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21.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
第二十一章 四边形
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
新课导入
知识点1： 平行四边形的定义
探究新知
通过上述的实际例子，什么样的图形叫做平行四边形呢？
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
D
C
几何语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
字母按照图形的顺时针或逆时针写
两组对边分别平行
思考：平行四边形和四边形的联系是什么？
一个“四边形”必须具备“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形一定是“两组对边分别平行”的“四边形”
知识点2： 平行四边形的边、角的特征
通过上述的学习，我们知道平行四边形两组对边分别平行. 除此之外，平行四边形还有什么性质呢？
根据定义，请画一个平行四边形 ABCD.
探究
D
A
B
C
A
B
C
D
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗
测得 AB = DC，AD = BC.
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，
∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC.
A
B
C
D
1
4
3
2
证一证
分析：
求证 AD = BC，AB = CD
AD∥BC，AB∥CD
连接 AC
全等
AC 是公共边
AD = BC，AB = CD，
∠ABC =∠ADC
△ABC≌△CDA
∠BAD = ∠BCD
逆向思维
∠1 =∠2，∠3 =∠4
思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
分析：
AD∥BC，AB∥CD
∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°
∠B = ∠D
同理可得
∠A =∠C
正向思维
归纳总结
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的性质
几何语言表述：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC，
∠A =∠C，∠B = ∠D
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = CB.
又∠AED = ∠CFB = 90°，
∴ △ADE≌△CBF (AAS)，
∴ AE = CF.
例1 如图，在 □ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是 E，F．求证：AE = CF．
D
A
B
C
F
E
思考 在上述证明中还能得出什么结论？
DE = BF
四边形问题
三角形问题
知识点3：平行四边形的对角线互相平分
探究
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？
A
B
C
D
O
观察
猜测
试验
度量法
剪拼法
OA = OC，
OB = OD
证明
度量法
A
B
C
D
O
5.5 cm
5.5 cm
7.5 cm
7.5 cm
剪拼法
A
B
C
D
( C )
( A )
( D )
OA = OC，
OB = OD
OA = OC，
OB = OD
动手操作
O
证一证
已知：如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
分析：
□ABCD
AD = BC，
AD∥BC
∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
△AOD≌△COB
OA = OC，OB = OD
归纳总结
平行四边形的性质
平行四边形的对角线互相平分．
几何语言表述：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
根据勾股定理，
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∴△ABC 是直角三角形.
A
B
C
D
O
S□ ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
∴OA = OC = AC = 3，
∵ AC⊥BC，
例1 如图，在□ABCD 中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC， CD，AC，OA 的长，以及□ABCD 的面积.
当堂小结
平行
四边形
定义
_________________的四边形
性质
平行四边形的____________________
两条平行线之间的任何两条平行线段都____
平行四边形的___________________
两组对边分别平行
两组对边分别平行相等
边
角
两条平行线间的距离：一条直线上___________到另一条直线的距离
综合应用
两组对角分别相等
任意一点
相等
当堂练习
1. 判断题 (对的在括号内填“ √ ”，错的填“×”)：
(1) 平行四边形两组对边分别平行且相等. ( )
(2) 平行四边形的四个内角都相等. ( )
(3) 平行四边形的相邻两个内角的和等于 180°. ( )
(4) 如果平行四边形相邻两边长分别是 2 cm 和
3 cm，那么周长是10 cm. ( )
(5) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 42°，
那么∠B = 48°. ( )
√
√
√
×
×
3. 如图，在 □ABCD 中，AD = 2AB，CM 平分∠BCD，交边 AD 于点 M，AM = 4，
则 AD = ________.
8
2. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的
是 ( )
A．∠ABO =∠CDO
B．∠BAD =∠BCD
C．AO = CO
D．AC⊥BD
D
B
C
D
A
O
21.2.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形性质的综合运用
第二十一章 四边形
平行四边形
性质
对角线互相平分
对边相等且平行
边
___________________
角
____________________
对角线
_____________________
对角相等，相邻两角互补
复习导入
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F.
求证：OE = OF.
A
B
C
D
F
E
O
分析：
求证 OE = OF
求证 △DOF≌△BOE
□ABCD
OD = OB，
AB∥CD
∠ODF = ∠OBE，
∠DFO = ∠BEO
探究新知
知识点1：平行四边形性质的综合运用
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点O. 过点 O作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F. 求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODF = ∠OBE，
∠DFO = ∠BEO.
∴△DOF≌△BOE(AAS).
∴ AB∥CD， OD = OB.
∴ OE = OF.
思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
1. 请判断下列图中，OE = OF 还成立么？
同例1 易证明 OE = OF 还成立.
议一议
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
总结
知识点2： 平行线间的距离
问题1 如图 a∥b，c∥d ，我们能得出 AD = BC ？
a
b
c
d
D
A
B
C
总结
两条平行线之间的平行线段相等.
a
b
c
d
D
A
B
C
问题2 如图，直线 a∥b，D，C 为直线 a 上任意两点，点 D 到直线 b 的距离和点 C 到直线 a 的距离相等吗？
F
E
总结
如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
思考：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
C
a
b
D
A
B
F
E
总结
任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段长度.
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间的距离的基础，它们本质都是点与点之间的距离.
证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，
过点 A，D 分别作AE⊥BC，AF⊥BC，
垂足分别为E，F.
例2 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC.
求证∠B＝∠C.
分析：由于AD∥BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴ AE＝DF. 又 AB＝DC.
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B＝∠C.
A
B
C
D
E
F
1. 在同一平面上，直线 a，b，c 是三条平行直线.
如果直线 a 和 b 的距离为 6，直线 b 和 c 的距离为 3，
那么直线 a 和 c 的距离为 .
练一练
9 或 3
当堂小结
平行四边
形性质的
综合运用
平行四边形性质的综合运用
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
1. 如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，
DF分别平分∠DAB，∠ADC，交BC于点E，
F，那么EF的长为(　A　)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 以上都不对
A
当堂练习
2. 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，
若 AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，
则△ACE 的面积为 .
A
B
C
D
E
10
B
D
C
E
F
A
M
3. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 M、E、F 分别是 AB，AD，AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形. 求证：AF = BM.
证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形，
∴ BM = EF，AB∥EF.
∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠BAD =∠CAD.
∵ AB∥EF， ∴ ∠BAD =∠AEF.
∴ ∠CAD =∠AEF，
∴ AF = EF.
∴ AF = BM.

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