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湖南省娄底市涟源市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（2025八下·涟源月考）在中，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·涟源月考）正六边形每一个外角的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·涟源月考）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·涟源月考）如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
5．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
6．（2025八下·涟源月考）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．100
7．（2025八下·涟源月考）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．3· C．4 D．5
8．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
9．（2025八下·涟源月考）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　）
A．17 B．24 C．26 D．28
10．（2025八下·涟源月考）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．（2025八下·涟源月考）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是　 　．
12．（2025八下·涟源月考）在中， ． 若， 则　 　．
13．（2025八下·涟源月考）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了　 　米．
14．（2025八下·涟源月考）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是　 　．
15．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，点D，E在上，，．已知，则的长为　 　．
16．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为　 　．
17．（2025八下·涟源月考）如图，是正五边形，延长、交于点，则　 　．
18．（2025八下·涟源月考）如图，，M、N分别是、的中点，，，则　 　．
三、解答题 (每小题6分，共12分)
19．（2025八下·涟源月考）一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．
20．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，于点， 若，求的长．
四、解答题(每小题8分，共16分)
21．（2025八下·涟源月考）已知： 四边形中， ，， ， ，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
22．（2025八下·涟源月考）某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
五、解答题 (每小题9分，共18分)
23．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．
24．（2025八下·涟源月考）如图，已知AC平分，于E，于F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
六、解答题 (每小题10分，共20分)
25．（2025八下·涟源月考）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）已知， ，求的值．
26．（2025八下·涟源月考）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，，且，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质得到，然后列二元一次方程组解答即可．
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】根据正多边形的性质以及多边形的外角和，即可求得.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理，逐一计算即可判断．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：于点E，于点F，
，
，，
；
故①符合题意；
，
，
，，
；
故②符合题意；
，，，
；
故③符合题意；
，
，即，
，，
；
故③符合题意；
综上所述，①②③④可以判定；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形证明求解即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是高，，，
∴，
∴，
∵，是中线，
∴，
故选：A．
【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质， 根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，即可求得．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据正方形的面积公式可得，，根据勾股定理可得，即可求得AB的长.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D点作垂足为E，
∵是的角平分线，，，
∴．
故选：B．
【分析】过D点作垂足为E，根据角平分线的性质即可求得DE=CD．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
，
∵，，
∴，
．
故选：B．
【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据外角的性质求得，根据等角对等边可得，即可求得.
9．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设
根据题意可知，，，，，
在中，
，即
解得：，即钟摆AD的长度是26cm.
故答案为：C．
【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
故选：A．
【分析】过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的三线合一可得，即可求得.
11．【答案】八边形
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线，
则该多边形的边数为：，
故答案为：八边形．
【分析】在任何多边形中，从一个顶点出发可以向其它所有非相邻的顶点（除了自身和两个邻点）引对角线，故对于一个n边形，从一个顶点出发可以引出 ( n 3 ) 条对角线，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】直接利用勾股定理求解．
13．【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意知，“路”长（米），
则少走了：（米）；
故答案为：4．
【分析】先由勾股定理求出斜边即“路”的长，再用两直角边的和减去“路”长即可．
14．【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ AC，BC互相垂直，M是AB的中点，
∴是直角三角形，是斜边上的中线，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点H，
则，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据等腰三角形的性质求得，根据等边三角形的判定与性质可得，过点作于点H，，根据勾股定理求出，再利用30°的直角三角形的性质即可求得．
16．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，然后根据角平分线的定义与性质得，，从而利用三角形内角和定理求出，进而根据含30°的直角三角形的性质即可求解.
17．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，、为正五边形的外角，
正五边形的外角和为，
，
．
故答案为：36．
【分析】利用多边形的外角和定理可得，再利用三角形内角和定理即可求得∠F．
18．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，如图，
∵，M是的中点，，
∴，
∵N是的中点，
∴，，
在中，
由勾股定理得，，
∴；
故答案为：8．
【分析】连接，，根据直角三角形斜边中线定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据勾股定理即可求得．
19．【答案】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，，
∴ 这个多边形的边数为：9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 本题主要考查了多边形外角和和内角和综合， 设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为和外角和为360度，列出方程求解即可．
20．【答案】解：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，先求出BC=AB，再求得BD=BC.
