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四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（每小时3分，共36分）
1．（2025七下·梓潼月考）下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根
2．（2025七下·梓潼月考）下面四个图形中，与互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·梓潼月考）下列说法中：①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③相等的角是对顶角；④两点确定一条直线．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2025七下·梓潼月考）如图，的同位角是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·梓潼月考）如图，在四边形中，为上一点，连接，下列结论中不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2025七下·梓潼月考）如图，直线与直线相交于点E，直线与直线相交于点C，H、G为直线外两点，连接，，不能作为判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·梓潼月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
8．（2025七下·梓潼月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
9．（2025七下·梓潼月考）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·梓潼月考）如图，直线交于点O，平分若，则等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·梓潼月考）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·梓潼月考）如图，下列能判定的条件的个数是（　　）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小时3分，共18分）
13．（2025七下·梓潼月考）4的平方根是 　 　
14．（2025七下·梓潼月考）如图，直线，相交于点O，平分，若，则　 　．
15．（2025七下·梓潼月考）噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在　 　（填或）点受到的危害较小．
16．（2025七下·梓潼月考）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在位置，若，则　 　°
17．（2025七下·梓潼月考）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为　 　．
18．（2025七下·梓潼月考）是连续的两个整数，若，则的值为　 　．
三、解答题（共46分）
19．（2025七下·梓潼月考）已知的平方根是，，满足，求的算术平方根．
20．（2025七下·梓潼月考）如图，已知三角形的顶点，，．将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）画出三角形，并直接写出点的坐标；
（2）求三角形的面积．
21．（2025七下·梓潼月考）如图，直线相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
22．（2025七下·梓潼月考）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
23．（2025七下·梓潼月考）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：；
（2）若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明．
24．（2025七下·梓潼月考）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．”
（1）我们易证：“已知，则”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
（2）结合前面的知识完成如下问题：如图，已知，，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：、的平方根是，A项说法符合题意；
、的平方根是，B项说法不合题意；
、负数没有平方根，C项说法不合题意；
、正数有个平方根，D项说法不合题意；
故选：．
【分析】根据平方根的性质逐一判断即可求得.
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角，
故选：C．
【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可求得.
3．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；垂线的概念；对顶角及其性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：①两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，如：，和比大，错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，错误；
④两点确定一条直线，正确；
∴正确的为：②④；
故选：C．
【分析】根据有理数的加减判断①；根据垂线的定义即可判断②；根据对顶角的性质即可判断③；根据线段的定义即可判断④.
4．【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．即∠2是∠1的同位角．
故答案为：A．
【分析】 两条直线被第三条直线所截，形成的在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角叫做同位角， 同位角的边构成“F”形，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：若，则，故A选项不符合题意；
若，则，故B选项不符合题意；
若，则，故C选项符合题意；
若，则，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同位角相等两直线平行，即可判断A项；根据内错角相等两直线平形，即可判断B项；根据两直线平行内错角相等，即可判断C项；根据两直线平行同旁内角互补，即可判断D项.
6．【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A．由同位角相等，两直线平行判定，故选项A不符合题意；
B．由内错角相等，两直线平行判定，故选项B不符合题意；
C．由同旁内角互补，两直线平行判定，故选项C不符合题意；
D．由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行线的判定方法即可求得．
7．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条，
故答案为：B．
【分析】利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解题即可．
8．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，A不符合题意；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，B符合题意；
相等的两个角的两边不一定分别互为反向延长线，故不一定是对顶角，C不符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同位角的定义、对顶角的定义、平行线的判定及三角形的外角逐项判定即可。
9．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由平移的性质得出BE=CF=AD，然后根据线段构成，由BF=BE+EC+CF=2BE+CE，结合BF=8可求出BE的长，从而即可得到AD的长.
10．【答案】C
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，
故答案为：C．
【分析】由邻补角求出∠AOD的度数，由角平分线定义求出∠DOE的度数，最后再根据邻补角可求出∠COE的度数.
11．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，∵
∴，
∵在三角板中，，
∴．
故答案为：B.
【分析】由两直线平行，内错角相等得出∠3=∠1=25°，然后结合学具的性质，由角的构成，根据∠2=∠CAB-∠3可算出答案.
12．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：①当，可以根据同旁内角互补两直线平行得到，故①正确；
②当时，不可以推出，故②错误；
③当时，不可以推出，故③错误；
④当时，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故④正确．
∴正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐一判断即可.
13．【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．【答案】
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义即可求得．
15．【答案】B
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的长短比较
【解析】【解答】解：由图得，，
∴人站在B点受到的危害较小．
故答案为：B．
【分析】
根据人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小，要使受到的危害较小应该离工厂A远一些， 观察图形发现 受到的危害较小因而可得应该在B出噪音较小，解答即可．
16．【答案】50
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由折叠知，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据折叠可得，最后根据平角可求出∠AED的度数.
