资源简介

浙江省杭州市开元中学2024-2025学年九年级下学期期中数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025九下·杭州期中）魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若元表示收入5元，则支出7元可记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2025九下·杭州期中）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·杭州期中）按照国家统计局的数据，2024年中国生产芯片在4300亿颗以上，数据4300亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·杭州期中）计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·杭州期中）小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·杭州期中）与式子的值最接近的整数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025九下·杭州期中）如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·杭州期中）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·杭州期中）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九下·杭州期中）如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知，，则的长为(　　)
A． B．6 C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·杭州期中）分解因式： 　 　.
12．（2025九下·杭州期中）一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随机摸出的一个球是黑球的概率为　 　．
13．（2025九下·杭州期中）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（2025九下·杭州期中）如图，正五边形内接于，连接，则　 　．
15．（2025九下·杭州期中）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是　 　．
16．（2025九下·杭州期中）如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题8分，第22、23小题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025九下·杭州期中）计算：．
18．（2025九下·杭州期中）解不等式组：．
19．（2025九下·杭州期中）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可）
20．（2025九下·杭州期中）如图，在中，，是边上的中线，于点E，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
21．（2025九下·杭州期中）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（2）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距．
22．（2025九下·杭州期中）如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形．
小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小明：小华，你的作法有问题．
小华：真的吗？让我们仔细想一想．
（1）证明：小明所作的是等腰三角形；
（2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例．
23．（2025九下·杭州期中）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
24．（2025九下·杭州期中）如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结．
（1）求的度数；
（2）如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由；
（3）如图3，连结交于点P，若，，求圆半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若元表示收入5元，则支出7元可记作元；
故答案为：A．
【分析】由于正负数可以表示一对相反意义的量，故弄清楚了正数所表示收入，则可知道负数就该表示支出.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：几何体的主视图为：
故答案为：A．
【分析】主视图是从前往后看，得到的正投影，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，此题中几何体的主视图应该是一个矩形上面一个等腰梯形，且等腰梯形与矩形的公共边处不存在轮廓线.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得，
．
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿颗化为颗，然后根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”即可求解.
4．【答案】C
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，
∴此选项不符合题意；
Ｂ、∵，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
∴此选项符合题意；
D、∵，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
∴OB：OD=OA：OC，
，
，
，
，
，
，解得：，
故答案为：B．
【分析】先证明，再列出比例式，可求得的长度．
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，即，
，
式子的值最接近的整数是5．
故选：C．
【分析】本题主要考查无理数的估算和二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键。首先对原式进行化简，得到的形式。根据已知条件，即可求出最终结果。
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】如图，作，将绕点D顺时针旋转至
则，，
，
，
∴正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为．
故选：A
【分析】本题考查旋转的性质和网格当中的旋转作图．作，将绕点D顺时针旋转至，利用旋转的性质可得：，，利用线段的运算可求出，进而可求出B'的坐标，利用旋转的性质可求出B点的坐标．
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接、，
∵过的中点C作交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接、，由圆的性质可得，根据等边三角形的各角都相等可得，再Rt△OCD中，用勾股定理求得，然后根据阴影部分面积的构成计算即可求解．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；求特殊角的三角函数值；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．
∵ME⊥AB，，
∴是直角三角形，，，，
∵，
∴，．
又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
则y与x的函数关系图象是开口向上的二次函数，且过点．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形性质及垂直的定义可得△BDE是直角三角形，且∠BDE=30°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2X，则CD=2-2x；由等角的余角相等得∠BDE=∠CDF=30°，再结合等边三角形性质及三角形内角和定理可推出△DFC是直角三角形，由含30°角直角三角形的性质得CF=1-x，利用∠CDF的余弦函数及特殊锐角三角函数值可表示出DF，然后根据三角形面积计算公式建立出y关于x的函数关系式，进而根据二次函数的图象与系数的关系即可判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
∴，
∵于F，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴=，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、垂径定理以及折叠性质等知识点，解题关键在于正确添加辅助线。
连接并延长交于点H，连接，过点O作于点F，延长交于点G，连接。根据直径所对的圆周角为直角可得。通过解直角三角形求得，再运用勾股定理计算得到。根据垂径定理可知。由折叠性质可得，最后利用勾股定理完成求解。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ．
故答案为： ．
【分析】利用提公因式法分解因式即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，布袋里共有个球，其中黑球有2个，
则随机摸出的一个球是黑球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式即可求解．
14．【答案】36
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正n边形每一个内角的度数为“”求出，根据正n变形中心角度数为“”可以求出，代入计算即可求解.