21．【答案】（1）解：在中， ，，，
．
答：的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再利用割补法求解即可．
（1）解：在中， ，，，
根据勾股定理得，．
∴的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
22．【答案】（1）解：由勾股定理得，
（米），
（米），
（2）解：如图，在上截取米，连接，
由勾股定理得，（米），
（米），
他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差解答即可；
（2）在上截取米，连接，根据勾股定理求出的长解答即可．
（1）解：由勾股定理得，
（米），
（米），
（2）解：如图，在上截取米，连接，
由勾股定理得，（米），
（米），
他应该往回收线8米．
23．【答案】（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：
，
，
，
同理，，
，
的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明；
（2）根据，可得，求得∠BMF和∠CME，再根据由平角即可求得．
（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
的度数为．
24．【答案】解：（1）AC平分，，，
，和都是直角三角形，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
即的值为4．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据HL即可证明；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据HL即可证明推出AF=AE，再根据线段的和差可得AB+AD=2AE，即可求得．
25．【答案】（1）（1）
解： ∵，∴，
又∵ ，
∴，
∴
（2）证明：设，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题是考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的综合应用题型，解题核心是掌握等腰三角形(等边对等角)，直角三角形内角和以及勾股定理的应用，准确分析角与角，边与边之间的关系.
（1）利用直角三角形的内角和求出的度数，再根据等边对等角，得出即可求出∠BAC的度数；
（2）设，结合等腰三角形和直角三角形的角的关系，证明∠BAC=2∠D；
（3）过C作垂线，构造为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可．
（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得，利用三角形外角的性质可得，再根据，即可求得；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理，即可证明；
（3）先根据求出，再根据三角形的面积公式计算的面积即可．
（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
1 / 1湖南省娄底市涟源市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（2025八下·涟源月考）在中，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质得到，然后列二元一次方程组解答即可．
2．（2025八下·涟源月考）正六边形每一个外角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】根据正多边形的性质以及多边形的外角和，即可求得.
3．（2025八下·涟源月考）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理，逐一计算即可判断．
4．（2025八下·涟源月考）如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：于点E，于点F，
，
，，
；
故①符合题意；
，
，
，，
；
故②符合题意；
，，，
；
故③符合题意；
，
，即，
，，
；
故③符合题意；
综上所述，①②③④可以判定；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形证明求解即可。
5．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是高，，，
∴，
∴，
∵，是中线，
∴，
故选：A．
【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质， 根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，即可求得．
6．（2025八下·涟源月考）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．100
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据正方形的面积公式可得，，根据勾股定理可得，即可求得AB的长.
7．（2025八下·涟源月考）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．3· C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D点作垂足为E，
∵是的角平分线，，，
∴．
故选：B．
【分析】过D点作垂足为E，根据角平分线的性质即可求得DE=CD．
8．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
，
∵，，
∴，
．
故选：B．
【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据外角的性质求得，根据等角对等边可得，即可求得.
9．（2025八下·涟源月考）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　）
A．17 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设
根据题意可知，，，，，
在中，
，即
解得：，即钟摆AD的长度是26cm.
故答案为：C．
【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
10．（2025八下·涟源月考）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
故选：A．
【分析】过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的三线合一可得，即可求得.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．（2025八下·涟源月考）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是　 　．
【答案】八边形
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线，
则该多边形的边数为：，
故答案为：八边形．
【分析】在任何多边形中，从一个顶点出发可以向其它所有非相邻的顶点（除了自身和两个邻点）引对角线，故对于一个n边形，从一个顶点出发可以引出 ( n 3 ) 条对角线，据此解答即可.
