资源简介

广东省东莞市翰林高级中学2025-2026学年高一上学期期末适应性考试数学试题
1．（2026高一上·东莞期末）设集合，若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：若，则或 ，当时， ，不满足集合元素的互异性，
则，
故答案为：A.
【分析】根据元素和集合的关系，结合集合元素的特性求解即可.
2．（2026高一上·东莞期末）已知命题，，则命题的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，，的否定为：，.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2026高一上·东莞期末）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的解集
【解析】【解答】解：当时，成立，当时，满足成立，但不成立．
则“”是“”成立的充分不必要条件．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和不等式的基本性质以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
4．（2026高一上·东莞期末）已知某扇形的弧长和面积均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设该扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形的弧长和面积均为，
所以，解得；
所以，该扇形的圆心角（正角）为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和扇形的弧长公式与扇形的面积公式，从而列出圆心角与半径的方程组，进而求解方程组得出该扇形的圆心角的大小和半径的长.
5．（2026高一上·东莞期末）函数的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递减，
且，，，
则的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可.
6．（2026高一上·东莞期末）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为，
对于选项A，因为，
所以为偶函数；
对于选项B，因为，
所以为偶函数；
对于选项C，因为，
所以为奇函数，故C错误；
对于选项D，因为，
所以为偶函数；
由函数图象知，选项A中；
选项B中，故B错误；
选项D中；
由函数图象知，当时，，
选项A中，当时，，故A正确；
选项D中，当时，，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据偶函数的定义和函数图象的对称性，则可知函数为偶函数和，且当时，，从而逐项判断找出函数可能的解析式.
7．（2026高一上·东莞期末）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称
D．在区间上单调递减
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，将的图像向左平移，
可得，故A正确；
对于B，当时，则，
因为函数关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将代入函数中，则，故C正确；
对于D，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
则在区间上不单调递减，故D错误.
故答案为：D．
【分析】由余弦型函数的图象平移变换可判断选项A；根据换元法和余弦函数的对称性，则可判断选项B；将代入函数中，再验证是否为，则可判断选项C；根据换元法和余弦函数的单调性，则可判断选项D，从而找出结论错误的选项．
8．（2026高一上·东莞期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为函数是定义域为的偶函数，所以，
由，可得，，
则，即，
则，即是周期为的周期函数，
则.
故答案为：D.
【分析】根据是定义域为的偶函数，且，化简求得是周期为的周期函数，再根据时，， 利用函数的周期性计算即可.
9．（2026高一上·东莞期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则、指数的运算法则、换底公式，从而逐项判断找出计算正确的选项.
10．（2026高一上·东莞期末）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
A、因为，所以，
，则，故A正确；
B、易知，因为，
所以，故B错误；
CD、由，解得得，
则，故C，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得，再根据同角三角函数的基本关系逐项求解判断即可.
11．（2026高一上·东莞期末）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则
D．若方程有两个不同的实数解，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的图象；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为R，
A、，则函数是奇函数，故A正确；
B、因为为增函数，所以为减函数，若，则，故B错误；
C、因为，所以，
因为为减函数，所以，所以，故C正确；
D、令，
作出函数、和的图象，如图所示：
若方程有两个不同的实数解，由图得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，根据函数奇偶性定义求解即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；若，，利用函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；令，同一坐标系中作出函数、和的图象，数形结合求解即可判断D.
12．（2026高一上·东莞期末）函数且的反函数过点，则　 　．
【答案】3
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由函数，且的反函数的图象过点，
可得图象过点，，
又因为，．
故答案为：3．
【分析】由反函数的性质可得函数图象过点，再利用代入法得出实数a的值．
13．（2026高一上·东莞期末）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数的基本关系式和正弦的二倍角公式求解即可.
14．（2026高一上·东莞期末）已知函数 ，，且，则（1）　 　，（2）当 取得最小值时，　 　．
【答案】；
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，可得，
则，所以，
易知，，
因为，所以，则，
所以，则 ，
令 ，
则，
当且仅当 时，即当 时， 取得最小值，此时也取得最小值．
故答案为：；.
