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广西壮族自治区南宁市天桃实验学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．)
1．（2025七下·青秀期中）能经过平移得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·青秀期中）下列实数：，，，，其中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025七下·青秀期中）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　）
A．平板弹墨线
B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直
D．测量跳远成绩
5．（2025七下·青秀期中）二元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·青秀期中）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两点之间，直线最短 B．对顶角相等
C．内错角相等 D．同旁内角互补
7．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，将向左平移2个单位，则移动后的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·青秀期中）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·青秀期中）下列计算中，正确的（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·青秀期中）七年级（）班的同学去参加科技体验活动，第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；若设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·青秀期中）如图，已知直线，则、、之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025七下·青秀期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·青秀期中）4的算术平方根是　 　．
14．（2025七下·青秀期中）点在x轴上，则　 　．
15．（2025七下·青秀期中）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为　 　.
16．（2025七下·青秀期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，沿着的路线运动，按此规律，则点运动到时坐标为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（2025七下·青秀期中）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（2025七下·青秀期中）如图，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
19．（2025七下·青秀期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点C的坐标是．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）将三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，在坐标系中画出三角形，并写出三点的坐标；
（3）点是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点P的对应点，则点的坐标为______．
20．（2025七下·青秀期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x … 64 6400 64000 …
… 8 m …
… n 40 …
（1）表格中的　 　，　 　；
（2）已知，估计和的值；(结果保留四位小数)
（3）若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数）
21．（2025七下·青秀期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求此长方形信封的长和宽；
（2）小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
22．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且），例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“2阶派生点”的坐标为______；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于y轴上，求点的坐标．
23．（2025七下·青秀期中）【综合与实践】折纸中的数学
【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)．
（1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°；
（2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】
（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示______；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移不改变图形的大小，方向和形状可知，四个选项中只有A选项中的图形可以通过平移得到，
故答案为：A．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是整数，是有理数，不是无理数，故A选项不符合题意；
B、是整数，是有理数，不是无理数，故B选项不符合题意；
C、是开不尽方的数，是无理数，故C选项符合题意；
D、是整数，是有理数，不是无理数，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵横坐标，纵坐标，
∴点M在第一象限，
故答案为：A．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选：D．
【分析】根据垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
，则D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】将各组解分别代入方程中判断是否成立进行判断．
6．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A．两点之间，线段最短，故原命题是假命题；
B．对顶角相等，故原命题是真命题；
C．两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题；
D．两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
故答案为：B．
【分析】利用线段的性质（两点之间线段最短）、对顶角的性质、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补和真命题的定义逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：向左平移2个单位，则移动后的点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的定义，两直线平行时同位角相等，邻补角的和为，解题时先利用平行线的性质求出与相等的同位角的度数，再结合邻补角的定义计算出的度数。
9．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，故原计算错误，不符合题意；
B．，故原计算错误，不符合题意；
C．，故原计算正确，符合题意；
D．，故原计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根和立方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，
根据第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元，
可列方程；
根据第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元，
可列方程；
可列方程组．
故答案为：A．
【分析】设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，利用“第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元”列出方程组即可.
11．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过向左作射线，
则，
∴，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】过向左作射线，则，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∵点表示的数是，且点在点右侧，
∴点表示的数为：，
故选：．
【分析】根据正方形面积可得AB，由题意可得，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得：m+1=0，
解得m=-1，
故答案为-1．
【分析】根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
15．【答案】30
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长为：．
故答案为：30．
【分析】根据平移性质可得，再根据三角形周长即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点、、、横坐标分别是、、、，
点、、、横坐标分别是、、、，
点、、、横坐标分别是、、、，
，
点、、、横坐标分别是、、、，
，且，
的横坐标是，
点、、、纵坐标分别是、、、，
点、、、纵坐标分别是、、、，
点、、、纵坐标分别是、、、，
，
点、、、纵坐标分别是、、、，
，且，
的纵坐标是，
点时坐标为．
故答案为：．
【分析】先求出点A的坐标可得规律：点、、、横坐标分别是、、、，点、、、纵坐标分别是、、、，再求出点时坐标为即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解为．
【知识点】二次根式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】（1）证明：∵，，
，
.
（2）证明：由（1）知，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，即可证出；
（2）利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，证出，最后利用平行线的性质可得.
（1）证明：，，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1），
（2）解：如图，即为所求，
，，.
（3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：根据图形，得，；
故答案为：，.
（3）解：∵三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，
∴点的对应点点的坐标为
故答案为：．
【分析】（1）利用平面直角坐标系直接求出点A、B的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并写出三点的坐标即可；
（3）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
（1）解：根据图形，得，；
（2）解：如图，即为所求，
，，
（3）解：∵三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，
∴点的对应点点的坐标为
故答案为：．
20．【答案】（1）80；4
（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．∵，
∴，；
（3）解：根据平方根的变化规律得：∵，
∴
又，
∴，
从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵
∴，
∴．
【知识点】探索数与式的规律；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：80，4.
