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21.3.2 菱 形
第 2 课时 菱形的判定
第二十一章 四边形
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
复习导入
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
且 AB = AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
知识点1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探究新知
证一证
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
归纳总结
菱形的判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
分析：已知 AC⊥EF，由 “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形. 由题意可知
AO＝CO，还需证明EO＝FO.
典例精析
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，
∴ △AOE≌△COF，
∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC⊥EF，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
还有其他的证明方法吗？
练一练
1. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 ( 　 )
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
知识点2：四条边相等的四边形是菱形
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
归纳总结
菱形的判定定理2
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
典例精析
证明： ∵∠1 = ∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
______________的四边形是菱形
当堂小结
菱形
边
______________的四边形是菱形
_________的平行四边形是菱形
有一组邻边相等
四条边都相等
对角线
对角线互相垂直
判定定理
菱形的定义
当堂练习
2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和10 cm，则平行四边形的面积是 .
120 cm2
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°，
∴ 四边形 ADCE 是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
3. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.

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