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第1章 二次根式（单元培优）
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 甘谷县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 广南县期中）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．0.1
3．（2026春 重庆校级月考）若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m 4 B．m 4且m≠3 C．m＞4 D．m＜4且m≠3
4．（2025春 黄山期末）若a，b，则可以表示为（　　）
A． B． C．a2b D．ab
5．（2025春 抚顺月考）化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
6．（2025春 拱墅区校级期中）若，则a的取值范围是（　　）
A．﹣2≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣2
7．（2026春 深圳月考）下列算式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025秋 隆昌市校级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
9．（2025春 霸州市期中）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　）
A．12 B． C． D．
10．（2025春 义乌市校级月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC＝BC＝24cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为6cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）
A． B．12cm2 C．27cm2 D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 晋江市期末）计算 　 　 ．
12．（2025 盂县开学）在根式，，，，，，中，最简二次根式有　 　 个．
13．（2025春 环翠区校级月考）计算：（）2014（2）2015＝　 　 ．
14．（2026 海门区校级模拟）已知的值为 　 　 ．
15．（2025秋 仓山区校级期末）已知的结果为正整数，则正整数n的最小值为　 　 ．
16．（2025春 滨城区校级月考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 景泰县期中）若二次根式有意义，化简．
18．（2026 石家庄开学）计算：
（1）（4）﹣（34）；
（2）；
（3）（）2；
（4）．
19．（2025春 前郭县校级月考）已知和是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求的值．
20．（2025春 安阳校级月考）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式．
（1）求a，b的值；
（3）求第三边的长．
21．（2025 安州区开学）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|．
（2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：．
22．（2025春 抚顺月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而12＜18，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
（1）试比较与的大小；
（2）试比较与的大小．
23．（2025春 广安期末）如图，李明家有一块矩形空地ABCD，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为．
（1）求矩形空地ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为7元/kg，且每平方米产草莓15kg．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
24．（2025秋 渠县校级月考）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　 　 ，n＝　 　 ．
（2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　 　 ，b＝　 　 ．
【拓展延伸】
（3）化简．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 二次根式（单元培优）
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 甘谷县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可．
【解答】解：根据二次根式定义逐项分析判断如下：
A．∵﹣2＜0，
∴不是二次根式，故此选项不符合题意；
B．∵的根指数是3，
∴不是二次根式，故此选项不符合题意；
C．∵5＞0，
∴是二次根式，故此选项符合题意；
D．当a+1＜0即a＜﹣1时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（2025春 广南县期中）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．0.1
【答案】B
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．，不是最简二次根式，不符合题意；
D．，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
3．（2026春 重庆校级月考）若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m 4 B．m 4且m≠3 C．m＞4 D．m＜4且m≠3
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式的意义即可得到结果．
【解答】解：由题意可得：，
解之可得：m≤4且m≠3，
故选：B．
4．（2025春 黄山期末）若a，b，则可以表示为（　　）
A． B． C．a2b D．ab
【答案】C
【分析】首先化简二次根式，进而得出答案．
【解答】解：∵a，b，
∴可以表示为：3（）2a2b．
故选：C．
5．（2025春 抚顺月考）化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【答案】A
【分析】先估算π的大小，再判断3﹣π，π﹣4的正负，然后根据二次根式性质即可得解．
【解答】解：∵3＜π＜4，
∴3﹣π＜0，π﹣4＜0，
∴．
故选：A．
6．（2025春 拱墅区校级期中）若，则a的取值范围是（　　）
A．﹣2≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣2
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【解答】解：根据二次根式的性质可知，
∴a≤0，a+2≥0，
∴﹣2≤a≤0．
故选：A．
7．（2026春 深圳月考）下列算式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
不能合并，故选项C错误，不符合题意；
34，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
8．（2025秋 隆昌市校级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A
【分析】先观察数轴得a＜0＜b，|a|＜|b|，则b﹣a＞0，a+b＞0，再化简，即可作答．
【解答】解：观察数轴得a＜0＜b，|a|＜|b|，
则b﹣a＞0，a+b＞0，
∴原式＝|b|+|a+b|﹣|b﹣a|
＝b+a+b﹣（b﹣a）
＝b+a+b﹣b+a
＝2a+b，
故选：A．
9．（2025春 霸州市期中）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目所给公式代入计算即可．
【解答】解：根据题目所给公式可得：P＝12，，
故选：D．
