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21.2.2 平行四边形判定
第3课时 三角形的中位线
第二十一章 四边形
情景导入
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.
思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的
形状大小相同，该怎样分呢？
如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE. 像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
知识点1： 三角形的中位线定理
探究新知
A
B
C
D
E
D、E 分别是 AB、AC 的中点
DE 为△ABC 的中位线
中位线
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
有三条.
如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
·
·
·
F
问题2 三角形的中位线与中线一样吗？
A
B
C
D
E
·
·
A
B
C
D
·
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
中位线
中线
都是与中点有关的线段.
相同点：
不同点：
问题3：如图，DE 是△ABC 的中位线，
DE 与 BC 有怎样的关系？
猜想：
DE∥BC
D
E
问题4：如何证明你的猜想？
证一证
如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点. 求证：
证明：
D
E
延长 DE 到 F，使 EF = DE．
连接 FC、DC、AF.
∵ AE = EC，DE = EF，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形．
F
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形，
∴ CF AD.
∴ CF BD.
∴ DF BC.
又 D 是 AB 的中点，
又∵ ，
∴ DE∥BC， .
归纳总结
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言描述：
D
E
△ABC 中，若 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
则 DE∥BC，DE = BC．
练一练
1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．
10
65
8
知识点2：三角形的中位线与平行四边形的综合运用
例2 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
证明：连接 AC.
∵ E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG， EF = HG.
∴ EF∥AC，
HG∥AC，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
总结
练一练
2.如图，在△ABC 中，AB = 6，AC = 10，点 D，E，F分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 （　　）
A. 8 B. 10
C. 12 D. 16
D
当堂小结
平行四边形
性质定理
判定定理
应用
中位线定理
中位线：连接三角形__________的线段叫做三角形的中位线
中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
两边中点
1. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N，如果测得 MN = 20 m，那么 A，B 两点间的距离为______m．
N
M
40
当堂练习
2. 如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边 AB、BC、 AC 的中点.
(1) 若∠ADF = 50°，则∠B= °；
(2) 已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8，
则△ DEF 的周长为 .
50
15
A
B
C
D
F
E
3. 如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10 cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 F，E 为 BC 的中点，求 DE 的长．
解：∵ AD 平分∠BAC，BD⊥AD，
∴ AB = AF = 6 cm，BD = DF，
∴ CF = AC - AF = 4 cm.
∵ BD = DF，E 为 BC 的中点，
∴ DE = CF = 2 cm．

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