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21.3.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
第二十一章 四边形
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
情景导入
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
知识点1： 矩形的性质
探究新知
矩形
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，
也就是长方形.
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
(实物)
(形象图)
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证一证
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°，
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
A
B
C
D
O
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
归纳总结
角：
对角线：
矩形的性质
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分.
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC =∠BCD =∠DCA = ∠DAB = 90°，
AC = BD.
A
B
C
D
O
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求矩形 ABCD 的对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC 与 BD 相等且互相平分.
∴OA = OB.
又∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴OA = AB = 4.
∴AC = BD = 2OA = 8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线
相等且互相平分
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： 图形，对称轴： 条.
轴对称
2
知识点2：直角三角形斜边上的中线的性质
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？
它的长度与斜边 AC 有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，
连接 AD，CD.
∵ AO = OC，BO = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线. 求证：BO = AC.
O
C
B
A
D
证一证
∴ BO = BD = AC.
练一练
4. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；
(2)若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =_____cm，
BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
当堂小结
矩形
概念
概念
性质应用
矩形的对角线____________
直角三角形斜边上的中线
矩形的四个角____________
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
注：矩形是特殊的平行四边形，应具有平行四边形的所有的性质.
都是直角
相等
等于斜边的一半
__________________
当堂练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
A
C
C
4. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
(1) 求证：BD = BE；
(2) 若∠DBC = 30°， BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB∥CD.
又∵ BE∥AC，
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
(2)解：∵ 在矩形 ABCD 中，BO = 4，
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵ ∠DBC = 30°，
∴ CD = BD = ×8 = 4，
∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
在 Rt△BCD 中，
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积= ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E

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