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21.3.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
第二十一章 四边形
复习导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
有一个角是直角
知识点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
探究新知
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？
(1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法.
A
B
C
D
O
边特殊化
A
B
C
O
D
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量
上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角.
活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形 (如图)，并回答以下问题：
是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，
指出它的对称轴.
证一证
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
A
B
C
O
D
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证：(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，
∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，
∠ABD =∠CBD.
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
A
B
C
O
D
(2) ∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，OB = OD，
∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC.
同理可证∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形的性质
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分
边：
对角线：
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD，
∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
思考 请同学们拿出剪好的菱形纸片，折一折，观察并思考. 菱形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
菱形的性质：
对称性： 图形，
对称轴： 条，
是________所在的直线.
轴对称
2
A
B
C
D
还能得出菱形的什么结论？
对角线
菱形被分割为四个全等的直角三角形
典例精析
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)．
知识点2：菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC · AE.
E
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
A　
B　
C　
D　
O　
例5 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后两位) 和花坛的面积(结果保留小数点后一位) .
典例精析
A　
B　
C　
D　
O　
∴ 花坛 ABCD 是菱形，
解：∵ 设 AC，BD 相较于点O，
花坛的两条小路长
花坛的面积
S菱形ABCD= 4×S△ABO
在Rt△OAB 中，
当堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = __________________
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边______
两组对角分别_____，邻角互补
1. 两条对角线互相_________；
2. 每一条对角线平分一组对角
相等
相等
垂直平分
两条对角线乘积的一半
当堂练习
1. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，
那么它的边长是 ____cm.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，
则∠BAC＝_____°.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是______cm.
3
30
A
B
C
O
D
5
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角
线长为 11 cm，菱形的周长为______cm.
44
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2，
那么菱形最短的那条对角线长为_____cm.
8
A
B
C
O
D
2. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CB = CD， CA 平分∠BCD．
∴∠BCE = ∠DCE．
又 CE = CE，
∴ △BCE≌△DCE (SAS)．
∴ ∠CBE = ∠CDE．
∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD = ∠EDC.
∴∠AFD = ∠CBE．
A
D
C
B
F
E

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