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浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．（2025八下·钱塘期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·钱塘期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·钱塘期中）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设（　　）
A．三角形的二个内角小于60° B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60° D．三角形的三个内角都大于60°
4．（2025八下·钱塘期中）已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2025八下·钱塘期中）已知一组数据的方差为，则（　　）
A．这组数据有10个 B．这组数据的平均数是5
C．方差是一个非负数 D．每个数据加3，方差的值增加3
6．（2025八下·钱塘期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．（2025八下·钱塘期中）如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（　　）
A．9 B． C．12 D．18
8．（2025八下·钱塘期中）已知，化简（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·钱塘期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个；
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025八下·钱塘期中）如图，在中，是锐角，点F是边的中点，于点E，连接．若，，，则长为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025八下·钱塘期中）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·钱塘期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为　 　．
13．（2025八下·钱塘期中）如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于　 　
14．（2025八下·钱塘期中）设，是方程的两个根，则　 　．
15．（2025八下·钱塘期中）如图，在四边形中对角线，E、F分别是的中点．若，，则　 　．
16．（2025八下·钱塘期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当　 　 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025八下·钱塘期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·钱塘期中）解方程：
（1）（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
19．（2025八下·钱塘期中）某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表（单位：度）：
度数 9 11 12
天数 3 1 1
（1）求这5天的用电量的平均数．
（2）求这5天用电量的众数、中位数．
（3）学校共有18个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．
20．（2025八下·钱塘期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上．
（1）在图1中，作一个各顶点均在格点上的，使得为对角线交点；
（2）在图2中，作一个各顶点均在格点上的，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边等于其一条对角线．
21．（2025八下·钱塘期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五 一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？
22．（2025八下·钱塘期中）如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
23．（2025八下·钱塘期中）已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为求代数式的值；
（3）若，比较M与N的大小．
24．（2025八下·钱塘期中）如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于O点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过D点作于M，N为的中点，连接，若，，，求的值；
（3）在（2）的条件下，H在上移动，当为等腰三角形时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、将图形绕某点旋转后不能与原图重合，因此不是中心对称图形，A选项错误；
B、将图形绕某点旋转后能与原图完全重合，符合中心对称图形的定义，B选项正确；
C、图形旋转后不能恢复原状，故不属于中心对称图形，C选项错误；
D、经过旋转后图形不能与原图重合，不符合中心对称图形的特征，D选项错误。
故选：B.
【分析】本题考查中心对称图形的判定。根据定义，一个图形若能绕某点旋转后与原图形完全重合，则称为中心对称图形。解题时需准确理解并应用这一核心概念。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.与不是同类二次根式，不能相加减，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设三角形的三个内角都小于60° 。
故答案为：B
【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得：.
故答案为：C
【分析】由题意把代入，计算求解即可．
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：已知这组数据的方差计算公式为：
∴数据个数为5个（由分母5可得），故A不正确；
数据的平均值为10（由各数据与10的差值计算可得），故B错误；
方差作为衡量离散程度的指标始终非负，该说法正确，故C正确；
对每个数据加相同常数（如3）时，方差保持不变，故D错误。
故选：C。