【分析】（1）先利用算术平方根求出m的值，再利用立方根的计算方法求出n的值即可；
（2）利用表格中的数据数据并利用算术平方根的计算方法求解即可；
（3）利用（2）的规律求出a的值，再利用立方根的计算方法求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：80，4；
（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵，
∴，；
（3）解：根据平方根的变化规律得：
∵，
∴
又，
∴，
从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵信封的长，宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
（负值已舍去），
∴长方形信封的长为，宽为.
（2）解：不能，
理由：，
，
．
∵正方形贺卡的边长是，
∴信封的长小于正方形贺卡的边长，
∴小美不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）设长方形信封的长为，宽为，利用长方形的面积列出方程，再求解即可；
（2）利用实数比较大小的方法并结合可得信封的长小于正方形贺卡的边长，从而得解.
（1）解：∵信封的长，宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
（负值已舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）解：不能，理由：，
，
．
∵正方形贺卡的边长是，
∴信封的长小于正方形贺卡的边长，
∴小美不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为.
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，
∴点
∴的“阶派生点”为：即
∵点在y轴上
∴，
解得：；
此时；
∴点的坐标．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：根据新定义，点的“2阶派生点”的坐标为即：；
故答案为：.
【分析】（1）利用“2阶派生点”的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用“5阶派生点”的定义可得，求出x、y的值，从而可得点P的坐标；
（3）利用点平移的特征可得点P1的坐标，再求出其“-3阶派生点”的点P2，再利用y轴上点坐标的特征可得，最后求出c的值即可.
（1）解：根据新定义，点的“2阶派生点”的坐标为
即：；
∴点的“3阶派生点”的坐标为．
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：即
点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标．
23．【答案】解：（1）；
（2）张华的说法正确，
证明：根据折叠的性质可知，
由可知，
，
；
（3）①；
②解：灯的射线从转到需要的时间是秒，
在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，
灯的射线转动的速度是每秒，
灯从转到需要的时间是秒，
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
∴
，
解得：；
综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行．
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知，
故答案为：；
（3）灯射线转动秒后，灯射线开始转动，
当灯转动秒时，灯转动了秒，
在灯P射线第一次到达之前，，
故答案为：.
【分析】（1）利用折叠的性质分析求解即可；
（2）利用折叠的性质可得，再利用等量代换可得，即可证出AB//CD；
（3）①利用“灯P转的角度=每秒的度数×时间”求解即可；
②分类讨论： 当时，，； 当时，，； 当时，，， 先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
1 / 1广西壮族自治区南宁市天桃实验学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．)
1．（2025七下·青秀期中）能经过平移得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移不改变图形的大小，方向和形状可知，四个选项中只有A选项中的图形可以通过平移得到，
故答案为：A．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．（2025七下·青秀期中）下列实数：，，，，其中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是整数，是有理数，不是无理数，故A选项不符合题意；
B、是整数，是有理数，不是无理数，故B选项不符合题意；
C、是开不尽方的数，是无理数，故C选项符合题意；
D、是整数，是有理数，不是无理数，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵横坐标，纵坐标，
∴点M在第一象限，
故答案为：A．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
4．（2025七下·青秀期中）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　）
A．平板弹墨线
B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直
D．测量跳远成绩
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选：D．
【分析】根据垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025七下·青秀期中）二元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
，则D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】将各组解分别代入方程中判断是否成立进行判断．
6．（2025七下·青秀期中）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两点之间，直线最短 B．对顶角相等
C．内错角相等 D．同旁内角互补
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A．两点之间，线段最短，故原命题是假命题；
B．对顶角相等，故原命题是真命题；
C．两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题；
D．两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
故答案为：B．
【分析】利用线段的性质（两点之间线段最短）、对顶角的性质、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补和真命题的定义逐项分析判断即可.
7．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，将向左平移2个单位，则移动后的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：向左平移2个单位，则移动后的点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
8．（2025七下·青秀期中）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的定义，两直线平行时同位角相等，邻补角的和为，解题时先利用平行线的性质求出与相等的同位角的度数，再结合邻补角的定义计算出的度数。
9．（2025七下·青秀期中）下列计算中，正确的（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，故原计算错误，不符合题意；
B．，故原计算错误，不符合题意；
C．，故原计算正确，符合题意；
D．，故原计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根和立方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
10．（2025七下·青秀期中）七年级（）班的同学去参加科技体验活动，第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；若设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，
根据第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元，
可列方程；
根据第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元，
可列方程；
可列方程组．
故答案为：A．
【分析】设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，利用“第一组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元；第二组有人选择“九天揽月”活动，人选择“深海探幽”活动，共花费元”列出方程组即可.
11．（2025七下·青秀期中）如图，已知直线，则、、之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过向左作射线，
则，
∴，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】过向左作射线，则，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
12．（2025七下·青秀期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∵点表示的数是，且点在点右侧，
∴点表示的数为：，
故选：．
【分析】根据正方形面积可得AB，由题意可得，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·青秀期中）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．（2025七下·青秀期中）点在x轴上，则　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得：m+1=0，
解得m=-1，
故答案为-1．
【分析】根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
15．（2025七下·青秀期中）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为　 　.
