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陕西省2025年中考数学试题（副卷）
1．（2025·陕西）－8的绝对值是（　　）
A．8 B．－8 C． D．－
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可.
2．（2025·陕西）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、旋转一周可得到一个圆柱；
B、旋转一周可得到一个圆台；
C、旋转一周可得到一个鼓，即所给立体图形；
D、旋转一周可得到一个圆球；
故答案为： C.
【分析】点动成线、线动成面、面动成体.
3．（2025·陕西） 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠1=40°，则∠2的度数为(　　)
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】B
【知识点】邻补角；余角
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】先由垂直的概念结合两角互余可得，再利用邻补角求得即可.
4．（2025·陕西）计算 的结果为(　　)
A．a7 B．a6 C．a5 D．a4
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：
故答案为： D.
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
5．（2025·陕西） 如图，在△ABC中，点D 在边 BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5，BC=6，则△ABD 的周长为(　　)
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
故答案为：C .
【分析】先由三角形外角的性质结合已知可得，再由等角对等边可得，则△ABD 的周长BC，再代值计算即可.
6．（2025·陕西）在平面直角坐标系中，点 均在直线y= kx(k≠0)上，若 ，则该直线经过的点的坐标还可以是(　　)
A．(1，0) B．(-1，-3) C．(1，-2) D．(-1，2)
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：都在直线上
故答案为：B .
【分析】由直线上点的坐标特征结合已知可得正比例系数，则直线经过原点和一、三象限的直线，即除原点外，直线上点的横、纵坐标同号.
7．（2025·陕西） 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，延长CB 至点 E，延长AD 至点 F，连接AE，CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为(　　)
A．9 B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BE＝x.
四边形ABCD是矩形
四边形AECF是菱形
，解得：
故答案为：C .
【分析】由矩形的性质可得是直角三角形，再由菱形的性质可得AE＝CE，则可设BE=x，则AE＝CE＝x+2，再利用勾股定理求出BE的长，则CE可得，再利用菱形的面积公式计算即可.
8．（2025·陕西）已知二次函数 当x>0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是 (　　)
A．ab<0
B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程 没有实数根
D．该函数的最大值不小于-3
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当时的值随值的增大而减小
、抛物线的顶点在y轴上或在第2象限
当时抛物线与x轴没有两个交点，而当时抛物线必与x轴有交点
故答案为：D .
【分析】由于当时的值随值的增大而减小，则抛物线开口向下，对称轴，即，所以；
同理抛物线的对称轴在y轴上或在y轴左侧，即抛物线的顶点在y轴上或在第2象限内；对于一元二次方程可得根的判别式，当且仅当时方程没有实数根；
化抛物线的一般式为顶点式可得顶点坐标为，由于，故，即二次函数的最大值不小于-3.
9．（2025·陕西）分解因式： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
10．（2025·陕西）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转n°(0【答案】72(或144或216或288)
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：
绕着它的中心O旋转的整数倍都可以使原图形完全重合
n=72或144或216或288
故答案为：72(或144或216或288) .
【分析】由于正多边形都是旋转对称图形，旋转角度满足其中心角的整数倍即可.
11．（2025·陕西）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项.经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为　 　.
【答案】60
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设参加“深海探秘”的人数为x人，则由题意列方程得：
解得：
故答案为：60 .
【分析】设参加“深海探秘”的人数为x人，则参加“太空遨游”的人数为人，由相等关系“ 200名学生参加 ”列方程并求解即可.
12．（2025·陕西） 如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为　 　.
【答案】80°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四点共圆
故答案为：80° .
【分析】先由四边形的内角和求出，再由圆内接四边形的对角互补结合圆周角定理可分别用含的代数式表示出和，再解关于的方程即可.
13．（2025·陕西） 一个反比例函数的图象经过A(m，-4)，B(3，n)两点，若m<-3，则n的取值范围是　 　.
【答案】n>4
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
故答案为：n>4 .
【分析】由双曲线上点的坐标特征知，因为，所以.
14．（2025·陕西） 如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=60°，点E，N，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，且EF，MN将 ABCD分成面积相等的四部分.若BE=1，则MN的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；中心对称图形
【解析】【解答】解：如图所示：分别过点A、C作BC、AB的垂线段AG、CH，再过点O分别作AB、BC的垂线段OP、OQ，再连接AC、BD，设对角线的交点为O.
