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广东省/湛江市六校联考2024-2025学年九年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·湛江期中）的绝对值是（　　）.
A． B． C．-3 D．
2．（2025九下·湛江期中）以下四个代表不同运动项目的图标：艺术体操、游泳、羽毛球和乒乓球．请找出符合轴对称的图标（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·湛江期中）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·湛江期中）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·湛江期中）如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·湛江期中）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·湛江期中）一个不等式组的解集在数轴上的表示如下图，则这个不等式组的解集是
A．x<3 B．x≥－1 C．－18．（2025九下·湛江期中）如图，已知AB//CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠C=80°，则∠D的度数是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（2025九下·湛江期中）已知抛物线的大致图像如图所示，那么不等式的解为（　　）
A．或 B．
C． D．
10．（2025九下·湛江期中）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（　　）．
A． B．12π C． D．24π
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·湛江期中）比较大小：　 　1．（填“<”“=”或“>”）
12．（2025九下·湛江期中）要使二次根式有意义，实数的取值范围是　 　
13．（2025九下·湛江期中）已知a、b是方程的两个实数根，则代数式的值等于　 　．
14．（2025九下·湛江期中）如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则　 　．
15．（2025九下·湛江期中）如图，在五边形中，，，，，，点和点分别为边上的动点，，连接，当面积取得最小值时，的长为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025九下·湛江期中）计算：．
17．（2025九下·湛江期中）先化简，再求值：(，其中
18．（2025九下·湛江期中）如图，点A，B在上，且，直线与相切．
（1）尺规作图：过点B作于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）请判断四边形的形状，并说明理由．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025九下·湛江期中）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示．
【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．
【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
20．（2025九下·湛江期中）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）______，E所对应的扇形圆心角是______；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”，这皮同学有多少人？；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
21．（2025九下·湛江期中）项目主题：设计客厅窗户的遮阳篷
项目背景：小明家客厅的窗户朝南，窗户的高度米，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
（1）如图，小明设计了一个直角形遮阳篷 ，点在 的延长线上，且，同时他观察发现此地正午时刻太阳光与地面的最小夹角，最大夹角，请你为小明家的窗户设计一个直角形遮阳篷，同时满足下面两个条件：
①为拥有冬天温暖的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好射入室内；太阳光与平行
②为遮挡夏天炎热的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好不射入室内．太阳光与平行
请求出直角形遮阳篷中的长．
方案2：抛物线形遮阳篷
（2）如图， 若 米，米，为了美观及实用性，小明决定设计抛物线形可伸缩的遮阳篷，其中点为抛物线的顶点，且，点 可沿着抛物线收缩至点．若某时刻太阳光与水平地面夹角，为使阳光最大限度地射入室内，求点上升高度的最小值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025九下·湛江期中）【问题探究】
下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究．
（1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________．
③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
【问题解决】
（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，）
23．（2025九下·湛江期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，．
（1）求拋物线的解析式；
（2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值．
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形元素分布不对称，找不到能使两侧完全重合的直线，A不是轴对称图形。B、沿斜向直线对折后，两侧的图案能够完全重合，B是轴对称图形。
C、球拍和球的位置不对称，找不到符合条件的对称轴，C不是轴对称图形。
D、图形元素分布无对称性，D不是轴对称图形。
故答案为：D。
【分析】根据轴对称图形 “沿某条直线对折后直线两侧的部分能完全重合” 的定义，逐一判断四个图标，找出符合条件的图形。
3．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A选项：，故A选项错误；
B选项：，故B选项错误；
C选项：3a与2b不是同类项，不能合并，故C选项错误；
D选项： ，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则逐项判断，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角，
∴．
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线解析式 符合顶点式 的形式。
将 改写为 ，可得 ，。
根据顶点式的性质，顶点坐标为 ，即 。
故答案为：B。
【分析】根据二次函数顶点式 y=a(x h)2+k 的性质，将给定解析式转化为标准形式，直接提取顶点坐标 (h，k) 并匹配选项。
7．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：数轴上-1处为实心点，说明解集包含-1，即 。
数轴上3处为空心点，说明解集不包含3，即 。
将两个边界条件合并，得到不等式组的解集为 。
故答案为：D。
【分析】根据数轴上 “实心点含等号、空心点不含等号” 的规则，分别读取左右边界，再合并得到不等式组的解集。
8．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：已知 AB∥CD，∠C = 80°，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得∠BEC = 180° - ∠C = 180° - 80° = 100°。
因为 DE 平分∠BEC，根据角平分线的定义，可得∠BED =∠BEC =× 100° = 50°。
已知 AB∥CD，根据 “两直线平行，内错角相等”，可得∠D = ∠BED = 50°。
综上，∠D 的度数是 50°，
故答案为：C。
【分析】先利用平行线 “同旁内角互补” 求出∠BEC，再由角平分线定义得到∠BED，最后根据 “内错角相等” 得出∠D 的度数。
9．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：不等式 的解集，就是抛物线 上所有位于x轴下方的点所对应的x的取值范围。
从图中可以看到，抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，且在这两个点之间的图像位于x轴下方。
因此，当 时，函数值 ，即不等式 成立。
故答案为：C。
【分析】根据二次函数与不等式的关系，找到抛物线在 x 轴下方的部分，直接读取对应的自变量取值范围，即为不等式 ax2+bx+c<0 的解集。
10．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，底面直径为4，母线长为6，
∴这个几何体的侧面积为：．
故选：B．
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出，再通过比较与1的大小，得出的结论。
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于 0，列出不等式 x 3≥0 并求解，得到 x 的取值范围。
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=-1，
∴4-1=3.
