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1.形如_____________________的函数,叫作一次函数;
y=kx+b(k,b是常数,k≠0)
2.特别地,当b=0时,y=kx+b就变成了____,形如______
_____________的函数,叫作正比例函数.
y=kx
(k是常数,k≠0)
一次函数
正比例函数
y=kx
复习导入
正比例函数
解析式:y=kx (k≠0)
图象:经过原点和(1,k)的一条直线
y
x
O
k>0
y
x
O
k<0
性质:k>0,y随x的增大而增大,k<0,y随x的增大而减小.
一次函数
解析式：y=kx+b (k≠0)
？
？
对于一次函数y=kx+b大家想研究什么？应该怎么研究呢？
第二十三章 一次函数
人教版八年级下册
23.2.2 一次函数的图象和性质
23.2 一次函数的图象和性质
探索新知
例2 画出函数y=-3x,y=-3x+1,y=-3x-2的图象.
列表
y=-3x
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
-4
x ... -1 -0.5 0 0.5 1 ...
y=-3x ... ...
y=-3x+1 ... ...
y=-3x-2 ... ...
描点
连线
分析：三个函数y=-3x,y=-3x+1,y=-3x-2的自变量的取值范围是全体实数.列表表示几组对应值.
3
2
-2
y=-3x+1
-5
仔细观察图中三个函数的图象,看看你能发现什么？
y=-3x-2
2.5
-0.5
1
-5
-2
4
-2
-3.5
-0.5
1
1
0
-3
比较上面函数的图象的相同点与不同点,填写你的观察结果.
(1)这三个函数的图象形状都是 ,并且倾斜的程度 ；
(2)函数y=-3x的图象经过原点,函数y=-3x+1的图象与y轴的交点坐标是 ,可以看作是由直线y=-3x向 平移 个单位长度得到的;函数y=-3x-2的图象与y轴的交点坐标是 ,可以看作是由直线y=-3x向 平移 个单位长度得到的.
直线
相同
（0,1）
上
1
（0,-2）
下
2
联系上面结果,考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状？它与直线y=kx(k≠0)有什么关系？
(2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)互相平行；
(1)一次函数的图象是一条直线；
(3)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长得到(当b＞0时,向上平移b个单位);(当b＜0时,向下平移-b个单位).一次函y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b.
1.一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b.
2.一次函数的图象与正比例函数的图象的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx沿y轴上下平移|b|个单位长得到.当b＞0时,向上平移b个单位;当b＜0时,向下平移-b个单位.
知识归纳
x
y
O
y=kx+b
(0,b)
3.一次函数图象的画法
(1)两点法：
因为两点确定一条直线,所以一般选取直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与两坐标轴的交点,
(- ,0)
k
b
还可以选择(0,b),(1,k+b)两点,即可画出一次函数的图象.
k
b
即(0,b)与(- ,0)画直线.
x
y
O
y=kx
(2)平移法：一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是由直线y=kx沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的,反之,直线y=kx也可以通过沿y轴平移直线y=kx+b得到.
例2 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
分析:由于一次函数的图象是直线,因此只要确定两个点就能画出它们.
过点(0,-1)与点(1,1)画出直线y=2x-1；
x 0 1
y=2x-1
y=-0.5x+1
解：列表表示当x=0,x=1时两个函数的对应值.
O
1
2
3
4
4
-3
-2
-1
x
y
-4
3
2
-2
y=-0.5x+1
y=2x-1
-1
1
1
0.5
过点(0,1)与点(1.0.5)画出直线y=-0.5x+1.
例2 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
分析:先画直线y=2x,平移能得到直线y=2x-1;
O
1
2
3
4
4
-3
-2
-1
x
y
-4
3
2
-2
y=-0.5x+1
y=2x-1
y = 2x
y=2x-1
向下平移 1 个单位长度
y = -0.5x
y = -0.5x + 1
向上平移 1 个单位长度
y=2x
再画直线y=-0.5x,平移能得到直线与y=-0.5x+ 1.
y=-0.5x
你还有其他办法得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1的图象吗？说出与同学分享一下.
探索发现
画出函数y=x+1,y=-x+1及y=2x+1,y=-2x+l的图象.由它们联想:一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响？观察这些直线,总结它们从左向右上升或下降的规律.