四边形ABCD是平行四边形
、、
把的面积四等分
都经过点O且
再过点M作BC的垂线段MK，则四边形AGKM是矩形
故答案为： .
【分析】如图所示，由先分别过点A、C作平行四边形的高AG、CH，则解直角三角形可依次得AG、BG、CH的长，由于平行四边形的对角线互相平分，则连接AC交BD于点O，再过点O分别作AB、BC的垂线段OP、OQ，则利用三角形中位线定理可分别得OP、OQ的长；再由平行四边形的对角线互相平分可得的面积等于 ABCD面积的，由已知EF、MN将 ABCD面积四等分知EF、MN必然都经过点O，即有四边形BEON的面积也等于 ABCD面积的，再由割补法可得，即可求得CN的长；再由于平行四边形的对边平行、对角线互相平分可证明，则AM等于CN，此时再过点M作BC的垂线段MK，由矩形的判定与性质可得GK＝AM，MK＝AG，再利用线段的和差关系可得KN，再应用勾股定理求出MN即可.
15．（2025·陕西） 计算：
【答案】解：原式=-12+5+2
=-5
【知识点】负整数指数幂；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再计算乘法，最后再进行加减运算即可.
16．（2025·陕西） 解不等式： 把它的解集表示在如图所示的数轴上.
【答案】解：6x-3≤4x+1，
2x≤4，
x≤2，
原不等式的解集在数轴上表示如解图.
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解一元一次不等式，即先去括号，再移项合并同类项，再把系数化为1，最后再在数轴上表示出不等式的解集即可.
17．（2025·陕西） 解方程：
【答案】解：x-2=2x-6，
x=4.
经检验，x=4是原方程的解
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】去分母法解分式方程，即先化分式方程为整式方程，再验根，最后根据验根的结果写出根的情况即可.
18．（2025·陕西） 如图，在 中， .请利用尺规作图法求作一点 P，使得.PA=PB且 (保留作图痕迹，不写作法)
【答案】解：如解图，点P 即为所求.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先以点C为顶点，CB为边作，再作AB的垂直平分线交CP于点P，即点P为所求作的点.
19．（2025·陕西） 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且. 求证：CE=CF.
【答案】证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D.
∵∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，
即CE=CF
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由正方形的性质可得，再结合已知可利用ASA证明，再利用全等三角形的对应边相等可得，又正方形ABCD中，再利用线段的和差关系即可.
20．（2025·陕西） 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道(从内到外的道次依次为1，2，3，4)，裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次.
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　 　；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 —— (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) —— (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) —— (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) ——
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）；
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
21．（2025·陕西） 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A 的俯角α为( CD与BM 的夹角β为 又测得点 C与河岸点B之间的距离CB为10m.已知(CD=1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且( .求河宽AB.(参考数据：
【答案】解：如解图，延长 DC 交 AN 于点H，
则DH⊥AN.
在 Rt△BCH 中，∠BCH=∠β=78.5°，
∴CH=CB·cos78.5°≈2，
BH=CB·sin78.5°≈9.8，
∴DH=CD+CH=3.6.
在 Rt△DAH 中，∠DAH=∠α=8.5°，
∴AB=AH-BH=14.2，
∴河宽AB 约为14.2m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】延长DC交AN于点H可构造和，再分别解直角三角形可得CH、AH，再利用线段的和差关系即可.
22．（2025·陕西） 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系如图②所示.
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长.
【答案】（1）解：设 OA 所在直线的函数表达式为y= kx(k≠0)，
∴2=k，
∴y=2x，
当x=2时，y=4，即A点坐标为(2，4).
设AB 所在直线的函数表达式为y= mx+b(m≠0)，
得
解得
∴AB 所在直线的函数表达式为
（2）解：当y=0时，
解得x=5，
∴5-2=3，
∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3s
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出正比例函数OA的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）观察图象知，当小球运动到点A的位置时速度最大，运动到点B的位置时速度为0，则由直线上点的坐标特征令y=0求出对应的自变量x的值，此时再用求得的x的值减去2即可.
23．（2025·陕西） 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩(单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
　 平均数 中位数 方差
七年级 a 95
八年级 92.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的　 　，b=　 　，　 　(填“>”“<”或“=”)；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好 请说明理由；
（3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.
