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小结与复习
第二十一章 四边形
考点一 平行四边形的性质与判定
考点讲练
分析：求 AD 的长
运用勾股定理
例1 如图，在 ABCD 中，∠ODA = 90°，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，
则 AD 的长为(　　)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
A
Rt△AOD，AD = 4
∠ODA = 90°，AO = 5，DO = 3
例2 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD 交 BC 于点 G，点 E、F 分别为 AG、CD 的中点，连接 DE、FG.
(1) 分析：
AG∥CD +
或 DE∥GF
DF = EG
四边形 DEGF 是平行四边形
DF = EG
点 E、F 分别为 AG、CD 的中点
AG∥CD，AD∥BC
(1) 求证：四边形 DEGF 是平行四边形；
四边形 AGFD 是平行四边形
解：(1)∵ AG∥DC，AD∥BC，
∴ 四边形 AGCD 是平行四边形，
∴ AG＝DC.
∵ E、F 分别为 AG、DC 的中点，
∴ GE＝ AG，DF＝ DC，即 GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形 DEGF 是平行四边形.
(2) 如果点 G 是 BC 的中点，且 BC＝12，DC＝10，求四边形 AGCD 的面积．
(2) 分析：
S四边形 AGCD 的面积 = CG×AB
(2)∵ 点 G 是 BC 的中点，BC＝12，
∴ BG＝CG＝ BC＝6.
∵ 四边形 AGCD 是平行四边形，
DC＝10，AG＝DC＝10，
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB＝8，
∴四边形 AGCD 的面积为 6×8＝48.
练一练
1. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是 ( 　　)
A．45 cm B．59 cm
C．62 cm D．90 cm
B
考点二 三角形的中位线
例3 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连接 OE. 如果□ABCD 的周长为 24，BD = 8，那么△DOE 的周长是 ______.
10
分析：△DOE 的周长为
□ABCD 的周长为 24
BC + CD = 12
O，E 分别是边 BD，CD 的中点
OE = BC，
ED = CD，
OD = BD
= 4
OE + ED = 6
DO + OE + ED
DO + OE + ED = 10
例4 如图，在△ABC 中，∠CAB = 90°，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接
EF、AD，求证：EF = AD．
分析：
逆向思维
求证：EF = AD
EF，AD 为四边形 AEDF 的对角线
∠CAB = 90°
求证：四边形 AEDF 为矩形
DE、DF 是△ABC 的中位线
DE∥AB，DF∥AC
四边形 AEDF 为矩形
∠CAB = 90°
EF = AD
证明：∵ DE，DF 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥AB，DF∥AC，
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，
又∵∠BAC = 90°，
∴ 平行四边形 AEDF 是矩形，
∴ EF = AD．
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别
是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF = BC．
若 AB = 12，求 EF 的长．
解：连接 CD，
∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴ DE∥BC，DE = BC，DC = AB.
∵ CF = BC，∴ DE ∥FC，DE = FC，
∴四边形 DEFC 是平行四边形.
∴DC = EF，又∵在 Rt△ABC 中，D 为 AB 中点
∴ CD = AB = EF = 6．
练一练
例5 如图，在菱形 ABCD 中，
对角线 AC = 10，BD = 6，
则菱形 ABCD 的面积为______．
30
A
B
C
O
D
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
分析：
菱形 ABCD 的面积 = 对角线乘积的二分之一
= ×6×10 = 30.
例6 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E．
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD.
∴ OA = OC = OD.
∴ 四边形 AODE 是菱形.
3. 如图，△ACE 是以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，点 C 与点 E 关于 x 轴对称. 若点 B 的坐标是(2，0)，则点 E 的坐标为________，
菱形 ABCD 的面积为_______.
练一练
4. 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE.
(1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由；
解：四边形 BECF 是菱形．
理由如下：∵ EF 垂直平分 BC，
∴ BF＝CF，BE＝CE.
∴∠3＝∠1.
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°.
∴∠2＝∠A.
∴ CE＝AE，∴ BE＝AE.
∵ CF＝AE，
∴ BE＝CE＝CF＝BF.
∴ 四边形 BECF 是菱形.
(2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．
解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形．
证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°.
∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形).

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