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四川省成都市金牛区成都外国语学校2024-2025学年七年级下学期第一学月数学试题
一、选择题（32分）
1．（2025七下·金牛月考）下列图形中，与互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·金牛月考）下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（　　）
A．2 B．8 C．10 D．12
3．（2025七下·金牛月考）如图，直线，直线与直线、都相交，，则（　　）
A．125° B．115° C．65° D．25°
4．（2025七下·金牛月考）下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
5．（2025七下·金牛月考）如图，，的平分线与交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·金牛月考）在数学课上，同学们在练习画中边AC上的高时，出现下列四种情况，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025七下·金牛月考）下列式子中，正确的有（　　）
①m3 m5=m15； ②（a3）4=a7； ③（-a2）3=-（a3）2； ④（3x2）2=6x6
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2025七下·金牛月考）如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（20分）
9．（2025七下·金牛月考）若，，则　 　．
10．（2025七下·金牛月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为　 　．
11．（2025七下·金牛月考）如图，直线相交于点O，于点O，，则　 　．
12．（2025七下·金牛月考）如图所示，A、B在一水池放入两侧，若BE=DE，∠B=∠D=90°，CD=10m，则水池宽AB=　 　m．
13．（2025七下·金牛月考）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BE边上的点处，若，则∠1＝　 　．
三、解答题
14．（2025七下·金牛月考）计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
15．（2025七下·金牛月考）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025七下·金牛月考）把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由．
已知：B、C、E三点在一条直线上，．
试说明：
解：∵（已知）
∴ （ ）
∵（已知）
∴ （ ）
∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴（ ），（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
17．（2025七下·金牛月考）如图，已知的高，角平分线，，，求的度数．
18．（2025七下·金牛月考）如图，等边△ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
四、填空题（20分）
19．（2025七下·金牛月考）am=2，an=3，a2m+3n=　 　．
20．（2025七下·金牛月考）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则　 　．
21．（2025七下·金牛月考）如图，，，，则　 　．
22．（2025七下·金牛月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，则∠DBF的度数为　 　．
23．（2025七下·金牛月考）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　 　．（填序号）
五、解答题
24．（2025七下·金牛月考）如图，小强为了测量高楼，在旗杆与楼之间选定一点P，使得，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离米，小强计算出了楼高，楼高是多少米？
25．（2025七下·金牛月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：　 　；
（2）记，，．试说明：．
26．（2025七下·金牛月考）（1）探索发现：如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，直接写出与的数量关系
（2）阅读分析：小鹏遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．
小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．
图2中的、、三条线段之间的数量关系为___________，并说明理由．
（3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且．
①全等的两个三角形为___________；
②若，的面积为2，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、与不互为对顶角，故A项不符合题意；
B、与不互为对顶角，故B项不符合题意；
C、与互为对顶角，故C项符合题意；
D、与不互为对顶角，故D项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长为4，6，设第第三边长为x，
∴6-4＜x＜6+4即2＜x＜10.
∴2＜8＜10.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的两边之差＜第三边＜两边之和，建立不等式求出第三边的取值范围，再根据其取值范围，可确定出正确的选项。
3．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵，
∴∠2=180°-∠1=180°-115°=65°.
故选：C.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可求得.
4．【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、能够完全重合的两个图形就是全等形，所以两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B、两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C、两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D、两个正三角形只是形状相同，大小不一定相等，所以不一定是全等图形，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】能够完全重合的两个图形就是全等形，全等图形的大小、形状都一样，故全等图形的面积、周长都相等，但周长相等、面积相等的图形不一定是全等图形，据此一一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据平行线的性质得，，根据角平分线的定义可得，最后根据平角定义可得∠CDE=180°-∠CDB．
6．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：AC边上的高是过B作边AC的垂线，符合这个条件的是C，
故选：C．
【分析】根据三角形的高的定义逐一判断即可求得.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：① ，故该项不符合题意；② ，故该项不符合题意；③ ， ，故该项符合题意；④ ，故该项不符合题意；综上所述，正确的只有③，
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．
8．【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：C ∵，∴，故C项符合题意；
A、B、D中的条件都不能判定，
故选：C．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可．
9．【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，计算即可求得．
10．【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
【分析】分类讨论：（1）若3为腰长，7为底边长；（2）若7为腰长，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
11．【答案】
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，∠AOE=36°，
∵ ∠AOE=36°， 直线相交于点O，
∴.
