减小。
18分成9和9时，这两个数的乘积最大。
1.两位数组合规律：从1～9中任选两个数字组成两个两位数，它们的差是9的倍数，且这个倍数恰好等于这两个数字的差。
2. 三位数组合规律：在1～9中任选三个数字组成 一个最大的三位数和一个最小的三位数，两数差除以9的商的个位和十位数字与这三个数字中最大数与最小数的差都相同。
3. 角谷猜想核心规则：对于任意一个自然数（0除外），如果它是双数，就将其除以2；如果它是单数，就将其乘3再加1。按照这个规则不断重复计算，最终结果都会回到1。
4. 当改变规则时，可能会导致完全不同的计算结果和规律特征。
四则混合运算的应用
任选一个自然数（0除外），按照“逢双数除以2，逢单数乘3再加1”的规则重复进行运算，最终结果必定是1。这是著名的“角谷猜想”。

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