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广东省东莞市虎门镇2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·东莞期中）下列式子为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·东莞期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·东莞期中）在中，，则（　　）
A．3 B．1 C．或1 D．或3
4．（2025八下·东莞期中）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直
5．（2025八下·东莞期中）如果，那么x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·东莞期中）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·东莞期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
8．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中（），对角线，相交于点，点关于的对称点为．连接交于点，连接，已知，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·东莞期中）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·东莞期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．以下结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（　　）．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·东莞期中）化简的结果是　 　．
12．（2025八下·东莞期中）在平行四边形中，，则　 　．
13．（2025八下·东莞期中）如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是　 　．
14．（2025八下·东莞期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为　 　（滑轮上方的部分忽略不计）．
15．（2025八下·东莞期中）如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为　 　．
三、解答题一（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
16．（2025八下·东莞期中）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025八下·东莞期中）已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
18．（2025八下·东莞期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段、、的长；
（2）判断的形状，并说明你的理由．
19．（2025八下·东莞期中）如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形．
四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（2025八下·东莞期中）由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量、．现计划在该空地上种植草皮．
（1）求四边形的面积；
（2）若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
21．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，与相交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求矩形的面积．
22．（2025八下·东莞期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．（2025八下·东莞期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
（1）观察以上规律，请写出第5个等式：_______________；
（2）观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）；
（3）利用上面的规律，计算；
（4）请利用上面的规律，比较与的大小．
24．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）．
（1）当点和点重合时，求线段的长；
（2）如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由；
（3）作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简二次根式，符合题意；
B：，不是最简二次根式，不符合题意；
C：=2，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，此项计算错误，故A不符合题意；
B、 与不是同类根式，不能进行加法计算，故B不符合题意；
C、，此项计算错误，故C不符合题意；
D、，此项计算正确，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
先利用分母有理化化简得到，可判定判定A；根据同类根式的定义可判定B；利用二次根式的除法法则计算，可判断C；根据二次根式的乘法法则计算得到，可判断D；逐一判断即可解答．
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，，，
由勾股定理得：，
当时，，，
由勾股定理得：，
∴或3，
故选：D．
【分析】分情况讨论：当时，当时，根据勾股定理即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形）分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
解得： ，
x的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质得到，移项即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，平分，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质即可得答案．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴点F为的中点，
∴，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点关于的对称点为，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理计算得到，再根据轴对称的性质：点关于的对称点为得到，再通过等面积法求出，再由通过勾股定理即可求解．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：可把圆柱侧面展开如图所示，
由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
，，
由勾股定理得：，
故选：C．
【分析】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点E作于点M，作于点N，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，故④正确．
∵，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，故②错误．
综上可知①③④正确．
故答案为：A．
【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形性质可得，则，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则四边形是矩形，再根据矩形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形判定定理可判断①；根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，可判断④；再根据角平分线判定定理可判断③，根据边之间的关系可判断②.
11．【答案】9
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的性质：化简即可求解．
12．【答案】
【知识点】角的运算；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，
，
解得：，
；
故答案为：．
【分析】
根据平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得到，由已知条件求出，由此解答即可．
13．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得CE，再根据平行四边形周长即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设旗杆高度为，过点C作于B，如图所示：
∴
∵在中，
∴，
解得：，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：．
【分析】设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理求出x，即可得到旗杆的高度．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵四边形是菱形，
∴， 点与点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，则的最小值为的长，
∵，
∴为等边三角形，
∵点为的中点，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】
连接，，，根据菱形的性质得到， 由点与点关于对称再根据轴对称的性质得到，根据三边关系得到当三点共线时，则的最小值为的长，然后由一个判定得到为等边三角形，最后利用勾股定理求出的长即可解答．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算； 再计算除法运算即可得解；
（2）先化简二次根式，再计算零指数幂，再计算二次根式的加减即可解答．
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）由已知条件，先求出a+b的值，然后根据完全平方公式将所求代数式分解因式，再整体代换即可求解；
（2）由已知条件，先求出a+b、a-b的值，然后根据平方差公式将所求代数式分解因式，再整体代换即可求解．
18．【答案】（1）解：由勾股定理，得：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：由勾股定理，得：；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
19．【答案】证明：∵，平分交于点，
∴，
∴为中点，
∵点为的中点，
∴为中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形的“三线合一”，得到CD=AD，从而可得为中位线，根据中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定即可求证．