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义可得∠EOD=90°，根据平角的定义可得，即可求得.
12．【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（ASA），
∴CD=AB=10m．
故答案为：10．
【分析】利用ASA判定△ABE≌△CDE推出CD=AB，即可求得．
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质即可求得．
14．【答案】（1）解：，
，
（2）解：，
，
（3）解：，
，
，
，
（4）解：，
，
，
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）把看作整体，根据幂的乘方和合并同类项进行计算即可；
（3）逆用积的乘方进行计算即可求得；
（4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可求得．
（1）解：
（2）
（3）
（4）
15．【答案】解：原式==，
将代入，原式==
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据整式加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可完成化简，最后代入y的值求值即可．
16．【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】先根据“内错角相等，两直线平行”可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，根据平行公理的推论可得，根据“两直线平行，内错角相等”得，最后根据等量代换即可证明.
17．【答案】解：∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得出，，进而推出，根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的外角定义可得∠AED=∠B+∠BAE，即可求得．
18．【答案】解：（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE∥BC，理由如下：
∵ACE≌△BCD，
∴∠ABC=∠CAE=60°
又∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠ACB
∴ AE∥BC
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，推出∠BCD=∠ACE，根据SAS证明 △ACE≌△BCD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠CAE=60°，推出∠CAE=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行可得AE∥BC.
19．【答案】108
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：am=2，an=3，
a2m=4，a3n=27
a2m+3n=a2m．a3n=4×27=108，
故答案为：108．
【分析】根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案．
20．【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵的周长比的周长多，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长之差推出，即可求得.
21．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，解得，，
∴．
故答案为：．
【分析】过P作，根据平行公理的推论可得PM∥CD，根据平行线的性质可得，再根据条件设∠A为x°，∠APD为3x°，根据∠APD=∠APM+∠MPD列方程，即可求得.
22．【答案】30°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠DAB＝45°，
∵∠ABE＝15°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】先根据“HL”证明Rt△BDF≌Rt△ADC推出AD=BD，根据等腰直角三角形的判定与性质可得∠ABD，再根据∠DBF=∠ABD-∠ABE即可求得．
23．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，
、分别是与的平分线，
，，
，
，
故①正确；
如图，延长交延长线于，
，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，，
，
∴，
在与中，
，
，
，
，故②正确；
，
，即点为的中点，
与不一定相等，
与不一定相等，故③错误；
，，
的取值范围为，故④正确；
综上所述，正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可得，，，可以推出，即可判断①；延长交的延长线于点F，先根据ASA证明和，即可判断①②④正确．
24．【答案】解：∵，，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴（米）．
答：楼高是26米
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据同角的余角相等可得∠DCP=∠APB，根据ASA判定推出AB=DP，根据DP=DB-PB即可求得.
25．【答案】（1）3
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：∵ 23=8，
∴；
故答案为：3.