O
1
2
3
4
4
-3
-2
-1
x
y
-4
3
2
-2
y=2x-1
y=x+1
O
1
2
3
4
4
-3
-2
-1
x
y
-4
3
2
-2
y=-0.5x+1
1
1
y=2x+1
y=-x+1
y=-2x+l
观察发现
你能归纳出一次函数的性质吗？
1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为 ,与y轴交点坐标为 ,图象经过 象限,y随x的增大而 .
( ，0)
一、三、四
(0,-3)
增大
随堂练习
A
2.一次函数y=x+2的图象大致是( )
A
B
C
D
2. 分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象,并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
（1）y = x-1, y = x,y = x + 1；
y
O
-1
1
-2
-3
2
3
x
-1
1
2
-2
y=x
y=x-1
y=x+1
三个函数的图象都互相平行.
一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2
(k1, k2≠0),当k1=k2,b1≠b2时,两函数的图形平行.
2. 分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象,并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
y
O
-1
1
-2
2
x
-1
1
2
-2
y=-2x-1
y=-x-1
y = -2x-1.
y= - x -1
1
2
（2） y = -x-1,
y= - x -1,
1
2
三个函数的图象与 y 轴的交点均为(0,-1),只是倾斜程度不同.
｜k｜的值越大,直线的倾斜度越大(越陡峭).
3. 已知一次函数y= 4x + 7,当 x > 2 时,利用函数的性质,求函数值 y 的取值范围.
方法一：根据 k 的正负,利用函数增减性求解；
解：当 x = 2 时，y = 4×2 + 7 = 15.
对于 y = 4x + 7，y 随 x 的增大而增大，
所以当 x > 2 时，y > 15.
方法二：画出函数图象,从图象上直观判断.
当 x > 2 时，y > 15.
y
O
8
10
12
6
4
2
14
x
-2
2
4
-4
(2,15)
已知直线y= x,将它向下平移3个单位长度得到的直线是________;
向上平移5个单位长度得到的直线是________.
2
1
A. 一、二、三象限
C. 二、三、四象限
B. 一、二、四象限
D. 一、三、四象限
B
4.在直角坐标系中,函数y=-5x+3的图象经过( )
5.填空.
已知直线y=4x+1,它是由直线y=4x向 平移 个单位长度得到的；
1
上
6.已知关于 x 的一次函数 y = (2m+4)x+(3-n).
(1)当 m,n 取何值时,y 随 x 的增大而减小？
(2)当 m,n 取何值时,图象经过第一、二、三象限？
解：（1）由题意，得 2m + 4 < 0，3-n 是任意实数，所以 m < -2，n 是任意实数.
（2）由题意，得 2m + 4 > 0，3-n > 0，
所以 m > -2，n < 3.
7.求直线y=2x+4与x轴、y轴的交点坐标,并求出该直线与坐标轴围成的三角形的面积.
解：设直线y=2x+4与x轴、y轴的交点
坐标分别为B,A ,则B(-2,0),A(0,4).
x
y
O
A
B
由图可知,OA=4,OB=2 ,则S▲OAB= .
2
1
×2×4=4
8.如图,函数y= kx+1的图象经过点 A(3,-3),且与 x 轴相交于点 B,O 为坐标原点,连接 OA.
（1）求点 B 的坐标；（2）求△OAB 的面积.
解：（1）因为函数 y = kx + 1 的图象
经过点 A（3，-3），所以 3k + 1 = -3，
解得 k = . 所以 y = x + 1. 令 y = 0，
则 x + 1 = 0，解得 x = ，
因此点 B 的坐标为（ ，0）
（2）△OAB 的面积 = .
课堂小结
本节课有哪些收获、体会？
一次函数 y=kx+b 的图象和性质：
k，b 的符号 k > 0 k < 0 b > 0 b < 0 b = 0 b > 0 b < 0 b = 0
图象
与y轴交点的位置
经过的象限
性质 第一、二、三象限
第一、三、四象限
正半轴
第一、三象限
第一、二、四象限
第二、三、四象限
第二、四象限
负半轴
原点
正半轴
负半轴
原点
直线从左向右上升，y随x的增大而增大
直线从左向右下降，y随 x的增大而减小

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