15．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：设点A的坐标为∶，，
∵轴，
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数，
∴，
解得：，
∴点，
∴，
∵点C在x轴上，轴，
∴边上的高为∶，
∵的面积是2，
即，
化简得：，
解得：，
故答案为：3．
【分析】设点A的坐标为∶，，根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可将点B的坐标用含a、k的代数式表示出来，再根据三角形ABC的面积可得关于k的方程，解方程即可求解．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 由翻折得：，
∵平行四边形
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由翻折的性质可得：，，用勾股定理求得BG的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出FG的值，由线段的和差求出B F的值，由于，，则，同理可得，然后根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质“”、a0=1(a≠0)、及绝对值的代数意义分别化简，进而计算二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
18．【答案】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法。解题步骤如下：① 分别求出每个不等式的解集；
②利用不等式组的解集确定规则（"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解"）求出公共解集。
19．【答案】（1）85，87，七
（2）解：（人），
答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人．
（3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一）
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数．
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七．
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（2）用样本估计总体，即分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小“方差越小，成绩越稳定”直接比较即可判断求解．
（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数．
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七．
（2）解：（人），
答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人．
（3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一）
20．【答案】（1）解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
答：
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得=AB，由等边对等角可得，然后根据锐角三角函数，即可求解；（2）用勾股定理求出，再根据等面积法求出，然后根据正弦的定义sin∠CDB=即可求解．
（1）解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：由图可知点，，，
设的解析式为，
则，
解得：，
∴，
∴小红离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为，
∴小红的速度为：；
小明出发2小时离开甲地的路程为，
∴小红的速度为：；
小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况：
①当，解得，
②当，解得，
∴小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法求出的解析式即可；
（2）根据图象分别得出小红和小明的速度，根据出发后分小红在前和小明在前两种情况讨论，分别列关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：由图可知点，，，
设的解析式为，
则，
解得，
所以，，
所以，小红离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为，
所以小红的速度为：；
小明出发2小时离开甲地的路程为，
所以小红的速度为：；
小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况：
①当，解得，
②当，解得，
所以小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或．
22．【答案】（1）证明：∵点P在的平分线上，，
∴，
∴．
在△ABC和△ACP中
∴（SAS）．
∴，
∴，
即是等腰三角形．
（2）解：小华所作的△APC一定是等腰三角形，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
在Rt△PEB和Rt△PFC1中
∴（HL），
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∴小华所作的△APC一定是等腰三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，结合图形用边角边可证，由全等三角形的性质并结合等腰三角形的定义即可判断求解；
（2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，根据HL定理可得，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形．
（1）证明：因为点P在的平分线上，，
所以，
所以．
因为，，，
所以．
所以，
所以，
即是等腰三角形．
（2）解：小华的作法没有问题，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
因为，
所以，
所以，
由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因为，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因此，小华的作法没有问题．
23．【答案】（1）解：点的“纵横差”为；；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴时，的最大值是，
∴函数的“纵横极差”为．
（3）解：∵函数的“纵横极差”为4，
∴当时，的最大值为4；
①若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：．
②若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：（舍去）．
综上可得，或.
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据“纵横差”的定义即可求解；
（2）根据“纵横极差”的定义即可求解；
（3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况：①若h＜-1，②若-1≤h≤3，③h＞3时，根据二次函数的图象和性质即可求解．
（1）解：点的“纵横差”为，
（2）解：因为，
所以，，
因为，
所以时，的最大值是，
所以，函数的“纵横极差”为．
（3）解：因为函数的“纵横极差”为4，
所以，当时，的最大值为4．
①若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得．
②若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得（舍去）．
综上所述，或
24．【答案】（1）解：∵为直径，C是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．延长交于点H，连结，
∵，，
∴，
∴．
在△AOH和△BOF中
∴（ASA），
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，．
（3）解：∵C是的中点，
∴．
∵，
∴，.
在△AOP和△COG中
∴（ASA），
∴，
∴
设为，则．
过F作于点H，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以，圆半径为9．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据中点的定义得，可得，再根据直角三角形两锐角互余可求解；
（2）延长交于点H，由题意用角边角可证，可得，，再连结BD，可说明，进而得出，根据等腰三角形的性质可求解；
（3）结合题意得，同理可证，可得，然后设为x，则，作，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得，可得，，，再根据平行线的性质得，结合比例式可得关于x的方程，解方程即可求解.
