资源简介

(共28张PPT)
人教版八年级数学（2024）
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
20.1.1 勾股定理
1. 理解勾股定理的内容，能说出勾股定理的文字语言和符号语言.
2. 能运用勾股定理进行简单的计算，解决直角三角形中已知两边求第三边的问题.
3.能在实际情境中抽象出直角三角形模型，提升数学应用意识和建模能力，体会“数与形”的转化思想.
4.通过《周髀算经》、赵爽弦图等历史素材的学习，感受中国古代数学的智慧，增强文化自信，激发对数学探究的兴趣和严谨治学的态度.
学习目标
同学们，在我国最古老的数学典籍《周髀算经》里，记载了三千多年前一段非常有名的对话.
3
4
5
A
B
C
问题1： 直角三角形作为一种特殊的三角形，它有什么性质呢？
① 有一个直角，∠C = 90°.
② 两个角互余，∠A + ∠B = 90°.
问题2： 对于直角三角形的三条边，
它们之间有什么特殊关系呢
商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.
从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系
3
4
5
16
9
25
如图，每个小方格面积为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？ A3，B3，C3呢？
探究
A1
B1
C1
A2
B2
C2
A3
B3
C3
A1
B1
C1
A2
B2
C2
A3
B3
C3
SA1= ，SB1= ，SC1= ，
面积之间的关系： .
1
4
C的面积如何计算？
方法一：
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
方法二：
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
C
新知探究
A1
B1
C1
A2
B2
C2
A3
B3
C3
SA1= ，SB1= ，SC1= ，
面积之间的关系： .
1
4
5
SA1+ SB1 = SC1
A1
B1
C1
A2
B2
C2
A3
B3
C3
SA3= ，SB3= ，SC3= ，
面积之间的关系： .
9
25
34
SA3+ SB3 = SC3
A1
B1
C1
A2
B2
C2
A3
B3
C3
SA2= ，SB2= ，SC2= ，
面积之间的关系： .
4
9
13
SA2+ SB2 = SC2
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
B
C
A
a
b
c
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽(约3世纪)的证法.
观察发现：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积.
数学表达
赵爽弦图
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
B
A
c
a
b
C
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).
尝试验证：a2+b2 = c2.
如图，边长为a和b的两个正方形拼接在一起
它的面积为两个正方形面积之和
将两个正方形剪切成四个全等三角形和一个小正方形
三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c
将底下两个三角形旋转到上面去
可得到一个大正方形，边长为c
大正方形的面积为边长的平方
前后面积相等，所以可得：a2+b2=c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2
a
b
a2+b2
a
b
a2+b2
a
b
a
b
c
c2
a2+b2 = c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
这样就证明了前面的猜想.它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
勾
股
弦
公式变形：a2+b2 = c2 a2 = c2 － b2 b2 = c2 － a2
概念学习：勾股定理
在我国又称商高定理，
在外国则叫毕达哥拉斯定理，
或百牛定理.
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
B
C
A
6
8
(1)
F
E
D
17
15
(2)
解：(1) 在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2=AC2+BC2 = 82+62=100，所以AB = 10.
(2) 在Rt△DEF中，根据勾股定理，
DE2+EF2 = DF 2，从而DE2 = DF2-EF2 =172-152 =64，所以DE = 8.
例2 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
(1) 若a：b=1：2 ，c=5，求a； (2) 若b=15，∠A=30°，求a，c.
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
例3 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
B
C
A
4
3
①
B
A
C
4
3
②
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2) 已知a=5，b=12， 求c；
(3) 已知b=15，c=25，求a.
【教材第25页 练习 第1题】
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
A
B
C
D
E
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，得
SE= SM + SN，
而SM= SA+ SB， SN= SC+ SD,
∴SE = SA + SB + SC + SD = 122 + 162 + 92 + 122
= 625.
【教材第26页 练习 第2题】
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点间的距离.
1
O
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
x
y
B
A
【教材第26页 练习 第3题】
内容
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边
还是斜边时一定要分类讨论
勾股定理
在Rt△ABC中， ∠C=90°,
a,b为直角边，c为斜边，
则有a2+b2=c2.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