故答案为3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和 a+b 与两根之积 ab，再整体代入代数式 a+b+ab 计算结果。
14．【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，
则OP=，OD=2，OE=，
∴PD==，PE==2，
∴点P（2，），
∴k=2×=3，
故答案为：3．
【分析】根据圆周角定理可得AB是⊙P的直径，根据两点间距离可得OA=4，OB=3，AB=5，连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，则OP=，OD=2，OE=，根据勾股定理可得PD，PE，再根据点的坐标可得点P（2，），再根据待定系数法将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于点P，延长至点Q，连接，使得，
∵，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当取最小值，的面积取得最小值，
∴取最小值时，的面积取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，面积的最小值为，
此时，，即，
解得：，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交的延长线于点P，延长至点Q，连接，使得， 利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可证明四边形是矩形，再证明∠FDQ=∠DEP利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可得到，设，可表示出FQ，DF的长利用相似三角形的性质可表示出DE的长；根据，求出当取最小值，即取最小值时，的面积取得最小值，可得到x的值，再求出CF、DF、DE、FQ的长从而可求出DQ的长，然后利用相似三角形的性质求出，即可得到AE的长.
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先分别计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再将各项结果代入原式，通过化简合并得到最终结果。
17．【答案】解：原式===，
当a=1+时，
=.
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则化简原式为，再将代入化简后的式子，通过分母有理化求出最终结果。
18．【答案】（1）解：如图，线段为所求；
（2）解：四边形为菱形．
理由：如图，连接．
直线与相切，
，
．
，垂足为D，
，
，
．
，
．
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
．
，
四边形为菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；切线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧交于一点，过点B和这点作直线即可；
（2）连接，根据切线性质可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）解：如图，线段为所求；
（2）解：四边形为菱形．
理由：如图，连接．
直线与相切，
，
．
，垂足为D，
，
，
．
，
．
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
．
，
四边形为菱形．
19．【答案】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：，
解得：；
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：
，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，
则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b、均为正整数，
∴，
∴；
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：根据两种购买组合的总价列出二元一次方程组，解得 A 款单价 10 元、B 款单价 12 元；
任务 2：列出总花费的二元一次方程，找出所有正整数解，得到 3 种购买方案；
任务 3：通过设 A 款不加料的杯数为a，表示出其他杯数，列出总花费方程并求出正整数解，得到 B 款加料的奶茶买了 11 杯。
20．【答案】（1）50，72
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
【分析】（1）先用B组人数除以占比求出问卷调查的总人数，再用360°乘以E组占比求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800乘以D类占比解答即可；
（3）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式进行计算即可．
（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
21．【答案】（1）解：依题意，，，∴
∴
在中，
（2）如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，
由F为抛物线顶点，可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由二次函数对称性可知，
设二次函数为：，代入得：，
解得，
∴关于的关系式为：；
依题意，光线与水平方向的夹角为，过作轴的垂线交轴于点，过作轴的垂线，两条垂线交于点．
∴
∴
设，则
代入得，
解得：
∴
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先利用平行线性质和等腰三角形判定求出 BD=2，再在 Rt△BCD 中用三角函数求出 CD 的长；
（2）先建立坐标系求出抛物线解析式，再根据tan45 =1设点坐标并代入抛物线方程，最后通过计算纵坐标差得到点 D 上升高度的最小值。
（1）解：依题意，，，
∴
∴
在中，
（2）如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，
由F为抛物线顶点，可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由二次函数对称性可知，