【解答】根据题意，利用对数的运算法则，从而可得的值 ；令 ，结合基本不等式求最值的方法，从而得出当 取得最小值时的的值．
15．（2026高一上·东莞期末）设集合．
（1）全集，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由集合，可得，
解不等式，可得，即集合，
则；
（2）解：若，可得，
若，则，即，满足；
若，即，则，解得，
综上，.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据集合补集运算求得，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可；
（2）由，可得，分和讨论，结合集合的包含关系列式求解参数的范围.
（1），而，
故.
（2）因为，故，
若即，则；
若，则，故，
综上，.
16．（2026高一上·东莞期末）已知．
（1）化简函数；
（2）若，求．
【答案】（1）解：.
（2）解：因为，所以，
则.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和诱导公式以及同角三角函数基本关系式，从而化简函数.
（2）由题得到，再化弦为切，从而得出的值.
（1）；
（2）因为，所以，
所以.
17．（2026高一上·东莞期末）已知函数.
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围；
（3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数，
当时，在上单调递增，此时函数值集合为；
当时，在上单调递减，
此时函数值集合为；
在上单调递增，此时函数值集合为，
函数的图象，如图所示：
由图可知，函数的单调递减区间为，
所以，函数的值域为.
（2）解：观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，
则或，
所以的取值范围是.
（3）解：由 ，，
得 ，
如图所示，
在开区间上既有最大值，又有最小值，
则，
所以的取值范围分别为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和单调函数的单调性，从而作出函数图象，再利用函数的图象求出函数的单调递减区间，进而得出函数的值域.
（2）利用函数图象和已知条件，从而求出的取值范围.
（3）利用分段函数图象和x的取值范围以及函数的最值，从而得出实数a的取值范围和实数b的取值范围.
（1）函数，当时，在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象，如图：
函数的单调递减区间为，值域为.
（2）观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，则或，
所以的取值范围是.
（3）由 ，，得 ，
如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则，
所以的取值范围分别为.
18．（2026高一上·东莞期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
【答案】（1）解：∵，所以，
又∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）解：由（1）知，
则，
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，
当时，即当时，
则，
由二次函数的性质，
可知当时，即当时，函数取最大值，
∴，
∵，
所以，
则当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由结合已知条件，从而建立方程得出的值，再由函数图象连续不断，从而建立方程得出的值.
（2）由（1）知分段函数的解析式，从而得出分段函数的解析式，再分别用基本不等式求最值的方法和二次函数求最值的方法，比较求出分段函数的最大值，从而得出当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
（1）∵，即，
∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）由（1）知，
则，
当时，，当且仅当，即时取等号.
当，即时，，
由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，
∴，
∵，即，
∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
19．（2026高一上·东莞期末）已知函数，的最小正周期为，
（1）求在上的取值范围；
（2）证明：在区间上有唯一零点；
（3）证明：在上恒成立．
【答案】（1）解：因为的最小正周期为，
所以， 解得，
所以；
由 ，得，
则当时，即当时，有最小值；
当时，即当时，有最大值，
所以上取值范围为.
（2）证明：由（1）可得，
因为， ，
所以，
又因为函数在上单调递增，
所以在上存在唯一零点.
（3）证明：当时，，
因为，所以，，
当时，，
因为， 所以，
综上所述，在上恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）先根据正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，则得出正弦型函数的解析式，再由x的取值范围和正弦函数的性质可得.
（2）先求出函数的表达式，再利用零点存在性定理结合单调性证明即可.
（3）分段证明即可．
（1）因为的最小正周期为，
所以， 解得，所以；
由 得，，
所以当，即时，有最小值；
当，即时，有最大值；
所以上取值范围为.
（2）证明：由（1）可得，
因为， ，
所以，
又因为函数在上单调递增，
所以在上存在唯一零点；
（3）当时，，
因为，所以，，
当时，，
因为， 所以，
综上，在上恒成立.
