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21.3.3 正方形
第二十一章 四边形
矩形
复习导入
前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形是由什么图形怎样变化而来？
知识点1： 正方形的性质
探究新知
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结
归纳总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
总结
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
韦恩图：
角：
对角线：
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分
正方形的性质
正方形的四个角都是直角
正方形的对角线垂直且相等
边：
归纳总结
正方形的四个边都是相等
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4 条
A
B
C
D
典例精析
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方
形分成四个全等的等腰直角三角形.
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图正方形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
A
B
C
D
O
A
D
C
B
O
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
分析：
要判断一个三角形是等腰直角三角形的条件是什么？判定两个三角形全等的条件又是什么？
练一练
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
知识点2： 正方形的判定
问题 你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
想一想
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！
常用的正方形判定方法：
归纳总结
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
又∵∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF)
= 180° - (∠AEN+∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
∴ 四边形 EFMN 是正方形.
练一练
3. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形
B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形
C．当 ∠ABC = 90° 时，四边形 ABCD 是矩形
D．当 AC = BD 时，
四边形 ABCD 是正方形
D
当堂小结
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等
当堂练习
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5°
第3题图
第4题图
45
5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．

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