12．（2025八下·涟源月考）在中， ． 若， 则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】直接利用勾股定理求解．
13．（2025八下·涟源月考）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了　 　米．
【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意知，“路”长（米），
则少走了：（米）；
故答案为：4．
【分析】先由勾股定理求出斜边即“路”的长，再用两直角边的和减去“路”长即可．
14．（2025八下·涟源月考）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是　 　．
【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ AC，BC互相垂直，M是AB的中点，
∴是直角三角形，是斜边上的中线，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得.
15．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，点D，E在上，，．已知，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点H，
则，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据等腰三角形的性质求得，根据等边三角形的判定与性质可得，过点作于点H，，根据勾股定理求出，再利用30°的直角三角形的性质即可求得．
16．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，然后根据角平分线的定义与性质得，，从而利用三角形内角和定理求出，进而根据含30°的直角三角形的性质即可求解.
17．（2025八下·涟源月考）如图，是正五边形，延长、交于点，则　 　．
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，、为正五边形的外角，
正五边形的外角和为，
，
．
故答案为：36．
【分析】利用多边形的外角和定理可得，再利用三角形内角和定理即可求得∠F．
18．（2025八下·涟源月考）如图，，M、N分别是、的中点，，，则　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，如图，
∵，M是的中点，，
∴，
∵N是的中点，
∴，，
在中，
由勾股定理得，，
∴；
故答案为：8．
【分析】连接，，根据直角三角形斜边中线定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据勾股定理即可求得．
三、解答题 (每小题6分，共12分)
19．（2025八下·涟源月考）一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，，
∴ 这个多边形的边数为：9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 本题主要考查了多边形外角和和内角和综合， 设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为和外角和为360度，列出方程求解即可．
20．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，，于点， 若，求的长．
【答案】解：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，先求出BC=AB，再求得BD=BC.
四、解答题(每小题8分，共16分)
21．（2025八下·涟源月考）已知： 四边形中， ，， ， ，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：在中， ，，，
．
答：的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再利用割补法求解即可．
（1）解：在中， ，，，
根据勾股定理得，．
∴的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
22．（2025八下·涟源月考）某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：由勾股定理得，
（米），
（米），
（2）解：如图，在上截取米，连接，
由勾股定理得，（米），
（米），
他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差解答即可；
（2）在上截取米，连接，根据勾股定理求出的长解答即可．
（1）解：由勾股定理得，
（米），
（米），
（2）解：如图，在上截取米，连接，
由勾股定理得，（米），
（米），
他应该往回收线8米．
五、解答题 (每小题9分，共18分)
23．（2025八下·涟源月考）如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：
，
，
，
同理，，
，
的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明；
（2）根据，可得，求得∠BMF和∠CME，再根据由平角即可求得．
（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
的度数为．
24．（2025八下·涟源月考）如图，已知AC平分，于E，于F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】解：（1）AC平分，，，
，和都是直角三角形，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
即的值为4．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据HL即可证明；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据HL即可证明推出AF=AE，再根据线段的和差可得AB+AD=2AE，即可求得．
六、解答题 (每小题10分，共20分)
25．（2025八下·涟源月考）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）已知， ，求的值．
【答案】（1）（1）
解： ∵，∴，
又∵ ，
∴，
∴
（2）证明：设，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题是考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的综合应用题型，解题核心是掌握等腰三角形(等边对等角)，直角三角形内角和以及勾股定理的应用，准确分析角与角，边与边之间的关系.
（1）利用直角三角形的内角和求出的度数，再根据等边对等角，得出即可求出∠BAC的度数；
（2）设，结合等腰三角形和直角三角形的角的关系，证明∠BAC=2∠D；
（3）过C作垂线，构造为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可．
（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
26．（2025八下·涟源月考）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，，且，求的面积．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得，利用三角形外角的性质可得，再根据，即可求得；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理，即可证明；
（3）先根据求出，再根据三角形的面积公式计算的面积即可．
（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
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