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2026年中考三角函数解答题型常考题型专项训练
一．解答题
1．国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为1：2，AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓角线CD的夹角是65°．
（1）求点A到水平面BD的距离；
（2）求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：2.236，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）
2．一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，其示意图如图2所示．已知B'、O'、C三点在同一直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°．
（1）求散热架ACO'的高度O'C；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来升高了多少？
（参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75，取1.73）
3．如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为4cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离h（精确到1cm）．（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，）
4．2025年是“中国航天之父”钱学森先生归国70周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西30°方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离600米的图书馆D，随后从D向南偏东15°方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：1.41，，）
（1）求CD的长度（结果保留根号）；
（2）若甲同学步行的平均速度为100米/分，乙同学步行的平均速度为150米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到0.1）．
5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距世纪路（直线l）120米的点C处，如图所示．这时一辆小汽车由世纪路上的A处向B处匀速行驶，用时3秒．经测量，点A在点C的北偏西53°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上．请判断此车是否超过了世纪路40千米/时的限制速度．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°
6．如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，CD为水平地面．已知座板AB∥CD，靠背BE＝60cm，后支架BD＝30cm，点B是转动点，AB，BE与BD始终在同一平面内，当张角∠ABE＝150°时，∠BDC＝60°，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点E距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，
7．中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东15°方向．
（1）∠C的度数为　 　 ；
（2）求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，）
8．如图，A、B、C、D是某景区平面上的四个打卡景点，其中B位于A的正东方向400米处，D位于A的南偏东30°方向400米处，C位于B打卡点的正南方向，D位于C的西南方向．（参考数据，，，
（1）求B、C两处打卡景点之间的距离；（结果保留一位小数）
（2）现甲从A地出发沿AD前往D地打卡，乙从B地出发沿BA前往A地打卡，两人同时出发，乙的速度是甲速度的1.5倍，当两人首次相距200米时甲距离A地多远．（结果保留一位小数）
9．如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东75°方向，C在D的正南方向且在B的北偏西30°方向．经测量A，E两打卡点相距200米．（参考数据：，，）
（1）求D，E两打卡点之间的距离（结果保留整数）；
（2）若C、D相距100米，甲、乙两人分别从C、A两处出发前往B处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离C处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数）
10．今年元旦节小明和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小明家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西75°方向；博物馆C位于小福家B的北偏东60°方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45）
（1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）；
（2）小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路BE与CD的夹角∠BED＝60°（∠BDC＜90°），且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小明在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数）．
2026年中考三角函数解答题型常考题型专项训练
一．解答题
1．国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为1：2，AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓角线CD的夹角是65°．
（1）求点A到水平面BD的距离；
（2）求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：2.236，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，
设AE＝x米，
∵斜坡AB的坡度为1：2，
∴BE＝2x米，
在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，即x2+（2x）2＝52，
解得：x2.24（负值舍去），
答：点A到水平面BD的距离约为2.24米；
（2）如图，过点A作AF∥BD，交CD于F，过点F作FH⊥BD于H，
则四边形AEHF为矩形，
∴FH＝AE米，EH＝AF，
在△ACF中，∠C＝65°，∠CAF＝50°，
