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21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
第二十一章 四边形
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
问题1 平行四边形的定义是什么？
复习导入
问题2 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
边：
角：
对角线：
探究新知
知识点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
猜想 观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起，任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗
点击视频开始播放
→
连接 BD，
在△ABD 和 △CDB 中，
AB = CD (已知)，
AD = CB (已知)，
BD = DB (公共边)，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1 =∠2 ， ∠4 =∠3.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
B
D
A
C
3
2
4
1
已知：四边形 ABCD 中，AB = DC，AD = BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
四边形问题
三角形问题
归纳总结
平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
AB = CD，AD = CB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
练一练
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
AC = CA，
AB = CD，
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴ BC = DA.
又∵ AB = CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
1. 如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
知识点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
观看下面视频，对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么
平行四边形
点击视频开始播放
→
已知：四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠D = ∠B.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
又∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
同理得 AB∥CD，
证明：
归纳总结
平行四边形的判定定理
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
∠A =∠C，∠B =∠D，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
练一练
2. 判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
知识点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，将两根细木条 AC、BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
猜想：四边形 ABCD 一直是一个平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
证明：
在△AOB 和△COD 中，
OA = OC (已知)，
OB = OD (已知)，
∠AOB = ∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴ ∠BAO =∠OCD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD ， AD∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
已知：四边形 ABCD 中，AC，BD 相交点 O，
OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
归纳总结
平行四边形的判定定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
AO = CO，DO = BO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
例1 如图， □ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，BO = DO.
∵ AE = CF，
∴ AO -AE = CO - CF，即 EO = OF.
又∵ BO = DO，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
典例精析
当堂小结
平行四边形
判定
边
角
对角线
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
当堂练习
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　）
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
2. 如图，在四边形 ABCD 中，
(1) 如果 AB∥CD，AD∥BC，那么四边形 ABCD 是
___________.
(2) 如果∠A∶∠B∶∠ C∶∠D = a∶b∶a∶b( a，b 为正数)，那么四边形 ABCD 是_____________.
(3) 如果 AD = 6 cm，AB = 4 cm，
那么当 BC =____cm，CD =____cm 时，
四边形 ABCD 为平行四边形.
B
D
A
C
平行四边形
平行四边形
6
4
3. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．
求证： 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明： ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
∴ CO＝DO.
∵ E、F 分别是 OC、OD 的中点，
∴ EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形．

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