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湖南省永州市新田县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确答案，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·新田期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、2是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、 属于无限不循环小数，属于无理数 ，故此选项符合题意；
D、是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2025七下·新田期中）下列运算一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂相乘的运算法则计算可判断A；根据幂的乘方运算法则计算可判断B；根据积的乘方运算法则计算可判断C；根据完全平方公式计算可判断D．
3．（2025七下·新田期中）如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∵，
∴，
∴点N表示的数可能是，
故答案为：A．
【分析】先根据数轴得到，再根据无理数的估算求解即可．
4．（2025七下·新田期中）下列说法正确的是（　　）
A．27的立方根是 B．的平方根是
C．4的算术平方根是 D．5是25的算术平方根
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、 27的立方根是3，A错误；
B、的平方根是，B错误；
C、 4的算术平方根是2，C错误；
D、 5是25的算术平方根，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据立方根的定义可判断A；根据平方根的定义可判断B；根据算术平方根的定义可判断C、D；
5．（2025七下·新田期中）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解得，
解得，
将解集表示在数轴上：
∴不等式组的解集为，
故答案为：A．
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，根据“在数轴上表示时，“＞”空心向右、“≥”实心向右”将每一个不等式的解集表示在数轴上，结合各选项即可判断求解．
6．（2025七下·新田期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
7．（2025七下·新田期中）若的计算结果中不含的二次项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵的积中不含x的二次项，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则先把原式展开，再令x的二次项为零得到一元一次方程求解即可．
8．（2025七下·新田期中）若不等式组的解集为，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2025
【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
由不等式组的解集为，
∵，
∴，，
解得，
∴
故答案为：C．
【分析】先分别化简得，，根据不等式组的解集，求出，，再代入计算求解即可.
9．（2025七下·新田期中）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
∴，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：C．
【分析】先求出大正方形的面积和三个小正方形的面积，得到系数即为所需张数，再根据多项式乘多项式展开，取系数即可．
10．（2025七下·新田期中）小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜.喜欢数学的甲同学说：“至少20元.”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元.”讨厌数学的丙同学说：“至多12元.”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格 （元）所在的范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】甲同学说：“至少20元.”，乙同学说：“至多15元.”，丙同学说：“至多12元.”而三个人都说错了，
则 ，
，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，即可得出答案.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·新田期中）2的相反数是　 　．
【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：﹣2的相反数是2．
【分析】根据相反数的定义可知．主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数.0的相反数是其本身．
12．（2025七下·新田期中）比较大小： 　 　 （填“>”、“<”或“=”）.
【答案】＜
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ＜-2，
故答案为：＜.
【分析】根据估算无理数大小的方法估算出的范围，进而根据不等式的性质得出-的大小，据此进行比较.
13．（2025七下·新田期中）计算：　 　
【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
14．（2025七下·新田期中）写出不等式的一个整数解：　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式的解集是：，
因而不等式的整数解是：任意小于5的整数．
例如：．
故答案为： .
【分析】先求出不等式的解集，再从中找出适合条件的整数即可．
15．（2025七下·新田期中）化简： 　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解： .
【分析】先将第一项利用平方差公式展开，再合并同类项即可得到结果.
16．（2025七下·新田期中）已知，，则的值为　 　．
【答案】72
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
17．（2025七下·新田期中）已知，，则　 　．
【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案为：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
18．（2025七下·新田期中）已知整数，，满足不等式，则　 　．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵整数，，满足不等式，
∴，
即，
即．
显然，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为：2．
【分析】先把不等式进行变形为完全平方和的形式，再根据偶次方的非负性求出a，b，c即可.
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题要求，写出证明步骤或解答过程）
19．（2025七下·新田期中）计算：．
【答案】解：原式

【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算开平方、开立方和绝对值，再进行有理数的加减计算即可．
20．（2025七下·新田期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，包括积的乘方、同底数幂乘法、多项式乘以多项式以及合并同类项，熟练掌握各运算的法则是解题的关键。
（1）先根据积的乘方法则计算各项的乘方，再按照同底数幂的乘法法则进行乘法运算，最后合并同类项，化简得出结果；
（2）先按照多项式乘以多项式的法则（用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）展开式子，然后合并同类项，得到最终的化简结果。
（1）解：
．
（2）解：
．
21．（2025七下·新田期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：，
，
=，
=，
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式把原式展开，再合并同类项化简，最后把x、y的值代入计算即可.