设二次函数为：，代入得：，
解得，
∴关于的关系式为：；
依题意，光线与水平方向的夹角为，过作轴的垂线交轴于点，过作轴的垂线，两条垂线交于点．
∴
∴
设，则
代入得，
解得：
∴
22．【答案】解：（1）能；；不能；
（2）如图，过点作轴于点，
第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
把代入，可得，
解得，
反比例函数的解析式为，
设直线与的交点为，则，
过点作轴于点，
则，
，
，
根据（1）中可得与轴的夹角为，
故可设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
令，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
，
，
要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道，
当时，线段能通过直角弯道，
故答案为：能；
②如图，过点作，交于点，
，
，
线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，
，
，
，
，
由题意可得，
，
当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，
，
，
故答案为：；
③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道，
故答案为：不能；
【分析】（1）先利用直角三角形斜边中线性质判断线段能否通过弯道，再通过全等三角形证明求出角度；
（2）先根据角平分线和反比例函数求出解析式与关键点坐标，再联立直线与反比例函数方程求出交点，最后通过距离公式计算并确定 b 的最大整数值。
23．【答案】（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当时，，即，
设的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，
则，
在中，当时，，即，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时，即，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得。
（3）解：，设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿射线方向平移，
∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后的拋物线经过点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，
∵为平移后抛物线上一点，
∴，即，
设点的坐标为，
∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的，
∴点为、、的中点，
∴，，，
∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上，
∴当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法代入两点坐标求出抛物线解析式；
（2）先求直线BD解析式，再通过构造相似三角形将转化为二次函数求最值，最后利用三角形三边关系求出的最大值；
（3）先求平移后抛物线解析式，再根据旋转性质用参数表示点、、的坐标，最后分三种情况讨论并求解，得到点的坐标。
（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当时，，即，
设的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，
则，
在中，当时，，即，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时，即，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得
（3）解：，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿射线方向平移，
∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后的拋物线经过点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，
∵为平移后抛物线上一点，
∴，即，
设点的坐标为，
∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的，
∴点为、、的中点，
∴，，，
∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上，
∴当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
综上所述，点的坐标为或．
1 / 1广东省/湛江市六校联考2024-2025学年九年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·湛江期中）的绝对值是（　　）.
A． B． C．-3 D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.
2．（2025九下·湛江期中）以下四个代表不同运动项目的图标：艺术体操、游泳、羽毛球和乒乓球．请找出符合轴对称的图标（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形元素分布不对称，找不到能使两侧完全重合的直线，A不是轴对称图形。B、沿斜向直线对折后，两侧的图案能够完全重合，B是轴对称图形。
C、球拍和球的位置不对称，找不到符合条件的对称轴，C不是轴对称图形。
D、图形元素分布无对称性，D不是轴对称图形。
故答案为：D。
【分析】根据轴对称图形 “沿某条直线对折后直线两侧的部分能完全重合” 的定义，逐一判断四个图标，找出符合条件的图形。
3．（2025九下·湛江期中）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A选项：，故A选项错误；
B选项：，故B选项错误；
C选项：3a与2b不是同类项，不能合并，故C选项错误；
D选项： ，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则逐项判断，即可得到答案.
4．（2025九下·湛江期中）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数.
