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(共38张PPT)
20.1 勾股定理及其应用
弦图
这个图形里蕴涵着怎样博大精深的知识呢？
它标志着我国古代数学的伟大成就！
B
A
C
SA+SB=SC
图甲
1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
A
B
C
图乙
SA+SB=SC
A
B
C
SA+SB=SC
图甲
C
A
B
图乙
SA+SB=SC
A
B
C
SA+SB=SC
图甲
a
b
c
a
b
c
C
2.观察图乙，小方格
的边长为1.
9
16
25
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
4
4
8
图甲 图乙
A的面积
B的面积
C的面积
A
B
C
C
图乙
SA+SB=SC
SA+SB=SC
图甲
a
b
c
a
b
c
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4· ab+c2
=c2+2ab
∴a2 +b2 =c2
∴ a2+b2+2ab=c2+2ab
a2+b2+2ab
c2+2ab
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
a
c
b
毕达哥拉斯定理
　　毕达哥拉斯　　　
　　“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．
　　相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．　
　　毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
a
b
c
S大正方形＝c2
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
弦图
　　现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！
赵爽弦图证明勾股定理
c
b
a
a
c
数形结合思想
等 积 变 换
b
a
a
a
b
b
c
c
总统证法:
∴ a2 + b2 = c2
　　勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
c
b
a
c2=a2 + b2
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
8
6
算一算
AC2=AB2+BC2=62+82=100
∴AC=√100 = 10
A
B
C
求图中直角三角形的未知边的长度。
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
2.求下列直角三角形中未知边的长:
可用勾股定理建立方程.
方法小结:
8
x
17
16
20
x
12
5
x
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；　
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
例题分析
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
方法小结
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( )
A
B
C
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
13
12

A
试一试:
例：在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．
1 m
2 m
A
C
B
D
在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
=625
225
400
A
225
81
B
=144
2、求下图中字母所代表的正方形的面积。
225
400
A
625
3.求下列图中表示边的未知数x、y的值.
81
144
x
y
144
169
A
B
C
D
7cm
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
49
一判断题. 1. ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为_____,斜边为上的高为______.


24
4.8
A
B
C
D
1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ，
AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD；
选一选
已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=Rt∠，则有关系式（ ）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2
D.b2+c2=a2
B
A
B
C
若a=5，b=12， 则c =___________.
试一试
在Rt△ABC中，
当c是斜边时， c2= a2+b2
当b是斜边时， b2= a2+c2
13或√119
5 或
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 .
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
数学的和谐美
３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( )
A 2、4、6
Ｃ 4、6、8
B
Ｂ 6、8、10
Ｄ 8、10、12
１、本节课我们经历了怎样的学习过程？
　　经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。
　２、本节课我们学到了什么？
　　通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
３、学了本节课后你有什么感想？
　　 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
x2+22=(x+1)2
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少
x+1
B
C
A
H
1
2

┓
x
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m B.8m C.9m D.10m
8m
A
B
C
8m
2m
7 .观察下列表格：
……
列举 猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
……
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
84
85
课后探索
做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。

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