22．（2025七下·新田期中）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先通过去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，在数轴上表示解集时，小于向左画，大于向右画，有等实心点，无等空心圆，据此在数轴上表示出解集即可.
23．（2025七下·新田期中）解不等式组 ， 并写出它的所有整数解．
【答案】解：，解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
∴原不等式组的整数解为：
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定出不等式组的解集，最后写出其整数解即可．
24．（2025七下·新田期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购买甲种书本，得到购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
25．（2025七下·新田期中）【发现问题】
，
，
……
小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律．
【提出问题】
（1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？
（2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？
【分析问题】
请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空：
（1）①_____；②_______________；
（2）_______________=_____；……
【解决问题】
（3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明．
【答案】（1）①②10；11；11025
（2）5；6；21；3021
（3）
证明如下：
左边
，
右边，
左边=右边，
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①
故答案为：2025；
②
故答案为：10；11；11025．
（2）
故答案为：5；6；21；3021．
【分析】（1）根据题干所给规律，计算求解即可；
（2）根据题干所给规律，计算求解即可；
（3）根据题干所给规律，写出式子，再利用整式的运算法则证明即可．
26．（2025七下·新田期中）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
（1）的解集为______，的解集为______；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值．
（3）已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值．
【答案】（1）；或
（2）解：，
可得：，即，
，即，
是正整数
，2，3
（3）解：得，即
∵，即，
∴
∵为整数且≠0
∴，，
当时，，
∴，；
当时，，
∴，0；
∴，，或，，0
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
不等式的解集为，
不等式的解集为或，
故答案为：；或；
【分析】（1）根据题干的方法写出即可；
（2）先将二元一次方程组两式相加得到x+y，再根据绝对值不等式的解法进行求解即可；
（3）先将二元一次方程组两式相减得到，再根据绝对值的非负性得到，解得，从而得到，，再代入求出x值即可．
（1）解：由题目所提供的方法可得，
不等式的解集为，
不等式的解集为或，
故答案为：；或；
（2）解：，
可得：，即，
，即，
是正整数
，2，3．
（3）解：
得，即
∵，即，
∴
∵为整数且≠0
∴，，
当时，，
∴，；
当时，，
∴，0；
∴，，或，，0．
1 / 1湖南省永州市新田县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确答案，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·新田期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·新田期中）下列运算一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·新田期中）如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·新田期中）下列说法正确的是（　　）
A．27的立方根是 B．的平方根是
C．4的算术平方根是 D．5是25的算术平方根
5．（2025七下·新田期中）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·新田期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．（2025七下·新田期中）若的计算结果中不含的二次项，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·新田期中）若不等式组的解集为，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2025
9．（2025七下·新田期中）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2025七下·新田期中）小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜.喜欢数学的甲同学说：“至少20元.”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元.”讨厌数学的丙同学说：“至多12元.”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格 （元）所在的范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·新田期中）2的相反数是　 　．
12．（2025七下·新田期中）比较大小： 　 　 （填“>”、“<”或“=”）.
13．（2025七下·新田期中）计算：　 　
14．（2025七下·新田期中）写出不等式的一个整数解：　 　．
15．（2025七下·新田期中）化简： 　 　．
16．（2025七下·新田期中）已知，，则的值为　 　．
17．（2025七下·新田期中）已知，，则　 　．
18．（2025七下·新田期中）已知整数，，满足不等式，则　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题要求，写出证明步骤或解答过程）
19．（2025七下·新田期中）计算：．
20．（2025七下·新田期中）计算：
（1）．
（2）．
21．（2025七下·新田期中）先化简，再求值：，其中，．
22．（2025七下·新田期中）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
23．（2025七下·新田期中）解不等式组 ， 并写出它的所有整数解．
24．（2025七下·新田期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
25．（2025七下·新田期中）【发现问题】
，
，
……
小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律．
【提出问题】
（1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？
（2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？
【分析问题】
请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空：
（1）①_____；②_______________；
（2）_______________=_____；……
【解决问题】
（3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明．
26．（2025七下·新田期中）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
（1）的解集为______，的解集为______；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值．
（3）已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、2是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、 属于无限不循环小数，属于无理数 ，故此选项符合题意；
D、是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂相乘的运算法则计算可判断A；根据幂的乘方运算法则计算可判断B；根据积的乘方运算法则计算可判断C；根据完全平方公式计算可判断D．
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∵，
∴，
∴点N表示的数可能是，
故答案为：A．
【分析】先根据数轴得到，再根据无理数的估算求解即可．
4．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、 27的立方根是3，A错误；
B、的平方根是，B错误；
C、 4的算术平方根是2，C错误；
D、 5是25的算术平方根，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据立方根的定义可判断A；根据平方根的定义可判断B；根据算术平方根的定义可判断C、D；
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解得，
解得，
将解集表示在数轴上：
∴不等式组的解集为，
故答案为：A．
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，根据“在数轴上表示时，“＞”空心向右、“≥”实心向右”将每一个不等式的解集表示在数轴上，结合各选项即可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵的积中不含x的二次项，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则先把原式展开，再令x的二次项为零得到一元一次方程求解即可．
8．【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
由不等式组的解集为，
∵，
∴，，
解得，
∴
故答案为：C．
【分析】先分别化简得，，根据不等式组的解集，求出，，再代入计算求解即可.