5．（2025九下·湛江期中）如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角，
∴．
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
6．（2025九下·湛江期中）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线解析式 符合顶点式 的形式。
将 改写为 ，可得 ，。
根据顶点式的性质，顶点坐标为 ，即 。
故答案为：B。
【分析】根据二次函数顶点式 y=a(x h)2+k 的性质，将给定解析式转化为标准形式，直接提取顶点坐标 (h，k) 并匹配选项。
7．（2025九下·湛江期中）一个不等式组的解集在数轴上的表示如下图，则这个不等式组的解集是
A．x<3 B．x≥－1 C．－1【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：数轴上-1处为实心点，说明解集包含-1，即 。
数轴上3处为空心点，说明解集不包含3，即 。
将两个边界条件合并，得到不等式组的解集为 。
故答案为：D。
【分析】根据数轴上 “实心点含等号、空心点不含等号” 的规则，分别读取左右边界，再合并得到不等式组的解集。
8．（2025九下·湛江期中）如图，已知AB//CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠C=80°，则∠D的度数是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：已知 AB∥CD，∠C = 80°，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得∠BEC = 180° - ∠C = 180° - 80° = 100°。
因为 DE 平分∠BEC，根据角平分线的定义，可得∠BED =∠BEC =× 100° = 50°。
已知 AB∥CD，根据 “两直线平行，内错角相等”，可得∠D = ∠BED = 50°。
综上，∠D 的度数是 50°，
故答案为：C。
【分析】先利用平行线 “同旁内角互补” 求出∠BEC，再由角平分线定义得到∠BED，最后根据 “内错角相等” 得出∠D 的度数。
9．（2025九下·湛江期中）已知抛物线的大致图像如图所示，那么不等式的解为（　　）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：不等式 的解集，就是抛物线 上所有位于x轴下方的点所对应的x的取值范围。
从图中可以看到，抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，且在这两个点之间的图像位于x轴下方。
因此，当 时，函数值 ，即不等式 成立。
故答案为：C。
【分析】根据二次函数与不等式的关系，找到抛物线在 x 轴下方的部分，直接读取对应的自变量取值范围，即为不等式 ax2+bx+c<0 的解集。
10．（2025九下·湛江期中）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（　　）．
A． B．12π C． D．24π
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，底面直径为4，母线长为6，
∴这个几何体的侧面积为：．
故选：B．
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·湛江期中）比较大小：　 　1．（填“<”“=”或“>”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出，再通过比较与1的大小，得出的结论。
12．（2025九下·湛江期中）要使二次根式有意义，实数的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于 0，列出不等式 x 3≥0 并求解，得到 x 的取值范围。
13．（2025九下·湛江期中）已知a、b是方程的两个实数根，则代数式的值等于　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=-1，
∴4-1=3.
故答案为3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和 a+b 与两根之积 ab，再整体代入代数式 a+b+ab 计算结果。
14．（2025九下·湛江期中）如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则　 　．
【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，
则OP=，OD=2，OE=，
∴PD==，PE==2，
∴点P（2，），
∴k=2×=3，
故答案为：3．
【分析】根据圆周角定理可得AB是⊙P的直径，根据两点间距离可得OA=4，OB=3，AB=5，连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，则OP=，OD=2，OE=，根据勾股定理可得PD，PE，再根据点的坐标可得点P（2，），再根据待定系数法将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
15．（2025九下·湛江期中）如图，在五边形中，，，，，，点和点分别为边上的动点，，连接，当面积取得最小值时，的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于点P，延长至点Q，连接，使得，
∵，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当取最小值，的面积取得最小值，
∴取最小值时，的面积取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，面积的最小值为，
此时，，即，
解得：，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交的延长线于点P，延长至点Q，连接，使得， 利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可证明四边形是矩形，再证明∠FDQ=∠DEP利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可得到，设，可表示出FQ，DF的长利用相似三角形的性质可表示出DE的长；根据，求出当取最小值，即取最小值时，的面积取得最小值，可得到x的值，再求出CF、DF、DE、FQ的长从而可求出DQ的长，然后利用相似三角形的性质求出，即可得到AE的长.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025九下·湛江期中）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先分别计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再将各项结果代入原式，通过化简合并得到最终结果。
17．（2025九下·湛江期中）先化简，再求值：(，其中
【答案】解：原式===，
当a=1+时，
=.
