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第2课时 矩形的判定
21.3.1 矩 形
第二十一章 四边形
复习导入
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
情景导入
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
知识点1： 矩形的判定
探究新知
问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
猜想 对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义).
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
归纳总结
矩形的判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在□ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ □ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
典例精析
　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
练一练
知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
例2 如图， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD +∠ADC = 180°.
又 AE 与 DF 分别为∠BAD、
∠ADC 的平分线，
∴ 四边形 EFGH 为矩形.
同理 ∠H =∠AEB = 90°，
∴∠F = 90°.
∴∠DAF +∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
∴∠FEH =∠AEB = 90°.
∴ AB∥CD.
= (∠BAD +∠ADC) = 90°.
典例精析
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．
求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠ADC = 90°.
在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，
∴ AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
练一练
当堂小结
矩形
角
______________的四边形是矩形
_________的平行四边形是矩形
有一个角是直角
有三个角是直角
对角线
的平行四边形是矩形
对角线相等
__________________
判定定理
矩形的定义
当堂练习
1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？
(1) 对角线相等的四边形是矩形；
(2) 对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
(3) 有一个角是直角的四边形是矩形；
(5) 有三个角是直角的四边形是矩形；
(6) 四个角都相等的四边形是矩形；
(7) 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
(4) 有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
(8) 一组对角互补的平行四边形是矩形.
2. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形．
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ OA＝OC，OD＝OB.
∵ AN＝CM，ON＝OB，
∴ ON＝OM＝OD＝OB.
∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD.
∴ 平行四边形 NDMB 为矩形．

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