（1）解：∵为直径，C是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．
延长交于点H，
∵，，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴，．
连结，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，．
（3）解：∵C是的中点，
∴．
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴
设为，则．
过F作于点H，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以，圆半径为9．
1 / 1浙江省杭州市开元中学2024-2025学年九年级下学期期中数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025九下·杭州期中）魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若元表示收入5元，则支出7元可记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若元表示收入5元，则支出7元可记作元；
故答案为：A．
【分析】由于正负数可以表示一对相反意义的量，故弄清楚了正数所表示收入，则可知道负数就该表示支出.
2．（2025九下·杭州期中）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：几何体的主视图为：
故答案为：A．
【分析】主视图是从前往后看，得到的正投影，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，此题中几何体的主视图应该是一个矩形上面一个等腰梯形，且等腰梯形与矩形的公共边处不存在轮廓线.
3．（2025九下·杭州期中）按照国家统计局的数据，2024年中国生产芯片在4300亿颗以上，数据4300亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得，
．
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿颗化为颗，然后根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”即可求解.
4．（2025九下·杭州期中）计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，
∴此选项不符合题意；
Ｂ、∵，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
∴此选项符合题意；
D、∵，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算即可判断求解．
5．（2025九下·杭州期中）小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
∴OB：OD=OA：OC，
，
，
，
，
，
，解得：，
故答案为：B．
【分析】先证明，再列出比例式，可求得的长度．
6．（2025九下·杭州期中）与式子的值最接近的整数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，即，
，
式子的值最接近的整数是5．
故选：C．
【分析】本题主要考查无理数的估算和二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键。首先对原式进行化简，得到的形式。根据已知条件，即可求出最终结果。
7．（2025九下·杭州期中）如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】如图，作，将绕点D顺时针旋转至
则，，
，
，
∴正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为．
故选：A
【分析】本题考查旋转的性质和网格当中的旋转作图．作，将绕点D顺时针旋转至，利用旋转的性质可得：，，利用线段的运算可求出，进而可求出B'的坐标，利用旋转的性质可求出B点的坐标．
8．（2025九下·杭州期中）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接、，
∵过的中点C作交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接、，由圆的性质可得，根据等边三角形的各角都相等可得，再Rt△OCD中，用勾股定理求得，然后根据阴影部分面积的构成计算即可求解．
9．（2025九下·杭州期中）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；求特殊角的三角函数值；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．
∵ME⊥AB，，
∴是直角三角形，，，，
∵，
∴，．
又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
则y与x的函数关系图象是开口向上的二次函数，且过点．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形性质及垂直的定义可得△BDE是直角三角形，且∠BDE=30°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2X，则CD=2-2x；由等角的余角相等得∠BDE=∠CDF=30°，再结合等边三角形性质及三角形内角和定理可推出△DFC是直角三角形，由含30°角直角三角形的性质得CF=1-x，利用∠CDF的余弦函数及特殊锐角三角函数值可表示出DF，然后根据三角形面积计算公式建立出y关于x的函数关系式，进而根据二次函数的图象与系数的关系即可判断得出答案.
10．（2025九下·杭州期中）如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知，，则的长为(　　)
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
∴，
∵于F，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴=，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、垂径定理以及折叠性质等知识点，解题关键在于正确添加辅助线。
连接并延长交于点H，连接，过点O作于点F，延长交于点G，连接。根据直径所对的圆周角为直角可得。通过解直角三角形求得，再运用勾股定理计算得到。根据垂径定理可知。由折叠性质可得，最后利用勾股定理完成求解。
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·杭州期中）分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ．
故答案为： ．
【分析】利用提公因式法分解因式即可．
12．（2025九下·杭州期中）一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随机摸出的一个球是黑球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，布袋里共有个球，其中黑球有2个，
则随机摸出的一个球是黑球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比计算即可求解．
13．（2025九下·杭州期中）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式即可求解．
14．（2025九下·杭州期中）如图，正五边形内接于，连接，则　 　．
【答案】36
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正n边形每一个内角的度数为“”求出，根据正n变形中心角度数为“”可以求出，代入计算即可求解.