1 / 1广东省东莞市翰林高级中学2025-2026学年高一上学期期末适应性考试数学试题
1．（2026高一上·东莞期末）设集合，若，则的值为
A． B． C． D．
2．（2026高一上·东莞期末）已知命题，，则命题的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2026高一上·东莞期末）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026高一上·东莞期末）已知某扇形的弧长和面积均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·东莞期末）函数的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·东莞期末）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·东莞期末）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称
D．在区间上单调递减
8．（2026高一上·东莞期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（　　）
A． B． C． D．1
9．（2026高一上·东莞期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026高一上·东莞期末）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026高一上·东莞期末）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则
D．若方程有两个不同的实数解，则
12．（2026高一上·东莞期末）函数且的反函数过点，则　 　．
13．（2026高一上·东莞期末）已知，则　 　．
14．（2026高一上·东莞期末）已知函数 ，，且，则（1）　 　，（2）当 取得最小值时，　 　．
15．（2026高一上·东莞期末）设集合．
（1）全集，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（2026高一上·东莞期末）已知．
（1）化简函数；
（2）若，求．
17．（2026高一上·东莞期末）已知函数.
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围；
（3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围．
18．（2026高一上·东莞期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
19．（2026高一上·东莞期末）已知函数，的最小正周期为，
（1）求在上的取值范围；
（2）证明：在区间上有唯一零点；
（3）证明：在上恒成立．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：若，则或 ，当时， ，不满足集合元素的互异性，
则，
故答案为：A.
【分析】根据元素和集合的关系，结合集合元素的特性求解即可.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，，的否定为：，.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的解集
【解析】【解答】解：当时，成立，当时，满足成立，但不成立．
则“”是“”成立的充分不必要条件．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和不等式的基本性质以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
4．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设该扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形的弧长和面积均为，
所以，解得；
所以，该扇形的圆心角（正角）为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和扇形的弧长公式与扇形的面积公式，从而列出圆心角与半径的方程组，进而求解方程组得出该扇形的圆心角的大小和半径的长.
5．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递减，
且，，，
则的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为，
对于选项A，因为，
所以为偶函数；
对于选项B，因为，
所以为偶函数；
对于选项C，因为，
所以为奇函数，故C错误；
对于选项D，因为，
所以为偶函数；
由函数图象知，选项A中；
选项B中，故B错误；
选项D中；
由函数图象知，当时，，
选项A中，当时，，故A正确；
选项D中，当时，，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据偶函数的定义和函数图象的对称性，则可知函数为偶函数和，且当时，，从而逐项判断找出函数可能的解析式.
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，将的图像向左平移，
可得，故A正确；
对于B，当时，则，
因为函数关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将代入函数中，则，故C正确；
对于D，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
则在区间上不单调递减，故D错误.
故答案为：D．
【分析】由余弦型函数的图象平移变换可判断选项A；根据换元法和余弦函数的对称性，则可判断选项B；将代入函数中，再验证是否为，则可判断选项C；根据换元法和余弦函数的单调性，则可判断选项D，从而找出结论错误的选项．
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为函数是定义域为的偶函数，所以，
由，可得，，
则，即，
则，即是周期为的周期函数，
则.
故答案为：D.
【分析】根据是定义域为的偶函数，且，化简求得是周期为的周期函数，再根据时，， 利用函数的周期性计算即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则、指数的运算法则、换底公式，从而逐项判断找出计算正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
A、因为，所以，
，则，故A正确；
B、易知，因为，
所以，故B错误；
CD、由，解得得，
则，故C，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得，再根据同角三角函数的基本关系逐项求解判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的图象；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为R，
A、，则函数是奇函数，故A正确；
B、因为为增函数，所以为减函数，若，则，故B错误；
C、因为，所以，
因为为减函数，所以，所以，故C正确；
D、令，
作出函数、和的图象，如图所示：
若方程有两个不同的实数解，由图得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，根据函数奇偶性定义求解即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；若，，利用函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；令，同一坐标系中作出函数、和的图象，数形结合求解即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由函数，且的反函数的图象过点，
可得图象过点，，
又因为，．
故答案为：3．
【分析】由反函数的性质可得函数图象过点，再利用代入法得出实数a的值．
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数的基本关系式和正弦的二倍角公式求解即可.