17．【答案】22
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质得，△ABC≌△DEF，，，
为和的公共部分，
阴影部分的面积，
，，
，
，
阴影部分的面积为22．
故答案为：22．
【分析】根据平移的性质可得△ABC≌△DEF，DF=AC=7，BE=CF=4，利用等式性质可推出阴影部分的面积=S梯形CFDG，最后根据梯形面积计算公式列式计算可得答案.
18．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，而，
∴，
∵ m，n是两个连续整数，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理的大小，求得m和n的值，再m+n即可．
19．【答案】解：由题意得，解得，
又∵，
∴，，
则，
故的算术平方根为．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】若两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，即可分别求得的值，再由平方根的概念可得的值，再求出指定代数式的值，最后再求出其平方根即可．
20．【答案】（1）解：如图，即为所求的三角形．；

（2）解：，
即三角形的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先根据平移的性质确定A'，B'，C'，顺次连接即可；
（2）先把三角形的补成一个矩形，再减去四个角的三角形的面积，即可求得；
（1）解：（1）如图，即为所求的三角形．；
（2）解：，
即三角形的面积为．
21．【答案】（1）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
（2）解：
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴.
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由邻补角求出∠AOD=140°，由角平分线的定义求出，最后再根据平角可求出∠COF的度数；
（2）由垂直的定义得到，根据，可求出的度数，由平角求出的度数，最后再利用角平分线的定义即可求解．
22．【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义求得，再根据垂直的定义得到=90°，根据即可求得；
（2）设，再根据角平分线的定义可得∠FOC=3x，推出∠EOF=x，再根据∠AOE=∠AOF+∠EOF列方程，解方程即可求得．
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即的度数为．
23．【答案】（1）证明：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）解：；证明如下：
如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；猜想与证明；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作PG∥l1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出PG∥l1∥l2，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠EPG及∠2=∠FPG，最后根据角的构成及等量代换可得结论；
（2） ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=360°，理由如下： 过点P作PG∥l1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出PG∥l1∥l2， 由二直线平行，同旁内角互补得出，然后根据等式性质将两个等式相加，再结合即可得之间的关系．
（1）证明：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）解：；
证明如下：
如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
+
24．【答案】（1）解：命题：已知，则，
这个命题是真命题；
理由如下：如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点C作，根据平行公理的推论可得CF∥DE，根据两直线平行同旁内角互补即可证明；
（2）结合（1）中的平行线的性质可得，推出∠C=∠F，根据（1）中的平行线的判定即可证明.
（1）解：命题：已知，则，这个命题是真命题；理由如下：
如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
1 / 1四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（每小时3分，共36分）
1．（2025七下·梓潼月考）下列说法正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根
【答案】A
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：、的平方根是，A项说法符合题意；
、的平方根是，B项说法不合题意；
、负数没有平方根，C项说法不合题意；
、正数有个平方根，D项说法不合题意；
故选：．
【分析】根据平方根的性质逐一判断即可求得.
2．（2025七下·梓潼月考）下面四个图形中，与互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角，
故选：C．
【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可求得.
3．（2025七下·梓潼月考）下列说法中：①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③相等的角是对顶角；④两点确定一条直线．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；垂线的概念；对顶角及其性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：①两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，如：，和比大，错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，错误；
④两点确定一条直线，正确；
∴正确的为：②④；
故选：C．
【分析】根据有理数的加减判断①；根据垂线的定义即可判断②；根据对顶角的性质即可判断③；根据线段的定义即可判断④.
4．（2025七下·梓潼月考）如图，的同位角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．即∠2是∠1的同位角．
故答案为：A．
【分析】 两条直线被第三条直线所截，形成的在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的两个角叫做同位角， 同位角的边构成“F”形，据此逐一判断得出答案.
5．（2025七下·梓潼月考）如图，在四边形中，为上一点，连接，下列结论中不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：若，则，故A选项不符合题意；
若，则，故B选项不符合题意；
若，则，故C选项符合题意；
若，则，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据同位角相等两直线平行，即可判断A项；根据内错角相等两直线平形，即可判断B项；根据两直线平行内错角相等，即可判断C项；根据两直线平行同旁内角互补，即可判断D项.
6．（2025七下·梓潼月考）如图，直线与直线相交于点E，直线与直线相交于点C，H、G为直线外两点，连接，，不能作为判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A．由同位角相等，两直线平行判定，故选项A不符合题意；
B．由内错角相等，两直线平行判定，故选项B不符合题意；
C．由同旁内角互补，两直线平行判定，故选项C不符合题意；
D．由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行线的判定方法即可求得．
7．（2025七下·梓潼月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条，
故答案为：B．
【分析】利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解题即可．
8．（2025七下·梓潼月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，A不符合题意；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，B符合题意；
相等的两个角的两边不一定分别互为反向延长线，故不一定是对顶角，C不符合题意；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同位角的定义、对顶角的定义、平行线的判定及三角形的外角逐项判定即可。
9．（2025七下·梓潼月考）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由平移的性质得出BE=CF=AD，然后根据线段构成，由BF=BE+EC+CF=2BE+CE，结合BF=8可求出BE的长，从而即可得到AD的长.