则∠AFC＝180°﹣65°﹣50°＝65°，
∴∠AFC＝∠C，
∴AF＝AC＝6米，
∴EH＝6米，
∵AF∥BD，
∴∠FDH＝∠AFC＝65°，
∴DH1.044（米），
∴BD＝EH+DH﹣EB＝6+1.044﹣2×2.236≈2.57（米），
答：浮漂D与斜坡下端B之间的距离约为2.57米．
2．一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，其示意图如图2所示．已知B'、O'、C三点在同一直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°．
（1）求散热架ACO'的高度O'C；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来升高了多少？
（参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75，取1.73）
【解答】解：（1）如图2，Rt△ACO′中，
∵sinA＝sin37°0.6，
∴O′C＝40×0.6＝24；
（2）如图1，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOH＝180°﹣120°＝60°，
∵sin∠BOH，
∴BH＝2020×1.73＝34.6，
如图2，B′C＝O′C+O′B′＝24+40＝64，
∴垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来升高了64﹣34.6＝29.4．
3．如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为4cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离h（精确到1cm）．（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，）
【解答】解：如图，过点B作BH⊥MN，垂足为点H，分别过点C、A作直线BH的垂线CE、AG，垂足分别为点E、G，则∠EHD＝∠CEH＝∠CEB＝∠AGB＝90°，
∵CD⊥MN，
∴∠CDH＝90°，
∴CDHE是矩形，
∴∠DCE＝90°，EH＝CD＝4cm，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴，
∵∠ABC＝106°，
∴∠ABG＝180°﹣∠CBE﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣106°＝44°，
在Rt△ABG中，∠ABG＝44°，
∴BG＝ABcos∠ABG＝25cos44°≈25×0.72＝18.0（cm），
∴，
答：若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，则台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为39cm．
4．2025年是“中国航天之父”钱学森先生归国70周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西30°方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离600米的图书馆D，随后从D向南偏东15°方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：1.41，，）
（1）求CD的长度（结果保留根号）；
（2）若甲同学步行的平均速度为100米/分，乙同学步行的平均速度为150米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到0.1）．
【解答】解：（1）如图1，AD＝600m，∠BAC＝30°，过D作DE⊥AC交AC于点E，
∴∠DAC＝60°，∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE600＝300（m），DE600＝300（m），
∵甲同学从D向南偏东15°方向经景观大道前往C处，
∴∠CDA＝90°﹣15°＝75°，
∴∠CDE＝∠DCE＝75°﹣30°＝45°，
∴CE＝DE＝300m，CD＝300300（m）；
（2）如图2，∠BAC＝30°，过C作CF⊥AB交AB于点F，
∴CFAC（300+300）＝150+150409.5（m），
AFAC150450≈709.5（m），
∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝409.5m，CB＝409.5577.4（m），
∴S甲＝600+3001335（m），S乙＝709.5+409.5+577.4＝1696.4（m），
∵甲同学步行的平均速度为100米/分，乙同学步行的平均速度为150米/分，
∴t甲13.35（min），t乙11.3（min），
∴t乙＜t甲，
∴乙同学先到达校门C处．
5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距世纪路（直线l）120米的点C处，如图所示．这时一辆小汽车由世纪路上的A处向B处匀速行驶，用时3秒．经测量，点A在点C的北偏西53°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上．请判断此车是否超过了世纪路40千米/时的限制速度．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°
【解答】解：此车超过了世纪路40千米/时的限制速度．理由：
过点C作CD⊥AB于点D，如图，
则CD＝120米，∠BCD＝45°，∠ACD＝53°，
∴BD＝CD＝120米，
在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD，
∴AD＝CD tan∠ACD＝120160（米），
∴AB＝AD﹣BD＝160﹣120＝40（米）＝0.04（千米），
∵由世纪路上的A处向B处匀速行驶，用时3秒，
∴此车的速度为0.04×3600÷3＝48（千米/小时），
∵48＞40，
∴此车超过了世纪路40千米/时的限制速度．
6．如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，CD为水平地面．已知座板AB∥CD，靠背BE＝60cm，后支架BD＝30cm，点B是转动点，AB，BE与BD始终在同一平面内，当张角∠ABE＝150°时，∠BDC＝60°，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点E距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，
【解答】解：过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，过点B作BG⊥CD，垂足为G，
∴∠EFB＝∠BGD＝90°，
∵∠ABE＝150°，
∴∠EBF＝180°﹣∠ABE＝30°，
在Rt△EBF中，BE＝60cm，
∴EFBE＝30（cm），
在Rt△BGD中，∠BDC＝60°，BD＝30cm，
∴BG＝BD sin60°＝3015（cm），
∴EF+BG＝30+1556（cm），
∴此时躺椅最高点E距离地面的高度约为56cm．