15．（2025九下·杭州期中）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：设点A的坐标为∶，，
∵轴，
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数，
∴，
解得：，
∴点，
∴，
∵点C在x轴上，轴，
∴边上的高为∶，
∵的面积是2，
即，
化简得：，
解得：，
故答案为：3．
【分析】设点A的坐标为∶，，根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可将点B的坐标用含a、k的代数式表示出来，再根据三角形ABC的面积可得关于k的方程，解方程即可求解．
16．（2025九下·杭州期中）如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 由翻折得：，
∵平行四边形
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由翻折的性质可得：，，用勾股定理求得BG的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出FG的值，由线段的和差求出B F的值，由于，，则，同理可得，然后根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题8分，第22、23小题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025九下·杭州期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质“”、a0=1(a≠0)、及绝对值的代数意义分别化简，进而计算二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
18．（2025九下·杭州期中）解不等式组：．
【答案】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法。解题步骤如下：① 分别求出每个不等式的解集；
②利用不等式组的解集确定规则（"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解"）求出公共解集。
19．（2025九下·杭州期中）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可）
【答案】（1）85，87，七
（2）解：（人），
答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人．
（3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一）
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数．
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七．
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（2）用样本估计总体，即分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小“方差越小，成绩越稳定”直接比较即可判断求解．
（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数．
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七．
（2）解：（人），
答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人．
（3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一）
20．（2025九下·杭州期中）如图，在中，，是边上的中线，于点E，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
答：
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得=AB，由等边对等角可得，然后根据锐角三角函数，即可求解；（2）用勾股定理求出，再根据等面积法求出，然后根据正弦的定义sin∠CDB=即可求解．
（1）解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
21．（2025九下·杭州期中）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（2）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距．
【答案】（1）解：由图可知点，，，
设的解析式为，
则，
解得：，
∴，
∴小红离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为，
∴小红的速度为：；
小明出发2小时离开甲地的路程为，
∴小红的速度为：；
小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况：
①当，解得，
②当，解得，
∴小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法求出的解析式即可；
（2）根据图象分别得出小红和小明的速度，根据出发后分小红在前和小明在前两种情况讨论，分别列关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：由图可知点，，，
设的解析式为，
则，
解得，
所以，，
所以，小红离开甲地的路程与时间的函数表达式；
（2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为，
所以小红的速度为：；
小明出发2小时离开甲地的路程为，
所以小红的速度为：；
小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况：
①当，解得，
②当，解得，
所以小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或．
22．（2025九下·杭州期中）如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形．
小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小明：小华，你的作法有问题．
小华：真的吗？让我们仔细想一想．
（1）证明：小明所作的是等腰三角形；
（2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例．
【答案】（1）证明：∵点P在的平分线上，，
∴，
∴．
在△ABC和△ACP中
∴（SAS）．
∴，
∴，
即是等腰三角形．
（2）解：小华所作的△APC一定是等腰三角形，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
在Rt△PEB和Rt△PFC1中
∴（HL），
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∴小华所作的△APC一定是等腰三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，结合图形用边角边可证，由全等三角形的性质并结合等腰三角形的定义即可判断求解；
（2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，根据HL定理可得，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形．
（1）证明：因为点P在的平分线上，，
所以，
所以．
因为，，，
所以．
所以，
所以，
即是等腰三角形．
（2）解：小华的作法没有问题，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
因为，
所以，
所以，
由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因为，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因此，小华的作法没有问题．
23．（2025九下·杭州期中）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
【答案】（1）解：点的“纵横差”为；；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴时，的最大值是，
∴函数的“纵横极差”为．
（3）解：∵函数的“纵横极差”为4，
∴当时，的最大值为4；
①若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：．
②若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：（舍去）．
综上可得，或.
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据“纵横差”的定义即可求解；
（2）根据“纵横极差”的定义即可求解；
（3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况：①若h＜-1，②若-1≤h≤3，③h＞3时，根据二次函数的图象和性质即可求解．
（1）解：点的“纵横差”为，
（2）解：因为，
所以，，
因为，
所以时，的最大值是，
所以，函数的“纵横极差”为．
（3）解：因为函数的“纵横极差”为4，
所以，当时，的最大值为4．
①若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得．
②若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得（舍去）．
综上所述，或
24．（2025九下·杭州期中）如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结．
（1）求的度数；
（2）如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由；
（3）如图3，连结交于点P，若，，求圆半径．
【答案】（1）解：∵为直径，C是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．延长交于点H，连结，
∵，，
∴，
∴．
在△AOH和△BOF中
∴（ASA），
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，．
（3）解：∵C是的中点，
∴．
∵，
∴，.
在△AOP和△COG中
∴（ASA），
∴，
∴
设为，则．
过F作于点H，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以，圆半径为9．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据中点的定义得，可得，再根据直角三角形两锐角互余可求解；
（2）延长交于点H，由题意用角边角可证，可得，，再连结BD，可说明，进而得出，根据等腰三角形的性质可求解；
（3）结合题意得，同理可证，可得，然后设为x，则，作，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得，可得，，，再根据平行线的性质得，结合比例式可得关于x的方程，解方程即可求解.
（1）解：∵为直径，C是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．
延长交于点H，
∵，，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴，．
连结，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，．
（3）解：∵C是的中点，
∴．
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴
设为，则．
过F作于点H，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以，圆半径为9．
1 / 1

展开更多......

收起↑