【答案】（1）93.2；96.5；<
（2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小
（3）解：
∴估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：
对八年级参赛学生的成绩排序如下：82、83、84、89、96、97、97、98、99、100
【分析】（1）先直接利用平均数公式求出a即可；求中位数时先要按照从小到大的顺序对八年级参赛学生成绩排序，由于学生人数为偶数，则取最中间两名学生成绩的平均值可得b；再利用方差公式分别求出七、八年级学生的方差并对结果进行大小比较即可；
（2）方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小说明数据越稳定；
（3）用样本估计总体，即先求出七、八年级参赛学生中成绩不低于90分的占比，再乘以七、八年级学生总数即可.
24．（2025·陕西） 如图，在 中，AB=BC，以BC为直径作⊙O，分别交AC，AB于点D，E，连接DO并延长，交⊙O于点F，过点 F作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点 G.
（1）求证：
（2）若 求AC的长.
【答案】（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB.
∵OC=OD，
∴∠ACB=∠ODC，
∴∠A=∠ODC，
∴DF∥AB
（2）解：如解图，设⊙O 的半径为r.
∵FG切⊙O于点 F，
∴∠OFG=90°.
在 Rt△OFG 中，
解得r=4.
∵DF∥AB，
∴∠FOG=∠ABC.
连接CE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=90°.
在Rt△CEB中，
，
∵AB=BC=8，
在 Rt△CEA中，
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得，则同位角相等两直线平行；
（2）由于直径所对的圆周角是直角，则连接CE可得，再由切线的性质可得，再由平行线的性质可得，再由余弦的概念解直角三角形FOG可得半径OF＝4，即直径BC＝8，同理再利用余弦的概念解直角三角形CBE可得，再利用线段的和差关系和勾股定理分别求得的值，最后再应用勾股定理求得AC即可.
25．（2025·陕西） 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L，钢缆 均呈抛物线型，线段BC 为桥面，线段OA 为立柱，( 关于OA 所在直线对称.. 的最低点到BC的距离为 到OA的距离为2m.以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求 所在抛物线的函数表达式；
（2）现要悬挂两条灯带 来增加夜景效果， 均与BC垂直，点 分别在 上，点. 在L上，点 到OA 的距离均为3m .已知L所在抛物线的函数表达式为y= 求这两条灯带的总长.
【答案】（1）解：由题意知，L1 所在抛物线的顶点为((2， )，且过A(0，2)，
∴设其表达式为
解得
∴L1所在抛物线的函数表达式为
（2）解：∵点M1，M2到OA的距离均为3m，
当x=3时，
∴这两条灯带的总长为
【知识点】轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意可抛物线L1的顶点坐标为，则可设解析式为顶点式，再利用抛物线上点的坐标特征代入点A的坐标即可；
（2）由题意知，点M1、N1的横坐标均为3，则由抛物线上点的坐标特征分别把代入到抛物线L1和L的解析式中求出对应的函数值，即可得M1和N1的纵坐标，由于点M1在N1的上方，再利用M1的纵坐标减去N1的纵坐标可得线段M1N1的长，再根据轴对称的性质可得M1N1＝M2N2，则两条灯带的部长为M1N1的2倍.
26．（2025·陕西）问题探究
（1）在 中， AD为BC边上的中线，则AD 的长为　 　；
（2）如图①，在 中， ，P 为边 BC上一点， 垂足分别为M，N，连接MN，求MN的最小值；
（3）问题解决
如图②，四边形ABCD 是一个游乐场的平面示意图，出入口在点 B 处.已知. AB=800m，AD=CD=600m.为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由MN，NP，PQ，QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O，其中，点M 在边 CD上，点N在边AD上，点P，Q在边AB上，点O为MN的中点.
按照设计要求，MN的长为400m，PQ的长为80m，在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短.请你帮助管理部门计算，当BO 最小时.NP+MQ的最小值及此时BQ 的长.(步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计)
【答案】（1）4
（2）解：如图，
∵PM⊥AC，PN⊥AB，∠BAC=90°，
∵四边形ANPM为矩形，连接AP，则MN=AP，过点A作AP'⊥BC于点 P'，
∴AP≥AP'.
在Rt△ABC中，
∴MN的最小值为
（3）解：如图， 连 接 BO，DO，DB，再过点O作AD的垂线段OE.