7．中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东15°方向．
（1）∠C的度数为　45°　 ；
（2）求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，）
【解答】解：（1）如图：
∵EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∴∠C的度数为45°；
（2）如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G．
由三角函数可知，（千米）．
由三角函数可知，（千米），
∴B，C两地的直线距离约为12.3千米．
8．如图，A、B、C、D是某景区平面上的四个打卡景点，其中B位于A的正东方向400米处，D位于A的南偏东30°方向400米处，C位于B打卡点的正南方向，D位于C的西南方向．（参考数据，，，
（1）求B、C两处打卡景点之间的距离；（结果保留一位小数）
（2）现甲从A地出发沿AD前往D地打卡，乙从B地出发沿BA前往A地打卡，两人同时出发，乙的速度是甲速度的1.5倍，当两人首次相距200米时甲距离A地多远．（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）如图，连接BD，过D作DH⊥BC于H，
由题意得∠BAD＝60°，AB＝AD＝400米，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝400米，∠ABD＝60°，
∴∠DBH＝30°，
∴BHBD＝200米，DHBD＝200米，
∵∠DCH＝45°，
∴CH＝DH＝200米，
∴BC＝BH﹣CH＝200200≈146.4（米），
答：B、C两处打卡景点之间的距离约为146.4米；
（2）设两人首次相距200米时甲在N点，乙在M点，
则MN＝200米，
设AN＝x米，则BM＝1.5x米，
∴AM＝（400﹣1.5x）米，
过N作NP⊥AB于P，
∵∠ANP＝30°，
∴APx米，PNx米，
∴PM＝（400﹣1.5xx）米，
∵PM2+PN2＝MN2，
∴（400﹣1.5xx）2+（x）2＝2002，
∴x≈112.7或x≈224.1（不合题意舍去），
答：两人首次相距200米时甲距离A地112.7米．
9．如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东75°方向，C在D的正南方向且在B的北偏西30°方向．经测量A，E两打卡点相距200米．（参考数据：，，）
（1）求D，E两打卡点之间的距离（结果保留整数）；
（2）若C、D相距100米，甲、乙两人分别从C、A两处出发前往B处打卡，乙出发米后，甲再出发，若甲乙两人均保持匀速行驶，且甲的速度与乙的速度之比为2：3，求甲距离C处多少米时，甲乙两人恰好相距100米．（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）如图1，D在A的东北方向且在E的北偏东75°方向，经测量A，E两打卡点相距200米，过点D作DF⊥AE交AE于点F，过点E作EH⊥AD于点H，
∴∠DEF＝75°，∠DAF＝45°，AE＝200米，
∴∠EDA＝∠DEF﹣∠DAF＝30°，∠DAF＝∠AEH＝45°，
∴，，
∴（米），（米）；
（2）如图2，延长DC交AB于点M，
由题意可得，∠BCM＝30°，DC＝100米，∠CMB＝∠AMD＝∠FAM＝90°，∠B＝60°，
∴四边形AMDF是矩形，
由（1）可得∠DAF＝∠FDA＝45°，，
∴AF＝DF，（米），
∴四边形AMDF是正方形，（米），
∴∠DAM＝45°，
∴，
∴（米），
∴（米），
∵，，
∴（米），（米），
∴（米），
∵甲的速度与乙的速度之比为2：3，
∴甲的路程与乙的路程之比为2：3，
设甲的路程为2x，乙的路程为3x，此时甲在P处，乙在Q处，如图3，过点P作PN⊥AB于点N，
∵甲、乙两人分别从C、A两处出发前往B处打卡，乙出发米后，甲再出发，
∴PC＝2x，，
∴BP＝BC﹣PC＝200﹣2x，BQ＝AB﹣AQ＝200﹣3x，
∵∠B＝60°，
∴，
在直角三角形BNP中，由勾股定理得：，
∴QN＝|BQ﹣BN|＝|（200﹣3x）﹣（100﹣x）|＝|100﹣2x|，
∵甲乙两人恰好相距100米，
∴PQ＝100米，
在直角三角形NPQ中，由勾股定理得：PN2+QN2＝PQ2，
∴，
整理得：（7x﹣300）（x﹣100）＝0
解得：，
∵BP＝200﹣2x＞0，BQ＝200﹣3x＞0，
∴，
∴，
∴甲距离C处米时，甲乙两人恰好相距100米．
10．今年元旦节小明和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小明家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西75°方向；博物馆C位于小福家B的北偏东60°方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45）
（1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）；
（2）小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路BE与CD的夹角∠BED＝60°（∠BDC＜90°），且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人商定小明在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BD于点H，取AF＝AB交BD于点F，不妨设AH＝x，如图所示：
根据题意，可知AD＝5km，∠KDB＝75°，BM∥KD，∠ABM＝45°，
∵KD∥BM，
∴∠DBM＝∠KDB＝75°，
∴∠ABD＝∠DBM﹣∠ABM＝75°﹣45°＝30°，
∵AH⊥BD，
∴AB＝2AH＝2x，
∴BHx，
∵AF＝AB，AH⊥BD，
∴FH＝BHx，∠AFH＝∠ABH＝30°，
∵∠KDA＝90°，∠KDB＝75°，
∴∠BDA＝15°，
∴∠FAD＝∠BFA﹣∠BDA＝30°﹣15°＝15°，
∴∠FAD＝∠BDA，
∴AF＝DF＝2x，
∴HD＝FH+DF，BD＝BH+FH+DF＝2x+2x，
∵AH⊥BD，
∴AH2+HD2＝AD2，
x2+（）2＝52，
x，
∴BD＝2257.1（km），
答：小福家B与学校D的距离为7.1千米．
（2）∵小明从自己家出发，沿A→D→C方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速前往博物馆C，已知小明和小福的速度之比为3：4．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小明正好到了DC方向的超市E处，
∴不妨设AD+DE＝3x，那么2BC＝4x，
∴BC＝2x，DE＝3x﹣AD＝3x﹣5，
∵BE的距离比BC的距离还少2千米，
∴BE＝2x﹣2，
过点D作DN⊥BE于点N，如图所示：
∵∠BED＝60°，
∴∠EDN＝30°，
∴EN，
∴DNEN，
∴BN＝BE﹣EN＝2x﹣2，
∵DN⊥BE，
∴BN2+DN2＝BD2，
∴（）2+（）2＝（5）2，
∴x（舍去负值），
∴BC＝28.4（km）．
答：博物馆C与小福家B的距离为8.4千米．

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