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第二十章 勾股定理
第3课时
20.1 勾股定理及其应用
学习目标
1．能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、
　　 直角边”判定定理；
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用．
学习重点：
用勾股定理作出长度为无理数的线段．
复习旧知
2.请给直角三角形的三边标上字母，并写出三边关系式。
a
b
c
1.勾股定理的内容是什么？
3.根据下列图形求出第三边的长。
新课引入
欣赏下面海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
新知探究
探究一:用勾股定理证明“HL”定理
已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，
根据勾股定理，得
新知探究
探究二:利用勾股定理作出长度为无理数的线段
1
2
3
4
5
已知直角三角形斜边的长，请帮它找到合适的有理数的直角边。
新知探究
问题 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
1
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
3
2
4
5
1
6
作法:
（1）在数轴上找到点A，使OA=1；
（2）过点A作直线垂直于OA，在垂线上取点B,使AB=1,那么OB=_______;
(3)以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C.
则点C就是所求作的表示_____的点。
那么在数轴表示 的点呢？
新知探究
-5
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-2
-1
0
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5
1
6
作法:
（1）在数轴上找到点A，使OA=3；
（2）过点A作直线垂直于OA，在垂线上取点B,使AB=2,那么OB=_______;
(3)以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C.
则点C就是所求作的表示_____的点。
在数轴上作出表示 与 的点。
与负半轴交于点D
则点D就是所求作的表示_____的点。
新知探究
总结：利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法
1.拆分：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和=所画线段（斜边）长的平方。
2.构建：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点构建直角三角形。
3.画弧：以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即在数轴上就可以找到该无理数的点
新知探究
利用勾股定理，可以作出长为 …的线段。按同样的方法，可以在数轴上画出表示 的点.
类似地，利用勾股定理可以作出长为 ……线段.
“数学海螺”
新知探究
探究三：勾股定理与网格
新知探究
画一画 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．
B
B
算一算 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
新知探究
例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
例题解析
易错点拨：
求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
例题解析
问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）求△ABC的面积；
例题解析
（2）若△ABC三边的长分别为 (a＞0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
∴△ABC即为所求，
A
B
C
当堂达标
1.如图，点A表示的实数是 （　　）
2.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　）
D
C
当堂达标
3.你能在数轴上画出表示 的点吗？
4.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为 .
当堂达标
当堂达标
5.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
D
课堂小结
利用勾股定理
作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算
通常用到方程思想

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