显然当D、O、B三点共线时OB最小
同理：
，即点M、N都是定点
再过点N作直线AB的对称点F，再过点F向右作和AB平行且长度为80的线段FG，再连接MG交点AB于点Q，再过Q向左作和FG平行且相等的线段QP，连接PF，则由轴对称的性质知NP+MQ＝PF+MQ＝GQ+MQ＝MG，即此时NP+MQ有最小值，最小值即线段MG的长，此时再过点M作FG的垂线分别交AB于点K、交FG的延长线于点H.
四边形ADMK是矩形
同理：四边形AFHK也是矩形
、
，即
答：当 BO 最小时，NP+MQ 的最小值为 ，此时 BQ 的长为630m
【知识点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：为斜边上的中线
故答案为：4.
【分析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）由于三个角是直角的四边形是矩形，则可得四边形PMAN是矩形，又因为矩形的对角线相等，则连接AP，则AP＝MN，显然当AP垂直BC时AP最小，即此时MN最小，此时再利用勾股定理求出BC的长，再利用等面积法即可求得AP的最小值；
（3）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD＝200，再由勾股定理可得BD＝1000，再由三角形三边关系可得当D、O、B三点共线时OB最小，此时再过点O作AD的垂线段OE，则由平行线的判定可得OE平行AB，即可得，再解直角三角形可得DE、OE的长，再由等腰三角形三线合一结合三角形中位线定理可分别得DN＝240、DM＝360，即点M、N都是定点；再由将军饮马两定两动模型可过点N作直线AB的对称点F，再过点F向右作和AB平行且长度为80的线段FG，再连接MG交点AB于点Q，再过Q向左作和FG平行且相等的线段QP，连接PF，则由轴对称的性质可把NP+MQ转化为线段MG，即此时NP+MQ有最小值，最小值即线段MG的长，此时再过点M作FG的垂线分别交AB于点K、交FG的延长线于点H，则可判定四边形ADMK、AFHK都是矩形，再分别利用勾股定理和相似三角形的判定与性质可分别求出线段MG和KQ的长，再利用线段的和差关系求出BQ的长即可.
1 / 1陕西省2025年中考数学试题（副卷）
1．（2025·陕西）－8的绝对值是（　　）
A．8 B．－8 C． D．－
2．（2025·陕西）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025·陕西） 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠1=40°，则∠2的度数为(　　)
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2025·陕西）计算 的结果为(　　)
A．a7 B．a6 C．a5 D．a4
5．（2025·陕西） 如图，在△ABC中，点D 在边 BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5，BC=6，则△ABD 的周长为(　　)
A．8 B．10 C．11 D．12
6．（2025·陕西）在平面直角坐标系中，点 均在直线y= kx(k≠0)上，若 ，则该直线经过的点的坐标还可以是(　　)
A．(1，0) B．(-1，-3) C．(1，-2) D．(-1，2)
7．（2025·陕西） 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，延长CB 至点 E，延长AD 至点 F，连接AE，CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为(　　)
A．9 B． C． D．
8．（2025·陕西）已知二次函数 当x>0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是 (　　)
A．ab<0
B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程 没有实数根
D．该函数的最大值不小于-3
9．（2025·陕西）分解因式： =　 　.
10．（2025·陕西）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转n°(011．（2025·陕西）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项.经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为　 　.
12．（2025·陕西） 如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为　 　.
13．（2025·陕西） 一个反比例函数的图象经过A(m，-4)，B(3，n)两点，若m<-3，则n的取值范围是　 　.
14．（2025·陕西） 如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=60°，点E，N，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，且EF，MN将 ABCD分成面积相等的四部分.若BE=1，则MN的长为　 　.
15．（2025·陕西） 计算：
16．（2025·陕西） 解不等式： 把它的解集表示在如图所示的数轴上.
17．（2025·陕西） 解方程：
18．（2025·陕西） 如图，在 中， .请利用尺规作图法求作一点 P，使得.PA=PB且 (保留作图痕迹，不写作法)
19．（2025·陕西） 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且. 求证：CE=CF.
20．（2025·陕西） 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道(从内到外的道次依次为1，2，3，4)，裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次.
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　 　；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
21．（2025·陕西） 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A 的俯角α为( CD与BM 的夹角β为 又测得点 C与河岸点B之间的距离CB为10m.已知(CD=1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且( .求河宽AB.(参考数据：
22．（2025·陕西） 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系如图②所示.