10．（2025七下·梓潼月考）如图，直线交于点O，平分若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，
故答案为：C．
【分析】由邻补角求出∠AOD的度数，由角平分线定义求出∠DOE的度数，最后再根据邻补角可求出∠COE的度数.
11．（2025七下·梓潼月考）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，∵
∴，
∵在三角板中，，
∴．
故答案为：B.
【分析】由两直线平行，内错角相等得出∠3=∠1=25°，然后结合学具的性质，由角的构成，根据∠2=∠CAB-∠3可算出答案.
12．（2025七下·梓潼月考）如图，下列能判定的条件的个数是（　　）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：①当，可以根据同旁内角互补两直线平行得到，故①正确；
②当时，不可以推出，故②错误；
③当时，不可以推出，故③错误；
④当时，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故④正确．
∴正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐一判断即可.
二、填空题（每小时3分，共18分）
13．（2025七下·梓潼月考）4的平方根是 　 　
【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．（2025七下·梓潼月考）如图，直线，相交于点O，平分，若，则　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义即可求得．
15．（2025七下·梓潼月考）噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在　 　（填或）点受到的危害较小．
【答案】B
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的长短比较
【解析】【解答】解：由图得，，
∴人站在B点受到的危害较小．
故答案为：B．
【分析】
根据人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小，要使受到的危害较小应该离工厂A远一些， 观察图形发现 受到的危害较小因而可得应该在B出噪音较小，解答即可．
16．（2025七下·梓潼月考）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在位置，若，则　 　°
【答案】50
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由折叠知，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据折叠可得，最后根据平角可求出∠AED的度数.
17．（2025七下·梓潼月考）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】22
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质得，△ABC≌△DEF，，，
为和的公共部分，
阴影部分的面积，
，，
，
，
阴影部分的面积为22．
故答案为：22．
【分析】根据平移的性质可得△ABC≌△DEF，DF=AC=7，BE=CF=4，利用等式性质可推出阴影部分的面积=S梯形CFDG，最后根据梯形面积计算公式列式计算可得答案.
18．（2025七下·梓潼月考）是连续的两个整数，若，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，而，
∴，
∵ m，n是两个连续整数，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理的大小，求得m和n的值，再m+n即可．
三、解答题（共46分）
19．（2025七下·梓潼月考）已知的平方根是，，满足，求的算术平方根．
【答案】解：由题意得，解得，
又∵，
∴，，
则，
故的算术平方根为．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】若两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，即可分别求得的值，再由平方根的概念可得的值，再求出指定代数式的值，最后再求出其平方根即可．
20．（2025七下·梓潼月考）如图，已知三角形的顶点，，．将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）画出三角形，并直接写出点的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求的三角形．；

（2）解：，
即三角形的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先根据平移的性质确定A'，B'，C'，顺次连接即可；
（2）先把三角形的补成一个矩形，再减去四个角的三角形的面积，即可求得；
（1）解：（1）如图，即为所求的三角形．；
（2）解：，
即三角形的面积为．
21．（2025七下·梓潼月考）如图，直线相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
（2）解：
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴.
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由邻补角求出∠AOD=140°，由角平分线的定义求出，最后再根据平角可求出∠COF的度数；
（2）由垂直的定义得到，根据，可求出的度数，由平角求出的度数，最后再利用角平分线的定义即可求解．
22．（2025七下·梓潼月考）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义求得，再根据垂直的定义得到=90°，根据即可求得；
（2）设，再根据角平分线的定义可得∠FOC=3x，推出∠EOF=x，再根据∠AOE=∠AOF+∠EOF列方程，解方程即可求得．
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即的度数为．
23．（2025七下·梓潼月考）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：；
（2）若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明．
【答案】（1）证明：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）解：；证明如下：
如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；猜想与证明；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作PG∥l1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出PG∥l1∥l2，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠EPG及∠2=∠FPG，最后根据角的构成及等量代换可得结论；
（2） ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=360°，理由如下： 过点P作PG∥l1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出PG∥l1∥l2， 由二直线平行，同旁内角互补得出，然后根据等式性质将两个等式相加，再结合即可得之间的关系．
（1）证明：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）解：；
证明如下：
如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
+
24．（2025七下·梓潼月考）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．”
（1）我们易证：“已知，则”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
（2）结合前面的知识完成如下问题：如图，已知，，，求证：．
【答案】（1）解：命题：已知，则，
这个命题是真命题；
理由如下：如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点C作，根据平行公理的推论可得CF∥DE，根据两直线平行同旁内角互补即可证明；
（2）结合（1）中的平行线的性质可得，推出∠C=∠F，根据（1）中的平行线的判定即可证明.
（1）解：命题：已知，则，这个命题是真命题；理由如下：
如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
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