【分析】通过方差公式可直接得出数据的个数和平均值。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F是DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，即BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线性质以及三角形中位线定理。解题关键在于：运用勾股定理求斜边；利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；识别并应用中位线定理确定线段比例关系。首先根据勾股定理计算斜边AB=10，在直角三角形中，斜边上的中线CD等于斜边的一半，因此CD=5，根据题意，线段BF是△CDE的中位线，所以其长度为CD的一半。
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，四边形，四边形、四边形，四边形都是平行四边形，，，
，，
∵，，
∵，
，（与平行四边形高相等）
，
故选：D．
【分析】利用平行四边形的性质及三角形的面积关系，可以计算出平行四边形的面积，从而解决本题。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】
．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①解方程（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，解得，，，得，，
方程不是倍根方程；故①不正确；
②若是倍根方程，，所以或，
当时，，当时，，
，故②正确；
③∵pq=2，则：，
，，
，
所以是倍根方程，故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【分析】理解倍根方程的定义（即两根呈倍数关系），掌握一元二次方程的解法（因式分解、求根公式）是解决此类问题的核心。需注意验证步骤的严谨性，确保推导条件与结论的充分必要性。①解给定方程，根据解的情况判断是否满足倍根方程的定义；②若已知其中一个根，利用倍根关系可确定另一根，从而建立m与n的关联式，验证其正确性；③当满足时，将方程因式分解为，求出两根后结合推导根的关系，验证倍根条件；④通过求根公式得到方程的两根，若存在或的关系，化简后分析参数关系是否成立。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，取的中点H，连接，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与不平行，
∴四边形是梯形，
∵点F是边的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选B．
【分析】本题重点考查了平行四边形的性质、梯形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确添加辅助线。首先连接线段，并找到其中点H，然后连接。设，可以证明是梯形的中位线，从而得到。接着利用直角三角形斜边上的性质，得出。最后通过勾股定理建立方程 ，求解x的值后，即可得到的长度。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
，
的取值范围是，
故答案为： ．
【分析】利用二次根式中的被开方数是非负数即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
12．【答案】
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：∵数据3，4，5，6，7的平均数为，
∴方差，
∴标准差．
故答案为：．
【分析】本题主要考查标准差的计算方法，掌握标准差的计算步骤是解题的核心。首先需要计算数据的平均值，然后利用方差公式求出方差值，最后对方差取算术平方根即可得到标准差。
13．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题目条件可列出方程：
解方程得：
故答案为：
【分析】
本题考查了多边形内角和与外角和的知识点，需要掌握：
1. 多边形内角和公式：
2. 多边形外角和恒为：
3. 通过建立方程来求解边数n的值。
注意：解题时要正确运用多边形内角和与外角和的关系，通过列方程来求解。
14．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；完全平方式
【解析】【解答】解：由根与系数关系得：，，
∴．
故答案为：7．
【分析】根据根与系数的关系得，，再根据完全平方公式变形得到，计算求解即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，
如图所示：
、分别是、的中点，，，，，
∵，，，
故答案为：．
【分析】本题主要考察三角形中位线定理的运用。根据中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。解题步骤如下：
1. 取的中点H；
2. 连接和；
3. 利用中位线定理求出和的长度；
4. 最后通过勾股定理完成计算。
16．【答案】或5
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：情况一：当点F位于点C左侧时：，，。
因为，所以当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
情况二：当点F位于点C右侧时：，，。
同理，当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
综上所述，当或时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
故答案为：或5。
【分析】 此题考查平行四边形的判定条件。通过分点F在C点左侧和右侧两种情况讨论，利用平行四边形对边相等的性质建立方程求解，最终得到满足条件的时间值。
17．【答案】（1）（1）解：，
，
，
．
（2）（2）解：，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先利用二次根式的性质进行化简，然后按照二次根式的混合运算规则进行计算。
（2）先应用平方差公式和完全平方公式展开表达式，然后进行相应的计算。
（1）解：，
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
18．【答案】（1）（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过配方法将方程转化为完全平方形式，得到，再通过直接开平方法求解；
（2）采用因式分解法对方程进行求解。
（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
19．【答案】（1）解：（度；
答：5天的平均用电量为10度；