【分析】（1）根据新定义的运算法则进行计算即可；
（2）利用新定义可知，，，根据同底数幂的乘法法则，即可证明．
（1）解：；
故答案为：3；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴．
26．【答案】解：（1）；
（2）．
理由：如图2，∵，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）①；
②∵，
∴，，
∴，
∵，的面积为2，
∴，则，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】解：（1）设A到的距离为h，
则，，
∴；
（3）①．
理由：如图3，∵，
∴，，
∴，又，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）设A到的距离为h，利用三角形的面积公式即可求得；
（2）利用AAS判定推出，即可求得；
（3）①根据AAS证明 即可；
②根据三角形的面积得到，再根据全等三角形的性质求得，即可求得．
1 / 1四川省成都市金牛区成都外国语学校2024-2025学年七年级下学期第一学月数学试题
一、选择题（32分）
1．（2025七下·金牛月考）下列图形中，与互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、与不互为对顶角，故A项不符合题意；
B、与不互为对顶角，故B项不符合题意；
C、与互为对顶角，故C项符合题意；
D、与不互为对顶角，故D项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可．
2．（2025七下·金牛月考）下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（　　）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长为4，6，设第第三边长为x，
∴6-4＜x＜6+4即2＜x＜10.
∴2＜8＜10.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的两边之差＜第三边＜两边之和，建立不等式求出第三边的取值范围，再根据其取值范围，可确定出正确的选项。
3．（2025七下·金牛月考）如图，直线，直线与直线、都相交，，则（　　）
A．125° B．115° C．65° D．25°
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵，
∴∠2=180°-∠1=180°-115°=65°.
故选：C.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可求得.
4．（2025七下·金牛月考）下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、能够完全重合的两个图形就是全等形，所以两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B、两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C、两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D、两个正三角形只是形状相同，大小不一定相等，所以不一定是全等图形，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】能够完全重合的两个图形就是全等形，全等图形的大小、形状都一样，故全等图形的面积、周长都相等，但周长相等、面积相等的图形不一定是全等图形，据此一一判断得出答案.
5．（2025七下·金牛月考）如图，，的平分线与交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据平行线的性质得，，根据角平分线的定义可得，最后根据平角定义可得∠CDE=180°-∠CDB．
6．（2025七下·金牛月考）在数学课上，同学们在练习画中边AC上的高时，出现下列四种情况，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：AC边上的高是过B作边AC的垂线，符合这个条件的是C，
故选：C．
【分析】根据三角形的高的定义逐一判断即可求得.
7．（2025七下·金牛月考）下列式子中，正确的有（　　）
①m3 m5=m15； ②（a3）4=a7； ③（-a2）3=-（a3）2； ④（3x2）2=6x6
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：① ，故该项不符合题意；② ，故该项不符合题意；③ ， ，故该项符合题意；④ ，故该项不符合题意；综上所述，正确的只有③，
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．
8．（2025七下·金牛月考）如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：C ∵，∴，故C项符合题意；
A、B、D中的条件都不能判定，
故选：C．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可．
二、填空题（20分）
9．（2025七下·金牛月考）若，，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，计算即可求得．
10．（2025七下·金牛月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
【分析】分类讨论：（1）若3为腰长，7为底边长；（2）若7为腰长，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
11．（2025七下·金牛月考）如图，直线相交于点O，于点O，，则　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，∠AOE=36°，
∵ ∠AOE=36°， 直线相交于点O，
∴.
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义可得∠EOD=90°，根据平角的定义可得，即可求得.
12．（2025七下·金牛月考）如图所示，A、B在一水池放入两侧，若BE=DE，∠B=∠D=90°，CD=10m，则水池宽AB=　 　m．
【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（ASA），
∴CD=AB=10m．
故答案为：10．
【分析】利用ASA判定△ABE≌△CDE推出CD=AB，即可求得．
13．（2025七下·金牛月考）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BE边上的点处，若，则∠1＝　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质即可求得．
三、解答题
14．（2025七下·金牛月考）计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
，
（2）解：，
，
（3）解：，
，
，
，
（4）解：，
，
，
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）把看作整体，根据幂的乘方和合并同类项进行计算即可；
（3）逆用积的乘方进行计算即可求得；
（4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可求得．
（1）解：
（2）
（3）
（4）
15．（2025七下·金牛月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式==，
将代入，原式==
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据整式加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可完成化简，最后代入y的值求值即可．
16．（2025七下·金牛月考）把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由．
已知：B、C、E三点在一条直线上，．
试说明：
解：∵（已知）
∴ （ ）
∵（已知）
∴ （ ）
∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴（ ），（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】先根据“内错角相等，两直线平行”可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，根据平行公理的推论可得，根据“两直线平行，内错角相等”得，最后根据等量代换即可证明.