【答案】30
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长为：．
故答案为：30．
【分析】根据平移性质可得，再根据三角形周长即可求出答案.
16．（2025七下·青秀期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，沿着的路线运动，按此规律，则点运动到时坐标为　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点、、、横坐标分别是、、、，
点、、、横坐标分别是、、、，
点、、、横坐标分别是、、、，
，
点、、、横坐标分别是、、、，
，且，
的横坐标是，
点、、、纵坐标分别是、、、，
点、、、纵坐标分别是、、、，
点、、、纵坐标分别是、、、，
，
点、、、纵坐标分别是、、、，
，且，
的纵坐标是，
点时坐标为．
故答案为：．
【分析】先求出点A的坐标可得规律：点、、、横坐标分别是、、、，点、、、纵坐标分别是、、、，再求出点时坐标为即可．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（2025七下·青秀期中）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）
；
（2），
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解为．
【知识点】二次根式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．（2025七下·青秀期中）如图，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
，
.
（2）证明：由（1）知，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，即可证出；
（2）利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，证出，最后利用平行线的性质可得.
（1）证明：，，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
，
，
，
．
19．（2025七下·青秀期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点C的坐标是．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）将三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，在坐标系中画出三角形，并写出三点的坐标；
（3）点是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点P的对应点，则点的坐标为______．
【答案】（1），
（2）解：如图，即为所求，
，，.
（3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：根据图形，得，；
故答案为：，.
（3）解：∵三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，
∴点的对应点点的坐标为
故答案为：．
【分析】（1）利用平面直角坐标系直接求出点A、B的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并写出三点的坐标即可；
（3）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
（1）解：根据图形，得，；
（2）解：如图，即为所求，
，，
（3）解：∵三角形先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，
∴点的对应点点的坐标为
故答案为：．
20．（2025七下·青秀期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x … 64 6400 64000 …
… 8 m …
… n 40 …
（1）表格中的　 　，　 　；
（2）已知，估计和的值；(结果保留四位小数)
（3）若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数）
【答案】（1）80；4
（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．∵，
∴，；
（3）解：根据平方根的变化规律得：∵，
∴
又，
∴，
从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵
∴，
∴．
【知识点】探索数与式的规律；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：80，4.
【分析】（1）先利用算术平方根求出m的值，再利用立方根的计算方法求出n的值即可；
（2）利用表格中的数据数据并利用算术平方根的计算方法求解即可；
（3）利用（2）的规律求出a的值，再利用立方根的计算方法求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：80，4；
（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵，
∴，；
（3）解：根据平方根的变化规律得：
∵，
∴
又，
∴，
从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵
∴，
∴．
21．（2025七下·青秀期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求此长方形信封的长和宽；
（2）小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【答案】（1）解：∵信封的长，宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
（负值已舍去），
∴长方形信封的长为，宽为.
（2）解：不能，
理由：，
，
．
∵正方形贺卡的边长是，
∴信封的长小于正方形贺卡的边长，
∴小美不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）设长方形信封的长为，宽为，利用长方形的面积列出方程，再求解即可；
（2）利用实数比较大小的方法并结合可得信封的长小于正方形贺卡的边长，从而得解.
（1）解：∵信封的长，宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
（负值已舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）解：不能，理由：，
，
．
∵正方形贺卡的边长是，
∴信封的长小于正方形贺卡的边长，
∴小美不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
22．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且），例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“2阶派生点”的坐标为______；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于y轴上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为.
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，
∴点
∴的“阶派生点”为：即
∵点在y轴上
∴，
解得：；
此时；
∴点的坐标．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：根据新定义，点的“2阶派生点”的坐标为即：；
故答案为：.
【分析】（1）利用“2阶派生点”的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用“5阶派生点”的定义可得，求出x、y的值，从而可得点P的坐标；
（3）利用点平移的特征可得点P1的坐标，再求出其“-3阶派生点”的点P2，再利用y轴上点坐标的特征可得，最后求出c的值即可.
（1）解：根据新定义，点的“2阶派生点”的坐标为
即：；
∴点的“3阶派生点”的坐标为．
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：即
点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标．
23．（2025七下·青秀期中）【综合与实践】折纸中的数学
【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)．
（1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°；
（2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】
（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示______；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
【答案】解：（1）；
（2）张华的说法正确，
证明：根据折叠的性质可知，
由可知，
，
；
（3）①；
②解：灯的射线从转到需要的时间是秒，
在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，
灯的射线转动的速度是每秒，
灯从转到需要的时间是秒，
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
∴
，
解得：；
综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行．
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知，
故答案为：；
（3）灯射线转动秒后，灯射线开始转动，
当灯转动秒时，灯转动了秒，
在灯P射线第一次到达之前，，
故答案为：.
【分析】（1）利用折叠的性质分析求解即可；
（2）利用折叠的性质可得，再利用等量代换可得，即可证出AB//CD；
（3）①利用“灯P转的角度=每秒的度数×时间”求解即可；
②分类讨论： 当时，，； 当时，，； 当时，，， 先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
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