（2）解：9度出现了3次，最多，故众数为9；
用电量从小到大排序的第3天是9度，故中位数为9；
（3）解：（度；
答：估计该校该月的总用电量约3960度．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）计算平均用电量时，采用加权平均法，将各用电量数据乘以其对应频数后求和，再除以总频数。（2）统计指标求解：众数：找出频数最高的用电量数值中位数：将数据按大小顺序排列，取中间位置的值（偶数个数据时取中间两数的平均值）极差：用最大用电量减去最小用电量（3）总用电量估算：班级数量 × 日平均用电量 × 天数
（1）（度；
答：5天的平均用电量为10度；
（2）9度出现了3次，最多，故众数为9；
用电量从小到大排序的第3天是9度，故中位数为9；
（3）（度；
答：估计该校该月的总用电量约3960度．
20．【答案】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作．
（2）如图2中， A1B1C1D1即为所求作．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作图即可．
（2）作底边长为4，高为2，的平行四边形解题．
21．【答案】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵要尽量减少库存，
∴，
答：每件服装应降价20元；
（2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下：设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程无实数根，
∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及根的判别式，解题关键在于正确建立方程模型。
（1）设降价幅度为x元，则日销量可表示为件。根据每日盈利1200元的条件建立方程，解方程后需验证解的合理性；
（2）设降价y元时，对应销量为件。以盈利1500元为目标建立方程后，需通过判别式判断该盈利目标是否可实现。
（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵要尽量减少库存，
∴，
答：每件服装应降价20元；
（2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下：
设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程无实数根，
∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．
22．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，，，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，平分，平分，
，
，
，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
和互相平分．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形判定与性质、等腰三角形判定以及全等三角形判定等知识。其中熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的核心要点。（1）根据平行线的性质可得。由题可知，因此，从而证明，问题得解。
（2）证明四边形是平行四边形，得出。再证四边形为平行四边形，接着证明四边形也是平行四边形，得到，最终得出四边形是平行四边形，因此与互相平分。
23．【答案】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：根据韦达定理可得，
∴
（3）解：
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则”解答即可．
（2）根据题意得到，然后整体代入计算解题．
（3）求差盘后代入配方得到，解题即可.
24．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
.
答：的值为
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
答：的长为或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的概念可知，因为已知，只需证明即可，显然可利用平行线的性质与判定定理予以证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，当MN已知时，DC可知，欲求BM与MC的比值，由于平行四边形的对边平行且则可证为等腰直角三角形且BM＝DM，由于平行四边形的对角线互相平分，则BD等于OD的2倍，所以BM可利用勾股定理求得，则在中可求得CM的值；
（3）由于不清楚等腰三角形的腰是哪两条边，所以可分三种情况讨论，有即或或，分别计算即可．
（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．（2025八下·钱塘期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、将图形绕某点旋转后不能与原图重合，因此不是中心对称图形，A选项错误；
B、将图形绕某点旋转后能与原图完全重合，符合中心对称图形的定义，B选项正确；
C、图形旋转后不能恢复原状，故不属于中心对称图形，C选项错误；
D、经过旋转后图形不能与原图重合，不符合中心对称图形的特征，D选项错误。
故选：B.
【分析】本题考查中心对称图形的判定。根据定义，一个图形若能绕某点旋转后与原图形完全重合，则称为中心对称图形。解题时需准确理解并应用这一核心概念。
2．（2025八下·钱塘期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.与不是同类二次根式，不能相加减，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
3．（2025八下·钱塘期中）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设（　　）
A．三角形的二个内角小于60° B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60° D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设三角形的三个内角都小于60° 。
故答案为：B
【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解。
4．（2025八下·钱塘期中）已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得：.