20．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积
；
（2）解：在该空地上种植草皮共需（元）．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积；
（2）根据面积乘以单价即可得到答案．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积
；
（2）解：在该空地上种植草皮共需（元）．
21．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形
，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
矩形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质可证，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，解答即可；
（2）根据菱形的性质可知，由，可判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据菱形的性质可知，再根据矩形的性质可知，利用勾股定理可求，根据矩形的面积公式计算即可．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形
，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
矩形的面积为．
22．【答案】（1）解：在中，km，km，
（km），
答：监测点与监测点之间的距离为500km；
（2）解：海港受台风影响，
理由：，，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港会受到此次台风的影响，
以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，
则km时，正好影响港口，
在中，
（km），
km，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；等积变换
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据三角形面积可得CE，由题意可得海港会受到此次台风的影响，以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，则km时，正好影响港口，根据勾股定理可得ED，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：依题意，，
，
，
……
以此类推得，
；
（4）解：与（3）同理得，，
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）依题意，观察以上规律，第5个等式：，
故答案为：．
（2）依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式，
则第n个等式：，
故答案为：．
【分析】
（1）根据前4个等式得到规律：第5个等式中：每个括号里第一项都比个数多1，第二项与个数相同，左边是平方差公式，结果为1，写出等式即可作答．
（2）根据规律第个等式：每个括号里第一项都比个数多1，第二项与个数相同，左边是平方差公式，结果为1，写出等式即可作答；
（3）根据规律将各项分母有理化即可求解；
（4）先求每组二次根式的倒数得到：，再分母有理化，最后比较大小即可解答．
（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：，
故答案为：．
（2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式，
则第n个等式：，
故答案为：．
（3）解：依题意，，
，
，
……
以此类推得，
；
（4）解：与（3）同理得，，
，
，
．
24．【答案】（1）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：如图，过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）当点在上时，如图，
∵，，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：；
当点在上时，
∵点关于直线的对称点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图，
∴，，
在中，，
∴，
解得；
综上，当点恰好落在边上时，的值为或．
故答案为：或．
【分析】
（）连接，根据矩形的性质得到，再由矩形的判定得到四边形是矩形，即可求出，，再由勾股定理可得，解答即可；
（）过点作于点，根据同角的余角相等得到，由矩形的性质得到，再由矩形的性质可判定四边形是矩形从而得到，再由线段的和差运算得到EC=4，从而得到，即可证得，根据全等三角形的性质得到，根据定义可得到是等腰直角三角形，解答即可；
（）分两种情况：当点在上时，由勾股定理计算得出，表示出，，知，在中根据勾股定理建立方程得，解得；当点在上时，根据轴对称得性质得到，，再由SSS证明得到，当，重合时符合题意， 由勾股定理，建立方程得到，解得，解答即可．
（1）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：当点在上时，如图，
∵，，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：；
当点在上时，
∵点关于直线的对称点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图，
∴，，
在中，，
∴，
解得；
综上，当点恰好落在边上时，的值为或．
1 / 1广东省东莞市虎门镇2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·东莞期中）下列式子为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简二次根式，符合题意；
B：，不是最简二次根式，不符合题意；
C：=2，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·东莞期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，此项计算错误，故A不符合题意；
B、 与不是同类根式，不能进行加法计算，故B不符合题意；
C、，此项计算错误，故C不符合题意；
D、，此项计算正确，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】
先利用分母有理化化简得到，可判定判定A；根据同类根式的定义可判定B；利用二次根式的除法法则计算，可判断C；根据二次根式的乘法法则计算得到，可判断D；逐一判断即可解答．
3．（2025八下·东莞期中）在中，，则（　　）
A．3 B．1 C．或1 D．或3
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，，，
由勾股定理得：，
当时，，，
由勾股定理得：，
∴或3，
故选：D．
【分析】分情况讨论：当时，当时，根据勾股定理即可求出答案.
4．（2025八下·东莞期中）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形）分析求解即可.
5．（2025八下·东莞期中）如果，那么x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
解得： ，
x的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质得到，移项即可得到答案.
6．（2025八下·东莞期中）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，平分，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质即可得答案．
7．（2025八下·东莞期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴点F为的中点，
∴，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
8．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中（），对角线，相交于点，点关于的对称点为．连接交于点，连接，已知，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点关于的对称点为，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理计算得到，再根据轴对称的性质：点关于的对称点为得到，再通过等面积法求出，再由通过勾股定理即可求解．
9．（2025八下·东莞期中）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：可把圆柱侧面展开如图所示，
由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
，，
由勾股定理得：，
故选：C．
【分析】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025八下·东莞期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．以下结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（　　）．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点E作于点M，作于点N，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，故④正确．
∵，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，故②错误．
综上可知①③④正确．
故答案为：A．
【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形性质可得，则，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则四边形是矩形，再根据矩形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形判定定理可判断①；根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，可判断④；再根据角平分线判定定理可判断③，根据边之间的关系可判断②.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·东莞期中）化简的结果是　 　．
【答案】9
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的性质：化简即可求解．
12．（2025八下·东莞期中）在平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，
，
解得：，
；
故答案为：．
【分析】
根据平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得到，由已知条件求出，由此解答即可．
13．（2025八下·东莞期中）如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是　 　．
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质可得，，，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得CE，再根据平行四边形周长即可求出答案.