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长.
23．（2025·陕西） 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩(单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
　 平均数 中位数 方差
七年级 a 95
八年级 92.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的　 　，b=　 　，　 　(填“>”“<”或“=”)；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好 请说明理由；
（3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.
24．（2025·陕西） 如图，在 中，AB=BC，以BC为直径作⊙O，分别交AC，AB于点D，E，连接DO并延长，交⊙O于点F，过点 F作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点 G.
（1）求证：
（2）若 求AC的长.
25．（2025·陕西） 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L，钢缆 均呈抛物线型，线段BC 为桥面，线段OA 为立柱，( 关于OA 所在直线对称.. 的最低点到BC的距离为 到OA的距离为2m.以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求 所在抛物线的函数表达式；
（2）现要悬挂两条灯带 来增加夜景效果， 均与BC垂直，点 分别在 上，点. 在L上，点 到OA 的距离均为3m .已知L所在抛物线的函数表达式为y= 求这两条灯带的总长.
26．（2025·陕西）问题探究
（1）在 中， AD为BC边上的中线，则AD 的长为　 　；
（2）如图①，在 中， ，P 为边 BC上一点， 垂足分别为M，N，连接MN，求MN的最小值；
（3）问题解决
如图②，四边形ABCD 是一个游乐场的平面示意图，出入口在点 B 处.已知. AB=800m，AD=CD=600m.为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由MN，NP，PQ，QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O，其中，点M 在边 CD上，点N在边AD上，点P，Q在边AB上，点O为MN的中点.
按照设计要求，MN的长为400m，PQ的长为80m，在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短.请你帮助管理部门计算，当BO 最小时.NP+MQ的最小值及此时BQ 的长.(步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计)
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、旋转一周可得到一个圆柱；
B、旋转一周可得到一个圆台；
C、旋转一周可得到一个鼓，即所给立体图形；
D、旋转一周可得到一个圆球；
故答案为： C.
【分析】点动成线、线动成面、面动成体.
3．【答案】B
【知识点】邻补角；余角
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】先由垂直的概念结合两角互余可得，再利用邻补角求得即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：
故答案为： D.
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
故答案为：C .
【分析】先由三角形外角的性质结合已知可得，再由等角对等边可得，则△ABD 的周长BC，再代值计算即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：都在直线上
故答案为：B .
【分析】由直线上点的坐标特征结合已知可得正比例系数，则直线经过原点和一、三象限的直线，即除原点外，直线上点的横、纵坐标同号.
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BE＝x.
四边形ABCD是矩形
四边形AECF是菱形
，解得：
故答案为：C .
【分析】由矩形的性质可得是直角三角形，再由菱形的性质可得AE＝CE，则可设BE=x，则AE＝CE＝x+2，再利用勾股定理求出BE的长，则CE可得，再利用菱形的面积公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当时的值随值的增大而减小
、抛物线的顶点在y轴上或在第2象限
当时抛物线与x轴没有两个交点，而当时抛物线必与x轴有交点
故答案为：D .
【分析】由于当时的值随值的增大而减小，则抛物线开口向下，对称轴，即，所以；
同理抛物线的对称轴在y轴上或在y轴左侧，即抛物线的顶点在y轴上或在第2象限内；对于一元二次方程可得根的判别式，当且仅当时方程没有实数根；
化抛物线的一般式为顶点式可得顶点坐标为，由于，故，即二次函数的最大值不小于-3.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
10．【答案】72(或144或216或288)
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：
绕着它的中心O旋转的整数倍都可以使原图形完全重合
n=72或144或216或288
故答案为：72(或144或216或288) .
【分析】由于正多边形都是旋转对称图形，旋转角度满足其中心角的整数倍即可.
11．【答案】60
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设参加“深海探秘”的人数为x人，则由题意列方程得：
解得：
故答案为：60 .
【分析】设参加“深海探秘”的人数为x人，则参加“太空遨游”的人数为人，由相等关系“ 200名学生参加 ”列方程并求解即可.
12．【答案】80°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四点共圆
故答案为：80° .
【分析】先由四边形的内角和求出，再由圆内接四边形的对角互补结合圆周角定理可分别用含的代数式表示出和，再解关于的方程即可.
