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人教·八年级数学下册
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
20.1.1 勾股定理
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.
A
B
C
a
b
c
新课导入
新课导入
商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形.
3
4
5
所得正方形的面积分别为____，____，____.
9
16
25
面积之间的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究新知
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
探究新知
转化思想（补形法）
同理：
探究新知
由上面的几个例子，我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
勾
股
弦
探究新知
下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a
b
c
a2 + b2
左边：
c2
右边：
a2 + b2 = c2
a
证法 1:
探究新知
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
探究新知
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
几何语言：
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴a2 + b2 = c2.
a
b
c
探究新知
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
变形3
变形2
变形1
新知应用
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
c2 = a2 + b2
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
新知应用
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
解：由题意得：
SE=122 + 162 + 92 + 122 = 625.
新知应用
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和B（0，4）.
求这两点间的距离.
解：在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4,
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
典例精析
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
在Rt△ABC中， ∠C=90°.
x2+(2x)2=52
(2x)2-x2=152
归纳
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
由勾股定理得
解：(1)设a=x,b=2x
（2）∵∠A=30°，b=15，
∴c=2a
∴设a=x,c=2x
由勾股定理得
典例精析
【变式】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
典例精析
求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积．
15
17
A
C
B

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