14．（2025八下·东莞期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为　 　（滑轮上方的部分忽略不计）．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设旗杆高度为，过点C作于B，如图所示：
∴
∵在中，
∴，
解得：，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：．
【分析】设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理求出x，即可得到旗杆的高度．
15．（2025八下·东莞期中）如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵四边形是菱形，
∴， 点与点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，则的最小值为的长，
∵，
∴为等边三角形，
∵点为的中点，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】
连接，，，根据菱形的性质得到， 由点与点关于对称再根据轴对称的性质得到，根据三边关系得到当三点共线时，则的最小值为的长，然后由一个判定得到为等边三角形，最后利用勾股定理求出的长即可解答．
三、解答题一（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
16．（2025八下·东莞期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算； 再计算除法运算即可得解；
（2）先化简二次根式，再计算零指数幂，再计算二次根式的加减即可解答．
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2025八下·东莞期中）已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）由已知条件，先求出a+b的值，然后根据完全平方公式将所求代数式分解因式，再整体代换即可求解；
（2）由已知条件，先求出a+b、a-b的值，然后根据平方差公式将所求代数式分解因式，再整体代换即可求解．
18．（2025八下·东莞期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段、、的长；
（2）判断的形状，并说明你的理由．
【答案】（1）解：由勾股定理，得：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：由勾股定理，得：；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
19．（2025八下·东莞期中）如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，平分交于点，
∴，
∴为中点，
∵点为的中点，
∴为中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形的“三线合一”，得到CD=AD，从而可得为中位线，根据中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定即可求证．
四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（2025八下·东莞期中）由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量、．现计划在该空地上种植草皮．
（1）求四边形的面积；
（2）若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积
；
（2）解：在该空地上种植草皮共需（元）．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积；
（2）根据面积乘以单价即可得到答案．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积
；
（2）解：在该空地上种植草皮共需（元）．
21．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，与相交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形
，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
矩形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质可证，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，解答即可；
（2）根据菱形的性质可知，由，可判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据菱形的性质可知，再根据矩形的性质可知，利用勾股定理可求，根据矩形的面积公式计算即可．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形
，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
矩形的面积为．
22．（2025八下·东莞期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，km，km，
（km），
答：监测点与监测点之间的距离为500km；
（2）解：海港受台风影响，
理由：，，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港会受到此次台风的影响，
以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，
则km时，正好影响港口，
在中，
（km），
km，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；等积变换
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据三角形面积可得CE，由题意可得海港会受到此次台风的影响，以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，则km时，正好影响港口，根据勾股定理可得ED，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．（2025八下·东莞期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
（1）观察以上规律，请写出第5个等式：_______________；
（2）观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）；
（3）利用上面的规律，计算；
（4）请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）解：依题意，，
，
，
……
以此类推得，
；
（4）解：与（3）同理得，，
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）依题意，观察以上规律，第5个等式：，
故答案为：．
（2）依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式，
则第n个等式：，
故答案为：．
【分析】
（1）根据前4个等式得到规律：第5个等式中：每个括号里第一项都比个数多1，第二项与个数相同，左边是平方差公式，结果为1，写出等式即可作答．
（2）根据规律第个等式：每个括号里第一项都比个数多1，第二项与个数相同，左边是平方差公式，结果为1，写出等式即可作答；
（3）根据规律将各项分母有理化即可求解；
（4）先求每组二次根式的倒数得到：，再分母有理化，最后比较大小即可解答．
（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：，
故答案为：．
（2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式，
则第n个等式：，
故答案为：．
（3）解：依题意，，
，
，
……
以此类推得，
；
（4）解：与（3）同理得，，
，
，
．
24．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）．
（1）当点和点重合时，求线段的长；
（2）如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由；
（3）作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值．
【答案】（1）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：如图，过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）当点在上时，如图，
∵，，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：；
当点在上时，
∵点关于直线的对称点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图，
∴，，
在中，，
∴，
解得；
综上，当点恰好落在边上时，的值为或．
故答案为：或．
【分析】
（）连接，根据矩形的性质得到，再由矩形的判定得到四边形是矩形，即可求出，，再由勾股定理可得，解答即可；
（）过点作于点，根据同角的余角相等得到，由矩形的性质得到，再由矩形的性质可判定四边形是矩形从而得到，再由线段的和差运算得到EC=4，从而得到，即可证得，根据全等三角形的性质得到，根据定义可得到是等腰直角三角形，解答即可；
（）分两种情况：当点在上时，由勾股定理计算得出，表示出，，知，在中根据勾股定理建立方程得，解得；当点在上时，根据轴对称得性质得到，，再由SSS证明得到，当，重合时符合题意， 由勾股定理，建立方程得到，解得，解答即可．
（1）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，，
在中，，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：当点在上时，如图，
∵，，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得：；
当点在上时，
∵点关于直线的对称点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图，
∴，，
在中，，
∴，
解得；
综上，当点恰好落在边上时，的值为或．
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