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则化简原式为，再将代入化简后的式子，通过分母有理化求出最终结果。
18．（2025九下·湛江期中）如图，点A，B在上，且，直线与相切．
（1）尺规作图：过点B作于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，线段为所求；
（2）解：四边形为菱形．
理由：如图，连接．
直线与相切，
，
．
，垂足为D，
，
，
．
，
．
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
．
，
四边形为菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；切线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧交于一点，过点B和这点作直线即可；
（2）连接，根据切线性质可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）解：如图，线段为所求；
（2）解：四边形为菱形．
理由：如图，连接．
直线与相切，
，
．
，垂足为D，
，
，
．
，
．
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
．
，
四边形为菱形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025九下·湛江期中）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示．
【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．
【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：，
解得：；
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：
，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，
则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b、均为正整数，
∴，
∴；
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：根据两种购买组合的总价列出二元一次方程组，解得 A 款单价 10 元、B 款单价 12 元；
任务 2：列出总花费的二元一次方程，找出所有正整数解，得到 3 种购买方案；
任务 3：通过设 A 款不加料的杯数为a，表示出其他杯数，列出总花费方程并求出正整数解，得到 B 款加料的奶茶买了 11 杯。
20．（2025九下·湛江期中）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）______，E所对应的扇形圆心角是______；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”，这皮同学有多少人？；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】（1）50，72
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
【分析】（1）先用B组人数除以占比求出问卷调查的总人数，再用360°乘以E组占比求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800乘以D类占比解答即可；
（3）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式进行计算即可．
（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
21．（2025九下·湛江期中）项目主题：设计客厅窗户的遮阳篷
项目背景：小明家客厅的窗户朝南，窗户的高度米，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
（1）如图，小明设计了一个直角形遮阳篷 ，点在 的延长线上，且，同时他观察发现此地正午时刻太阳光与地面的最小夹角，最大夹角，请你为小明家的窗户设计一个直角形遮阳篷，同时满足下面两个条件：
①为拥有冬天温暖的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好射入室内；太阳光与平行
②为遮挡夏天炎热的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好不射入室内．太阳光与平行
请求出直角形遮阳篷中的长．
方案2：抛物线形遮阳篷
（2）如图， 若 米，米，为了美观及实用性，小明决定设计抛物线形可伸缩的遮阳篷，其中点为抛物线的顶点，且，点 可沿着抛物线收缩至点．若某时刻太阳光与水平地面夹角，为使阳光最大限度地射入室内，求点上升高度的最小值．
【答案】（1）解：依题意，，，∴
∴
在中，
（2）如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，
由F为抛物线顶点，可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由二次函数对称性可知，
设二次函数为：，代入得：，
解得，
∴关于的关系式为：；
依题意，光线与水平方向的夹角为，过作轴的垂线交轴于点，过作轴的垂线，两条垂线交于点．
∴
∴
设，则
代入得，
解得：
∴
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先利用平行线性质和等腰三角形判定求出 BD=2，再在 Rt△BCD 中用三角函数求出 CD 的长；
（2）先建立坐标系求出抛物线解析式，再根据tan45 =1设点坐标并代入抛物线方程，最后通过计算纵坐标差得到点 D 上升高度的最小值。
（1）解：依题意，，，
∴
∴
在中，
（2）如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，
由F为抛物线顶点，可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由二次函数对称性可知，
设二次函数为：，代入得：，
解得，
∴关于的关系式为：；
依题意，光线与水平方向的夹角为，过作轴的垂线交轴于点，过作轴的垂线，两条垂线交于点．
∴
∴
设，则
代入得，
解得：
∴
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025九下·湛江期中）【问题探究】
下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究．
（1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________．
③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
【问题解决】
（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，）
【答案】解：（1）能；；不能；
（2）如图，过点作轴于点，
第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
把代入，可得，
解得，
反比例函数的解析式为，
设直线与的交点为，则，
过点作轴于点，
则，
，
，
根据（1）中可得与轴的夹角为，
故可设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
令，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
，
，
要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道，
当时，线段能通过直角弯道，
故答案为：能；
②如图，过点作，交于点，
，
，
线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，
，
，
，
，
由题意可得，
，
当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，
，
，
故答案为：；
③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道，
故答案为：不能；
【分析】（1）先利用直角三角形斜边中线性质判断线段能否通过弯道，再通过全等三角形证明求出角度；
（2）先根据角平分线和反比例函数求出解析式与关键点坐标，再联立直线与反比例函数方程求出交点，最后通过距离公式计算并确定 b 的最大整数值。
23．（2025九下·湛江期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，．
（1）求拋物线的解析式；
（2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值．
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标．
【答案】（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当时，，即，
设的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，
则，
在中，当时，，即，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时，即，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得。
（3）解：，设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿射线方向平移，
∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后的拋物线经过点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，
∵为平移后抛物线上一点，
∴，即，
设点的坐标为，
∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的，
∴点为、、的中点，
∴，，，
∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上，
∴当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法代入两点坐标求出抛物线解析式；
（2）先求直线BD解析式，再通过构造相似三角形将转化为二次函数求最值，最后利用三角形三边关系求出的最大值；
（3）先求平移后抛物线解析式，再根据旋转性质用参数表示点、、的坐标，最后分三种情况讨论并求解，得到点的坐标。
（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当时，，即，
设的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，
则，
在中，当时，，即，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时，即，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得
（3）解：，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿射线方向平移，
∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后的拋物线经过点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，
∵为平移后抛物线上一点，
∴，即，
设点的坐标为，
∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的，
∴点为、、的中点，
∴，，，
∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上，
∴当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
综上所述，点的坐标为或．
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