故答案为：C
【分析】由题意把代入，计算求解即可．
5．（2025八下·钱塘期中）已知一组数据的方差为，则（　　）
A．这组数据有10个 B．这组数据的平均数是5
C．方差是一个非负数 D．每个数据加3，方差的值增加3
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：已知这组数据的方差计算公式为：
∴数据个数为5个（由分母5可得），故A不正确；
数据的平均值为10（由各数据与10的差值计算可得），故B错误；
方差作为衡量离散程度的指标始终非负，该说法正确，故C正确；
对每个数据加相同常数（如3）时，方差保持不变，故D错误。
故选：C。
【分析】通过方差公式可直接得出数据的个数和平均值。
6．（2025八下·钱塘期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F是DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，即BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线性质以及三角形中位线定理。解题关键在于：运用勾股定理求斜边；利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；识别并应用中位线定理确定线段比例关系。首先根据勾股定理计算斜边AB=10，在直角三角形中，斜边上的中线CD等于斜边的一半，因此CD=5，根据题意，线段BF是△CDE的中位线，所以其长度为CD的一半。
7．（2025八下·钱塘期中）如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（　　）
A．9 B． C．12 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，四边形，四边形、四边形，四边形都是平行四边形，，，
，，
∵，，
∵，
，（与平行四边形高相等）
，
故选：D．
【分析】利用平行四边形的性质及三角形的面积关系，可以计算出平行四边形的面积，从而解决本题。
8．（2025八下·钱塘期中）已知，化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】
．
9．（2025八下·钱塘期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个；
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①解方程（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，解得，，，得，，
方程不是倍根方程；故①不正确；
②若是倍根方程，，所以或，
当时，，当时，，
，故②正确；
③∵pq=2，则：，
，，
，
所以是倍根方程，故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【分析】理解倍根方程的定义（即两根呈倍数关系），掌握一元二次方程的解法（因式分解、求根公式）是解决此类问题的核心。需注意验证步骤的严谨性，确保推导条件与结论的充分必要性。①解给定方程，根据解的情况判断是否满足倍根方程的定义；②若已知其中一个根，利用倍根关系可确定另一根，从而建立m与n的关联式，验证其正确性；③当满足时，将方程因式分解为，求出两根后结合推导根的关系，验证倍根条件；④通过求根公式得到方程的两根，若存在或的关系，化简后分析参数关系是否成立。
10．（2025八下·钱塘期中）如图，在中，是锐角，点F是边的中点，于点E，连接．若，，，则长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，取的中点H，连接，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与不平行，
∴四边形是梯形，
∵点F是边的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选B．
【分析】本题重点考查了平行四边形的性质、梯形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确添加辅助线。首先连接线段，并找到其中点H，然后连接。设，可以证明是梯形的中位线，从而得到。接着利用直角三角形斜边上的性质，得出。最后通过勾股定理建立方程 ，求解x的值后，即可得到的长度。
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025八下·钱塘期中）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
，
的取值范围是，
故答案为： ．
【分析】利用二次根式中的被开方数是非负数即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
12．（2025八下·钱塘期中）计算数据3，4，5，6，7的标准差为　 　．
【答案】
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：∵数据3，4，5，6，7的平均数为，
∴方差，
∴标准差．
故答案为：．
【分析】本题主要考查标准差的计算方法，掌握标准差的计算步骤是解题的核心。首先需要计算数据的平均值，然后利用方差公式求出方差值，最后对方差取算术平方根即可得到标准差。
13．（2025八下·钱塘期中）如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于　 　
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题目条件可列出方程：
解方程得：
故答案为：
【分析】
本题考查了多边形内角和与外角和的知识点，需要掌握：
1. 多边形内角和公式：
2. 多边形外角和恒为：
3. 通过建立方程来求解边数n的值。
注意：解题时要正确运用多边形内角和与外角和的关系，通过列方程来求解。
14．（2025八下·钱塘期中）设，是方程的两个根，则　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；完全平方式
【解析】【解答】解：由根与系数关系得：，，
∴．
故答案为：7．
【分析】根据根与系数的关系得，，再根据完全平方公式变形得到，计算求解即可．
15．（2025八下·钱塘期中）如图，在四边形中对角线，E、F分别是的中点．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，
如图所示：
、分别是、的中点，，，，，
∵，，，
故答案为：．
【分析】本题主要考察三角形中位线定理的运用。根据中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。解题步骤如下：
1. 取的中点H；
2. 连接和；
3. 利用中位线定理求出和的长度；
4. 最后通过勾股定理完成计算。
16．（2025八下·钱塘期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当　 　 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【答案】或5
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：情况一：当点F位于点C左侧时：，，。
因为，所以当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
情况二：当点F位于点C右侧时：，，。
同理，当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
综上所述，当或时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
故答案为：或5。
【分析】 此题考查平行四边形的判定条件。通过分点F在C点左侧和右侧两种情况讨论，利用平行四边形对边相等的性质建立方程求解，最终得到满足条件的时间值。