14．【答案】；
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，可得，
则，所以，
易知，，
因为，所以，则，
所以，则 ，
令 ，
则，
当且仅当 时，即当 时， 取得最小值，此时也取得最小值．
故答案为：；.
【解答】根据题意，利用对数的运算法则，从而可得的值 ；令 ，结合基本不等式求最值的方法，从而得出当 取得最小值时的的值．
15．【答案】（1）解：由集合，可得，
解不等式，可得，即集合，
则；
（2）解：若，可得，
若，则，即，满足；
若，即，则，解得，
综上，.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据集合补集运算求得，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可；
（2）由，可得，分和讨论，结合集合的包含关系列式求解参数的范围.
（1），而，
故.
（2）因为，故，
若即，则；
若，则，故，
综上，.
16．【答案】（1）解：.
（2）解：因为，所以，
则.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和诱导公式以及同角三角函数基本关系式，从而化简函数.
（2）由题得到，再化弦为切，从而得出的值.
（1）；
（2）因为，所以，
所以.
17．【答案】（1）解：因为函数，
当时，在上单调递增，此时函数值集合为；
当时，在上单调递减，
此时函数值集合为；
在上单调递增，此时函数值集合为，
函数的图象，如图所示：
由图可知，函数的单调递减区间为，
所以，函数的值域为.
（2）解：观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，
则或，
所以的取值范围是.
（3）解：由 ，，
得 ，
如图所示，
在开区间上既有最大值，又有最小值，
则，
所以的取值范围分别为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和单调函数的单调性，从而作出函数图象，再利用函数的图象求出函数的单调递减区间，进而得出函数的值域.
（2）利用函数图象和已知条件，从而求出的取值范围.
（3）利用分段函数图象和x的取值范围以及函数的最值，从而得出实数a的取值范围和实数b的取值范围.
（1）函数，当时，在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象，如图：
函数的单调递减区间为，值域为.
（2）观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，则或，
所以的取值范围是.
（3）由 ，，得 ，
如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则，
所以的取值范围分别为.
18．【答案】（1）解：∵，所以，
又∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）解：由（1）知，
则，
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，
当时，即当时，
则，
由二次函数的性质，
可知当时，即当时，函数取最大值，
∴，
∵，
所以，
则当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由结合已知条件，从而建立方程得出的值，再由函数图象连续不断，从而建立方程得出的值.
（2）由（1）知分段函数的解析式，从而得出分段函数的解析式，再分别用基本不等式求最值的方法和二次函数求最值的方法，比较求出分段函数的最大值，从而得出当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
（1）∵，即，
∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）由（1）知，
则，
当时，，当且仅当，即时取等号.
当，即时，，
由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，
∴，
∵，即，
∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
19．【答案】（1）解：因为的最小正周期为，
所以， 解得，
所以；
由 ，得，
则当时，即当时，有最小值；
当时，即当时，有最大值，
所以上取值范围为.
（2）证明：由（1）可得，
因为， ，
所以，
又因为函数在上单调递增，
所以在上存在唯一零点.
（3）证明：当时，，
因为，所以，，
当时，，
因为， 所以，
综上所述，在上恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）先根据正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，则得出正弦型函数的解析式，再由x的取值范围和正弦函数的性质可得.
（2）先求出函数的表达式，再利用零点存在性定理结合单调性证明即可.
（3）分段证明即可．
（1）因为的最小正周期为，
所以， 解得，所以；
由 得，，
所以当，即时，有最小值；
当，即时，有最大值；
所以上取值范围为.
（2）证明：由（1）可得，
因为， ，
所以，
又因为函数在上单调递增，
所以在上存在唯一零点；
（3）当时，，
因为，所以，，
当时，，
因为， 所以，
综上，在上恒成立.
1 / 1

展开更多......

收起↑