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4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第1课时 提公因式为单项式的因式分解
问题1：多项式 ma + mb + mc 有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式？若有，公共的因
式是什么？
ma，mb，mc
依次为 m，a；m，b；m，c
有，为 m
确定公因式
1
含相同因式 p
下面的多项式有什么特点？
pa + pb + pc
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
例1 (1) 多项式 2x2 – 6x3 中各项的公因式是什么？
系数：
最大公约数
2
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 2x2.
指数：
相同字母的最低次幂
2
议一议
(2)你能尝试将多项式 2x2 – 6x3 因式分解吗
2x2 – 6x3＝2x2(1– 3x)
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即
字母最低次幂.
要点归纳
写出下列多项式的公因式.
（1）x - x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc - b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
x
2a
b
a
练一练
提公因式为单项式的因式分解
2
( a + b + c )
pa + pb + pc
p
=
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
根据最终结果是否还能进一步分解，易知第三位同学的结果是正确的.
例1 把下列各式因式分解：
解：(1) 原式 = 2m·n + 2m ·2m = 2m(n + 2m).
(2) 原式 = 7p·p－7p·3 = 7p(p－3).
(3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
= ab(8a2b－12b2c＋1).
(4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x)
=－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7).
因式
分解
提公因式法（单项式）
确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式：要提尽；
3. 不要漏项；
4. 提负号，要注意变号
1. 多项式 8xmyn﹣1 ﹣12x3myn 的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
D
解析：(1) 公因式的系数是多项式各项系数的最大
公约数，为 4；
(2) 字母取各项都含有的相同字母，为 xy；
(3) 相同字母的指数取次数最低的，x 为 m 次，
y 为 n -1 次.
2. 把下列多项式分解因式：
(1) -3x2 + 6xy - 3xz；
(2) 3a3b + 9a2b2 - 6a2b.
解：-3x2 + 6xy - 3xz
= (-3x)·x + (-3x)·(-2y) + (-3x)·z
= -3x(x - 2y + z).
解：3a3b + 9a2b2 - 6a2b
= 3a2b·a + 3a2b·3b - 3a2b·2
= 3a2b(a + 3b - 2).
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
2. 公因式的系数是多项式各项__________________； 3. 字母取多项式各项中都含有的____________； 4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即_________.
提公因式法因式分解的一般步骤：
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)
= (x - 3)(a + 2b).
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
= y(x + 1)(1 + xy + y).
提公因式为多项式的因式分解
1
典例精析
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2
P
P
P(a + 2b)
P
P
yP(1 + P)
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
归纳总结
1. x(a + b) + y(a + b)
2. 3a(x - y) - (x - y)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p)
= (a + b)(x + y)
= (x - y)(3a - 1)
= 6(p + q)(p + q - 2)
练一练
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)2[(m－n)－2]
＝6(m－n)2(m－n－2)
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
归纳总结
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.
如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a).
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.
如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a.
由此可知规律：
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶数)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇数)
(2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n是整数)
a + b 与 -a - b 互为相反数.
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶数)
(-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数)
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a)； (2) (a-b)2 =___(b-a)2；
(3) (a-b)3 =___(b-a)3；
(4) (a-b)4 =___(b-a)4；
(5) (a+b) =___(b+a)；
(6) (a+b)2 =___(b+a)2；
+
-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3；
-
(8) (a+b)4 = __(-a-b)4.
+
因式
分解
公因式为多项式
确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数
分两步：第一步找公因式（整体思想）；第二步提公因式
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式要提尽；
3. 不要漏项；
4. 提负号，括号内要注意变号
1. 请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号，使等式成立.
(1) 2 - a = (a - 2)
(2) y - x = (x - y)
(3) b + a = (a + b)
-
(6) -m - n = (m + n)
(7) (b - a)3 = (a - b)3
-
+
+
-
-
-
(4) (b - a)2 = (a - b)2
(5) -s2 + t2 = (s2 - t2)
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x)
= (x - y)2 - y(x - y)
= (x - y)(x - y - y)
= (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x)
= (y - x)2 + y(y - x)
= (y - x)(y - x + y)
= (y - x)(2y - x).
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) = (a2 + b2)(p - q).

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