17．（2025七下·金牛月考）如图，已知的高，角平分线，，，求的度数．
【答案】解：∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得出，，进而推出，根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的外角定义可得∠AED=∠B+∠BAE，即可求得．
18．（2025七下·金牛月考）如图，等边△ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE∥BC，理由如下：
∵ACE≌△BCD，
∴∠ABC=∠CAE=60°
又∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠ACB
∴ AE∥BC
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，推出∠BCD=∠ACE，根据SAS证明 △ACE≌△BCD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠CAE=60°，推出∠CAE=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行可得AE∥BC.
四、填空题（20分）
19．（2025七下·金牛月考）am=2，an=3，a2m+3n=　 　．
【答案】108
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：am=2，an=3，
a2m=4，a3n=27
a2m+3n=a2m．a3n=4×27=108，
故答案为：108．
【分析】根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案．
20．（2025七下·金牛月考）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵的周长比的周长多，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长之差推出，即可求得.
21．（2025七下·金牛月考）如图，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，解得，，
∴．
故答案为：．
【分析】过P作，根据平行公理的推论可得PM∥CD，根据平行线的性质可得，再根据条件设∠A为x°，∠APD为3x°，根据∠APD=∠APM+∠MPD列方程，即可求得.
22．（2025七下·金牛月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，则∠DBF的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠DAB＝45°，
∵∠ABE＝15°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】先根据“HL”证明Rt△BDF≌Rt△ADC推出AD=BD，根据等腰直角三角形的判定与性质可得∠ABD，再根据∠DBF=∠ABD-∠ABE即可求得．
23．（2025七下·金牛月考）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，
、分别是与的平分线，
，，
，
，
故①正确；
如图，延长交延长线于，
，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，，
，
∴，
在与中，
，
，
，
，故②正确；
，
，即点为的中点，
与不一定相等，
与不一定相等，故③错误；
，，
的取值范围为，故④正确；
综上所述，正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可得，，，可以推出，即可判断①；延长交的延长线于点F，先根据ASA证明和，即可判断①②④正确．
五、解答题
24．（2025七下·金牛月考）如图，小强为了测量高楼，在旗杆与楼之间选定一点P，使得，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离米，小强计算出了楼高，楼高是多少米？
【答案】解：∵，，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴（米）．
答：楼高是26米
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据同角的余角相等可得∠DCP=∠APB，根据ASA判定推出AB=DP，根据DP=DB-PB即可求得.
25．（2025七下·金牛月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：　 　；
（2）记，，．试说明：．
【答案】（1）3
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：∵ 23=8，
∴；
故答案为：3.
【分析】（1）根据新定义的运算法则进行计算即可；
（2）利用新定义可知，，，根据同底数幂的乘法法则，即可证明．
（1）解：；
故答案为：3；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴．
26．（2025七下·金牛月考）（1）探索发现：如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，直接写出与的数量关系
（2）阅读分析：小鹏遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．
小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．
图2中的、、三条线段之间的数量关系为___________，并说明理由．
（3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且．
①全等的两个三角形为___________；
②若，的面积为2，直接写出的面积．
【答案】解：（1）；
（2）．
理由：如图2，∵，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）①；
②∵，
∴，，
∴，
∵，的面积为2，
∴，则，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】解：（1）设A到的距离为h，
则，，
∴；
（3）①．
理由：如图3，∵，
∴，，
∴，又，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）设A到的距离为h，利用三角形的面积公式即可求得；
（2）利用AAS判定推出，即可求得；
（3）①根据AAS证明 即可；
②根据三角形的面积得到，再根据全等三角形的性质求得，即可求得．
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