9．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
∴，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：C．
【分析】先求出大正方形的面积和三个小正方形的面积，得到系数即为所需张数，再根据多项式乘多项式展开，取系数即可．
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】甲同学说：“至少20元.”，乙同学说：“至多15元.”，丙同学说：“至多12元.”而三个人都说错了，
则 ，
，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，即可得出答案.
11．【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：﹣2的相反数是2．
【分析】根据相反数的定义可知．主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数.0的相反数是其本身．
12．【答案】＜
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ＜-2，
故答案为：＜.
【分析】根据估算无理数大小的方法估算出的范围，进而根据不等式的性质得出-的大小，据此进行比较.
13．【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式的解集是：，
因而不等式的整数解是：任意小于5的整数．
例如：．
故答案为： .
【分析】先求出不等式的解集，再从中找出适合条件的整数即可．
15．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解： .
【分析】先将第一项利用平方差公式展开，再合并同类项即可得到结果.
16．【答案】72
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
17．【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案为：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
18．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵整数，，满足不等式，
∴，
即，
即．
显然，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为：2．
【分析】先把不等式进行变形为完全平方和的形式，再根据偶次方的非负性求出a，b，c即可.
19．【答案】解：原式

【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算开平方、开立方和绝对值，再进行有理数的加减计算即可．
20．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，包括积的乘方、同底数幂乘法、多项式乘以多项式以及合并同类项，熟练掌握各运算的法则是解题的关键。
（1）先根据积的乘方法则计算各项的乘方，再按照同底数幂的乘法法则进行乘法运算，最后合并同类项，化简得出结果；
（2）先按照多项式乘以多项式的法则（用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）展开式子，然后合并同类项，得到最终的化简结果。
（1）解：
．
（2）解：
．
21．【答案】解：，
，
=，
=，
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式把原式展开，再合并同类项化简，最后把x、y的值代入计算即可.
22．【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先通过去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，在数轴上表示解集时，小于向左画，大于向右画，有等实心点，无等空心圆，据此在数轴上表示出解集即可.
23．【答案】解：，解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
∴原不等式组的整数解为：
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定出不等式组的解集，最后写出其整数解即可．
24．【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购买甲种书本，得到购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
25．【答案】（1）①②10；11；11025
（2）5；6；21；3021
（3）
证明如下：
左边
，
右边，
左边=右边，
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①
故答案为：2025；
②
故答案为：10；11；11025．
（2）
故答案为：5；6；21；3021．
【分析】（1）根据题干所给规律，计算求解即可；
（2）根据题干所给规律，计算求解即可；
（3）根据题干所给规律，写出式子，再利用整式的运算法则证明即可．
26．【答案】（1）；或
（2）解：，
可得：，即，
，即，
是正整数
，2，3
（3）解：得，即
∵，即，
∴
∵为整数且≠0
∴，，
当时，，
∴，；
当时，，
∴，0；
∴，，或，，0
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
不等式的解集为，
不等式的解集为或，
故答案为：；或；
【分析】（1）根据题干的方法写出即可；
（2）先将二元一次方程组两式相加得到x+y，再根据绝对值不等式的解法进行求解即可；
（3）先将二元一次方程组两式相减得到，再根据绝对值的非负性得到，解得，从而得到，，再代入求出x值即可．
（1）解：由题目所提供的方法可得，
不等式的解集为，
不等式的解集为或，
故答案为：；或；
（2）解：，
可得：，即，
，即，
是正整数
，2，3．
（3）解：
得，即
∵，即，
∴
∵为整数且≠0
∴，，
当时，，
∴，；
当时，，
∴，0；
∴，，或，，0．
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