三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025八下·钱塘期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）（1）解：，
，
，
．
（2）（2）解：，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先利用二次根式的性质进行化简，然后按照二次根式的混合运算规则进行计算。
（2）先应用平方差公式和完全平方公式展开表达式，然后进行相应的计算。
（1）解：，
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
18．（2025八下·钱塘期中）解方程：
（1）（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
【答案】（1）（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过配方法将方程转化为完全平方形式，得到，再通过直接开平方法求解；
（2）采用因式分解法对方程进行求解。
（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
19．（2025八下·钱塘期中）某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表（单位：度）：
度数 9 11 12
天数 3 1 1
（1）求这5天的用电量的平均数．
（2）求这5天用电量的众数、中位数．
（3）学校共有18个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．
【答案】（1）解：（度；
答：5天的平均用电量为10度；
（2）解：9度出现了3次，最多，故众数为9；
用电量从小到大排序的第3天是9度，故中位数为9；
（3）解：（度；
答：估计该校该月的总用电量约3960度．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）计算平均用电量时，采用加权平均法，将各用电量数据乘以其对应频数后求和，再除以总频数。（2）统计指标求解：众数：找出频数最高的用电量数值中位数：将数据按大小顺序排列，取中间位置的值（偶数个数据时取中间两数的平均值）极差：用最大用电量减去最小用电量（3）总用电量估算：班级数量 × 日平均用电量 × 天数
（1）（度；
答：5天的平均用电量为10度；
（2）9度出现了3次，最多，故众数为9；
用电量从小到大排序的第3天是9度，故中位数为9；
（3）（度；
答：估计该校该月的总用电量约3960度．
20．（2025八下·钱塘期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上．
（1）在图1中，作一个各顶点均在格点上的，使得为对角线交点；
（2）在图2中，作一个各顶点均在格点上的，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边等于其一条对角线．
【答案】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作．
（2）如图2中， A1B1C1D1即为所求作．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作图即可．
（2）作底边长为4，高为2，的平行四边形解题．
21．（2025八下·钱塘期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五 一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？
【答案】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵要尽量减少库存，
∴，
答：每件服装应降价20元；
（2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下：设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程无实数根，
∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及根的判别式，解题关键在于正确建立方程模型。
（1）设降价幅度为x元，则日销量可表示为件。根据每日盈利1200元的条件建立方程，解方程后需验证解的合理性；
（2）设降价y元时，对应销量为件。以盈利1500元为目标建立方程后，需通过判别式判断该盈利目标是否可实现。
（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵要尽量减少库存，
∴，
答：每件服装应降价20元；
（2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下：
设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程无实数根，
∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．
22．（2025八下·钱塘期中）如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，，，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，平分，平分，
，
，
，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
和互相平分．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形判定与性质、等腰三角形判定以及全等三角形判定等知识。其中熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的核心要点。（1）根据平行线的性质可得。由题可知，因此，从而证明，问题得解。
（2）证明四边形是平行四边形，得出。再证四边形为平行四边形，接着证明四边形也是平行四边形，得到，最终得出四边形是平行四边形，因此与互相平分。
23．（2025八下·钱塘期中）已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为求代数式的值；
（3）若，比较M与N的大小．
【答案】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：根据韦达定理可得，
∴
（3）解：
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则”解答即可．
（2）根据题意得到，然后整体代入计算解题．
（3）求差盘后代入配方得到，解题即可.
24．（2025八下·钱塘期中）如图，已知在四边形中，，，连结、，与交于O点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过D点作于M，N为的中点，连接，若，，，求的值；
（3）在（2）的条件下，H在上移动，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
.
答：的值为
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
答：的长为或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的概念可知，因为已知，只需证明即可，显然可利用平行线的性质与判定定理予以证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，当MN已知时，DC可知，欲求BM与MC的比值，由于平行四边形的对边平行且则可证为等腰直角三角形且BM＝DM，由于平行四边形的对角线互相平分，则BD等于OD的2倍，所以BM可利用勾股定理求得，则在中可求得CM的值；
（3）由于不清楚等腰三角形的腰是哪两条边，所以可分三种情况讨论，有即或或，分别计算即可．
（1）证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
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