13．【答案】n>4
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
故答案为：n>4 .
【分析】由双曲线上点的坐标特征知，因为，所以.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；中心对称图形
【解析】【解答】解：如图所示：分别过点A、C作BC、AB的垂线段AG、CH，再过点O分别作AB、BC的垂线段OP、OQ，再连接AC、BD，设对角线的交点为O.
四边形ABCD是平行四边形
、、
把的面积四等分
都经过点O且
再过点M作BC的垂线段MK，则四边形AGKM是矩形
故答案为： .
【分析】如图所示，由先分别过点A、C作平行四边形的高AG、CH，则解直角三角形可依次得AG、BG、CH的长，由于平行四边形的对角线互相平分，则连接AC交BD于点O，再过点O分别作AB、BC的垂线段OP、OQ，则利用三角形中位线定理可分别得OP、OQ的长；再由平行四边形的对角线互相平分可得的面积等于 ABCD面积的，由已知EF、MN将 ABCD面积四等分知EF、MN必然都经过点O，即有四边形BEON的面积也等于 ABCD面积的，再由割补法可得，即可求得CN的长；再由于平行四边形的对边平行、对角线互相平分可证明，则AM等于CN，此时再过点M作BC的垂线段MK，由矩形的判定与性质可得GK＝AM，MK＝AG，再利用线段的和差关系可得KN，再应用勾股定理求出MN即可.
15．【答案】解：原式=-12+5+2
=-5
【知识点】负整数指数幂；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再计算乘法，最后再进行加减运算即可.
16．【答案】解：6x-3≤4x+1，
2x≤4，
x≤2，
原不等式的解集在数轴上表示如解图.
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解一元一次不等式，即先去括号，再移项合并同类项，再把系数化为1，最后再在数轴上表示出不等式的解集即可.
17．【答案】解：x-2=2x-6，
x=4.
经检验，x=4是原方程的解
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】去分母法解分式方程，即先化分式方程为整式方程，再验根，最后根据验根的结果写出根的情况即可.
18．【答案】解：如解图，点P 即为所求.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先以点C为顶点，CB为边作，再作AB的垂直平分线交CP于点P，即点P为所求作的点.
19．【答案】证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D.
∵∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，
即CE=CF
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由正方形的性质可得，再结合已知可利用ASA证明，再利用全等三角形的对应边相等可得，又正方形ABCD中，再利用线段的和差关系即可.
20．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 —— (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) —— (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) —— (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) ——
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）；
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
21．【答案】解：如解图，延长 DC 交 AN 于点H，
则DH⊥AN.
在 Rt△BCH 中，∠BCH=∠β=78.5°，
∴CH=CB·cos78.5°≈2，
BH=CB·sin78.5°≈9.8，
∴DH=CD+CH=3.6.
在 Rt△DAH 中，∠DAH=∠α=8.5°，
∴AB=AH-BH=14.2，
∴河宽AB 约为14.2m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】延长DC交AN于点H可构造和，再分别解直角三角形可得CH、AH，再利用线段的和差关系即可.
22．【答案】（1）解：设 OA 所在直线的函数表达式为y= kx(k≠0)，
∴2=k，
∴y=2x，
当x=2时，y=4，即A点坐标为(2，4).
设AB 所在直线的函数表达式为y= mx+b(m≠0)，
得
解得
∴AB 所在直线的函数表达式为
（2）解：当y=0时，
解得x=5，
∴5-2=3，
∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3s
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出正比例函数OA的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）观察图象知，当小球运动到点A的位置时速度最大，运动到点B的位置时速度为0，则由直线上点的坐标特征令y=0求出对应的自变量x的值，此时再用求得的x的值减去2即可.
23．【答案】（1）93.2；96.5；<
（2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小
（3）解：
∴估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：
对八年级参赛学生的成绩排序如下：82、83、84、89、96、97、97、98、99、100
【分析】（1）先直接利用平均数公式求出a即可；求中位数时先要按照从小到大的顺序对八年级参赛学生成绩排序，由于学生人数为偶数，则取最中间两名学生成绩的平均值可得b；再利用方差公式分别求出七、八年级学生的方差并对结果进行大小比较即可；
（2）方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小说明数据越稳定；
（3）用样本估计总体，即先求出七、八年级参赛学生中成绩不低于90分的占比，再乘以七、八年级学生总数即可.
