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4.1 因式分解
第四章 因式分解
问题：993 - 99 能被 100 整除吗？
所以，993 - 99 能被 100 整除.
想一想：993 - 99 还能被哪些整数整除
因式分解的概念
1
议一议
你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗
与同伴交流.
提示：类比 993 - 99 的因数分解
a3 - a = a(a2 - 1)
= a(a + 1)(a - 1)
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
(1)
a
m
b
m
c
m
a+b+c
m
________________＝________________
m(a + b + c)
ma + mb + mc
x
x
________________＝________________
(2)
1
x
x
1
1
1
x+1
x+1
x2 + 2x + 1
(x + 1)2
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
归纳总结
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)
D. ax + by + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式.
辩一辩
根据左边的算式进行因式分解：
(1) 3x2-3x = ( )( )
(2) ma+mb-m = ( )( )
(3) m2-16 = ( )( )
(4) y2-6y+9 = ( )( )
计算下列各式：
(1) 3x(x - 1) = __________
(2) m(a+b-1) = _______
(3)(m+4)(m-4) = _____
(4)(y-3)2 = _____
3x2 - 3x
ma+mb-m
m2 -16
y2-6y+9
3x x-1
m a+b-1
m+4 m-4
y-3 y-3
做一做
或 (y-3)2
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系
是互为相反的变形，即
因式分解等式的特征：
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
左边是多项式，
右边是几个整式的乘积.
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为
a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3)
= ax2 + ax - 6a，
∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
典例精析
下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2
C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________
其中，每个整式叫做这个多项式的______
与多项式乘法运算的关系
的变形过程
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_______
积
分解因式
因式
相反
多项式
乘积
乘积
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. -4a2 + 9b2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + )
C
2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ．
　
3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗
解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1)
∴ 20242 + 2024 能被 2025 整除.
= 2024×2025，
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx -16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)，
求 mn 的值.
解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4，
∴mn = -5×20 = -100．
解得 a = -2，b = -8，m = -5，n = 20.
比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)，

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