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第 2 课时 平行四边形的判定（2）
21.2.2 平行四边形的性质
第二十一章 四边形
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
情景导入
问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
知识点1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
探究新知
B
A
活动 如图，将线段 AB 向右平移 BC 长度后得到线段 CD，连接 AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD 的形状吗？
D
C
四边形 ABCD 是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
A
B
C
D
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD 且 AB∥CD，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证一证
A
B
C
D
2
1
证明：连接 AC.
∵ AB∥CD， ∴ ∠1 = ∠2.
在△ABC 和△CDA 中
AB = CD，
AC = CA，
∠1 = ∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴ BC = DA.
又∵ AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
归纳总结
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
∵在四边形 ABCD 中，
AB∥CD，AB = CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，EB∥FD．
又∵ EB = AB ，FD = CD，
∴ EB = FD ．
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形．
例1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
典例精析
1.已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB = CD，BC∥AD，BC = AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法是 （　　）
A．AB∥CD，AB = CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC = AD
D．AB = CD，BC = AD
C
练一练
例2 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等吗？为什么？
解：BF＝CE．理由如下：
∵ DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形 FECD 是平行四边形，
∠FDB = ∠DBE. ∴ FD = CE.
∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD.
∴ ∠FBD = ∠FDB.
∴ BF = FD. ∴ BF＝CE.
知识点2：平行四边形的性质与判定的综合运用
4. 如图，将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E，
∵ DE∥AD′，
∴ ∠DEA =∠EAD′，
∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，
∴ ∠DAD′ = ∠DED′.
∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.
练一练
∴ DE = AD′.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB = DC，
∴ CE∥D′B，CE = D′B，
∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形.
此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
总结
平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
① AB∥CD， AD∥BC
② AB = CD， AD = BC
③ AB∥CD， AB = CD
∠BAD = ∠DCB，
∠ABC = ∠CDA
AO = CO，DO = BO
判定
性质
当堂小结
ABCD
当堂练习
1.在 ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （　　）
A．AF = CE
B．AE = CF
C．∠BAE = ∠FCD
D．∠BEA = ∠FCE
B
2. 如图，点 E，C 在线段 BF 上，BE = CF，∠B =∠DEF，∠ACB =∠F，求证：四边形 ABED 为平行四边形．
证明：∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．
又∵ ∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F，
∴ △ABC≌△DEF，
∴ AB = DE.
∵∠B = ∠DEF，
∴ AB∥DE．
∴四边形 ABED 是平行四边形．
3. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
解：∵ DE∥AC，DF∥AB，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，
∴ DE = AF.
又∵ AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.
∵ DF∥AB，
∴ ∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.
∴ DF = CF.
∴ DE + DF = AF + FC = AC = 10．

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