24．【答案】（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB.
∵OC=OD，
∴∠ACB=∠ODC，
∴∠A=∠ODC，
∴DF∥AB
（2）解：如解图，设⊙O 的半径为r.
∵FG切⊙O于点 F，
∴∠OFG=90°.
在 Rt△OFG 中，
解得r=4.
∵DF∥AB，
∴∠FOG=∠ABC.
连接CE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=90°.
在Rt△CEB中，
，
∵AB=BC=8，
在 Rt△CEA中，
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得，则同位角相等两直线平行；
（2）由于直径所对的圆周角是直角，则连接CE可得，再由切线的性质可得，再由平行线的性质可得，再由余弦的概念解直角三角形FOG可得半径OF＝4，即直径BC＝8，同理再利用余弦的概念解直角三角形CBE可得，再利用线段的和差关系和勾股定理分别求得的值，最后再应用勾股定理求得AC即可.
25．【答案】（1）解：由题意知，L1 所在抛物线的顶点为((2， )，且过A(0，2)，
∴设其表达式为
解得
∴L1所在抛物线的函数表达式为
（2）解：∵点M1，M2到OA的距离均为3m，
当x=3时，
∴这两条灯带的总长为
【知识点】轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意可抛物线L1的顶点坐标为，则可设解析式为顶点式，再利用抛物线上点的坐标特征代入点A的坐标即可；
（2）由题意知，点M1、N1的横坐标均为3，则由抛物线上点的坐标特征分别把代入到抛物线L1和L的解析式中求出对应的函数值，即可得M1和N1的纵坐标，由于点M1在N1的上方，再利用M1的纵坐标减去N1的纵坐标可得线段M1N1的长，再根据轴对称的性质可得M1N1＝M2N2，则两条灯带的部长为M1N1的2倍.
26．【答案】（1）4
（2）解：如图，
∵PM⊥AC，PN⊥AB，∠BAC=90°，
∵四边形ANPM为矩形，连接AP，则MN=AP，过点A作AP'⊥BC于点 P'，
∴AP≥AP'.
在Rt△ABC中，
∴MN的最小值为
（3）解：如图， 连 接 BO，DO，DB，再过点O作AD的垂线段OE.
显然当D、O、B三点共线时OB最小
同理：
，即点M、N都是定点
再过点N作直线AB的对称点F，再过点F向右作和AB平行且长度为80的线段FG，再连接MG交点AB于点Q，再过Q向左作和FG平行且相等的线段QP，连接PF，则由轴对称的性质知NP+MQ＝PF+MQ＝GQ+MQ＝MG，即此时NP+MQ有最小值，最小值即线段MG的长，此时再过点M作FG的垂线分别交AB于点K、交FG的延长线于点H.
四边形ADMK是矩形
同理：四边形AFHK也是矩形
、
，即
答：当 BO 最小时，NP+MQ 的最小值为 ，此时 BQ 的长为630m
【知识点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：为斜边上的中线
故答案为：4.
【分析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）由于三个角是直角的四边形是矩形，则可得四边形PMAN是矩形，又因为矩形的对角线相等，则连接AP，则AP＝MN，显然当AP垂直BC时AP最小，即此时MN最小，此时再利用勾股定理求出BC的长，再利用等面积法即可求得AP的最小值；
（3）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD＝200，再由勾股定理可得BD＝1000，再由三角形三边关系可得当D、O、B三点共线时OB最小，此时再过点O作AD的垂线段OE，则由平行线的判定可得OE平行AB，即可得，再解直角三角形可得DE、OE的长，再由等腰三角形三线合一结合三角形中位线定理可分别得DN＝240、DM＝360，即点M、N都是定点；再由将军饮马两定两动模型可过点N作直线AB的对称点F，再过点F向右作和AB平行且长度为80的线段FG，再连接MG交点AB于点Q，再过Q向左作和FG平行且相等的线段QP，连接PF，则由轴对称的性质可把NP+MQ转化为线段MG，即此时NP+MQ有最小值，最小值即线段MG的长，此时再过点M作FG的垂线分别交AB于点K、交FG的延长线于点H，则可判定四边形ADMK、AFHK都是矩形，再分别利用勾股定理和相似三角形的判定与性质可分别求出线段MG和KQ的长，再利用线段的和差关系求出BQ的长即可.
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