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21.1.1 四边形及其内角和
第二十一章 四边形
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
问题1：观察画四边形的过程，类比三角
形的概念，你能说出什么是四边形吗？
在平面内，由不在同直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
A
B
C
D
知识点1：四边形的相关概念
内角：四边形相邻两边组成的角.
顶点：每相邻两条线段的公共端点.
边：组成四边形的各条线段.
外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段.
问题2：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边形的边、顶点、内角、外角、对角线．
想一想：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？
(1)
如图(1)，画出四边形 ABCD 的任何一条边 (例如 CD) 所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. 本节我们只研究凸多边形.
A
B
C
D
A
C
B
D
(2)
图(2)中的四边形ABCD 不是凸四边形，因为画出边 CD（或 BC 所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧
知识点2：四边形的内角和
思考2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
思考1：三角形内角和是多少度？
三角形内角和是180°.
都是360°.
思考3：猜想任意四边形的内角和是多少度？
由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D
＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D
＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D)
＝180°＋180°＝360°.
证明： 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分为△ABC 和△ACD 两个三角形，
在△ABC 中，由三角形内角和定理，得
同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.
∠1＋∠B＋∠3＝180°.
A
B
C
D
即四边形的内角和等于360°.
2
1
3
4
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少
A
B
C
D
2
1
3
4
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
A
B
C
D
2
1
3
4
解：如图.∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB＋∠1＝180°.
同理∠ABC＋∠2＝180°，
∠BCD＋∠3＝180°，
∠CDA＋∠4＝180°.
∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°.
而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.
四边形外角和 360°.
大小和形状固定不变
三角形的稳定性
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
知识点3：四边形的不稳定性
探究 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(1)
(2)
如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会没变吗？为什么？
1. 四边形不具有稳定性.
2. 三角形具有稳定性.
想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用， 你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗
升降机
伸缩门
想一想：在日常生活中， 有哪些是需要克服四边形不稳定性的例子呢
在中的栅栏两横梁之间加钉斜木条
四边形及
其内角和
定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形
内角和与外角和：四边形的内角和是360°，四边形的外角和等于360°
四边形的不稳定性
1. 在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠B = 80°，则∠B 的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
C
2. [教材变式]求下列图中x的值.
x＝ . x＝ .
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