10．（2025春 义乌市校级月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC＝BC＝24cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为6cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）
A． B．12cm2 C．27cm2 D．
【答案】C
【分析】如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出Rt△BPQ是等腰直角三角形，且，从而可得CP的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得FL的长，最后求出EF的长，利用正方形的面积公式计算即可得．
【解答】解：∵如图，，∠C＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
由条件可知能裁剪的纸条的条数为（条），，PQ⊥BC，
∴Rt△BPQ是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 晋江市期末）计算 　8　 ．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：3+5＝8．
故答案为：8．
12．（2025 盂县开学）在根式，，，，，，中，最简二次根式有　3　 个．
【答案】3．
【分析】（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
【解答】解：在根式，，，，，，中，
，，为最简二次根式，有3个．
故答案为：3．
13．（2025春 环翠区校级月考）计算：（）2014（2）2015＝　2　 ．
【答案】2
【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．
【解答】解：（）2014（2）2015
，
故答案为：2．
14．（2026 海门区校级模拟）已知的值为 　3　 ．
【答案】3
【分析】先判断出b的符号，再判断出b﹣a﹣4和a﹣b+1的符号，从而去掉根号，得出答案．
【解答】解：∵0，∴a、b异号，
∵a＞0，∴b＜0，
∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0，
∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1）
＝a﹣b+4﹣a+b﹣1
＝3，
故答案为3．
15．（2025秋 仓山区校级期末）已知的结果为正整数，则正整数n的最小值为　3　 ．
【答案】3．
【分析】先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定3n需为完全平方数，进而求出正整数n的最小值．
【解答】解：，
由题意可得：∴是正整数，
∴3n是完全平方数，
∵n为正整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
16．（2025春 滨城区校级月考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D＝　33　 ．
【答案】33．
【分析】根据题意列式计算出A，B，C，D，然后相加并计算即可．
【解答】解：由题意得A＝5（5）＝2，
B＝5（10）＝1，
C＝5（5）＝2，
D＝5（10），
那么A+B+C+D＝21+233，
故答案为：33．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 景泰县期中）若二次根式有意义，化简．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：
x≤3，从而判断出x﹣4＜0，7﹣x＞0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据题意得﹣2x+6≥0，解得x≤3，
∴x﹣4＜0，7﹣x＞0，
∴
＝4﹣x+7﹣x
＝11﹣2x．
18．（2026 石家庄开学）计算：
（1）（4）﹣（34）；
（2）；
（3）（）2；
（4）．
【分析】（1）先化简，再进行计算；
（2）先计算乘除法，再进行计算；
（3）先进行分母有理化，再进行计算；
（4）先化简，再进行计算．
【解答】解：（1）（4）﹣（34）
；
（2）
＝6+4
＝10；
（3）（）2
；
（4）
．
19．（2025春 前郭县校级月考）已知和是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；
（2）根据算术平方根的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵和是相等的最简二次根式，
∴．
解得，，
∴a的值是0，b的值是2；
（2）2．
20．（2025春 安阳校级月考）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式．
（1）求a，b的值；
（3）求第三边的长．
【分析】（1）根据算术平方根的性质可得2a﹣4≥0，2﹣a≥0，从而得到a＝2，即可求解；
（2）分两种情况：若第三边为斜边，若b＝5为斜边，结合勾股定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴2a﹣4≥0，2﹣a≥0，
∴a＝2，
∴b﹣5＝0，
∴b＝5；
（2）若第三边为斜边，第三边的长为；
若b＝5为斜边，第三边的长为；
综上所述，第三边的长为或．
21．（2025 安州区开学）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|．
（2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负，可得出x的值，进而求出y的取值范围，便可解决问题．
（2）根据三角形三边的关系便可解决问题．
【解答】解：（1）因为x、y都是实数，且满足y1，
则，
所以x，
则y＞1．
所以|x﹣1|
＝|x﹣1|﹣|x﹣1|
＝﹣1．
（2）因为a、b、c为△ABC的三边，
所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
所以
＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）|
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b
＝4c．
22．（2025春 抚顺月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而12＜18，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
（1）试比较与的大小；
（2）试比较与的大小．
【分析】（1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可；
（2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案．
【解答】解：（1），
，，
∵45＜75，
∴，
∴；
（2），，
，，
∵20＜32，
∴，
∴，
∴．
23．（2025春 广安期末）如图，李明家有一块矩形空地ABCD，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为．
（1）求矩形空地ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为7元/kg，且每平方米产草莓15kg．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可；
（2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，长方形空地ABCD的周长为：
；
（2）由题意，得，
，
∴，
∴36×15×7＝3780（元）．
答：销售收入为3780元．
24．（2025秋 渠县校级月考）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　2　 ，n＝　1　 ．
（2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　12　 ，b＝　﹣4　 ．
【拓展延伸】
（3）化简．
【分析】（1）由7+4m2+3n2+2mn，得，可解得答案；
（2）由a+b12﹣4，可得答案；
（3）把被开方数配成完全平方式可得答案．
【解答】解：（1）∵7+4m2+3n2+2mn，
∴，
解得（负值已舍去），
故答案为：2，1；
（2）∵a+b12﹣4，
∴a＝12，b＝﹣4，
故答案为：12，﹣4；
（3）.

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