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第2章 一元二次方程（单元培优）
一．选择题（共10小题）
1．（2026 太和县一模）下列四个方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x＝1 B．x2﹣2＝0 C．x+y＝﹣1 D．
2．（2025秋 威远县期末）关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025秋 威信县月考）一元二次方程7x2＝3x﹣2化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0），它的一次项系数与常数项的和为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
4．（2025秋 太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0
C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0
5．（2025秋 高唐县期末）若将一元二次方程x2﹣6x﹣2017＝0转化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
6．（2025秋 迁安市期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1
7．（2025秋 松滋市期末）一元二次方程x2+5x﹣4＝0的两个实数根为m和n，则代数式m2+n2的值为（　　）
A．17 B．6 C．33 D．26
8．（2026 南阳开学）按照如图所示的计算程序，若a＝4，则关于x的方程x2+4＝bx的根的情况是（　　）
A．方程有两个相等实数根
B．方程没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．无法判断
9．（2026 太和县一模）如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm，宽为8cm的北盘江大桥风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设风景照四周所镶边的宽为xcm，则所列方程正确的是（　　）
A．（8+x）（12+x）＝192 B．（8+2x）（12+2x）＝192
C．（8﹣2x）（12﹣2x）＝192 D．（8﹣x）（12﹣x）＝192
10．（2025秋 长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 大同期末）一元二次方程x2＝2x的解为 　 　 ．
12．（2025秋 晋江市校级期末）若关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ．
13．（2025秋 襄城区校级月考）关于x的方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为　 　 ．
14．（2026 建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 　 　 ．
15．（2025秋 太平区期末）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　 　 %．
16．（2025秋 漳州期末）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有　 　 ．（填正确的序号）
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 北仑区校级期中）解方程：
（1）2（x﹣2）2＝8；
（2）x2﹣4x+2＝0．
18．（2025春 霍邱县月考）已知实数a是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，求代数式的值．
19．（2025春 桥东区期末）计算
习题课上老师给了一道方程：x2+2x＝3x+6．
嘉嘉的解法 原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0……第一步 ∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步 ∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步 琪琪的解法 原方程可化为：x（x+2）＝3（x+2）……第一步 两边都除以（x+2）………………第二步 ∴x＝3………………………………第三步
（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 　 　 步开始错误，琪琪从第 　 　 步开始错误；
（2）写出方程正确的解答过程．
20．（2025秋 绛县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝1，求k的值．
21．（2025春 宿迁校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．（2025春 西湖区校级期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
（1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根；
（3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值．
23．（2025春 西岗区校级期中）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝　 　 ；
（2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；
（3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10，，且c＜10，求c的最大值．
24．（2026 太和县一模）综合与实践
【项目主题】
探究新款迷你无人机校园营销方案
【项目背景】
某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略．
【项目准备】
数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况．
知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式．
工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格．
【项目实施】
阶段一：销售增长趋势分析
任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率．
阶段二：校园促销方案设计
任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
【项目成果】
科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案．
（1）解决任务1．
（2）解决任务2．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程（单元培优）
一．选择题（共10小题）
1．（2026 太和县一模）下列四个方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x＝1 B．x2﹣2＝0 C．x+y＝﹣1 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义分别分析即可得出答案．
【解答】解：A、x＝1是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2﹣2＝0符合一元二次方程的定义，符合题意；
C、x+y＝﹣1含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意，
故选：B．
2．（2025秋 威远县期末）关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】把x＝1代入方程，求出a的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可．
【解答】解：由条件可得：2×1﹣3﹣a＝0，
∴a＝﹣1，
∴（﹣1，3）在第二象限．
故选：B．
3．（2025秋 威信县月考）一元二次方程7x2＝3x﹣2化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0），它的一次项系数与常数项的和为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【答案】A
【分析】将方程化为一般形式后，识别系数并求和．
【解答】解：根据题意可知，一元二次方程7x2＝3x﹣2化成一般形式为：7x2﹣3x+2＝0，
∴a＝7，b＝﹣3，c＝2，
∴b+c＝﹣3+2＝﹣1．
故选：A．
4．（2025秋 太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0
C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0
【答案】C
【分析】利用因式分解法对选项中的方程进行求解即可
【解答】解：由（x+1）（x+2）＝0得，
x1＝﹣1，x2＝﹣2，
所以A选项不符合题意；
由（x﹣1）（x﹣2）＝0得，
x1＝1，x2＝2，
所以B选项不符合题意；
由（x+1）（x﹣2）＝0得，
x1＝﹣1，x2＝2，
所以C选项符合题意；
由（x﹣1）（x+2）＝0得，
x1＝1，x2＝﹣2，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2025秋 高唐县期末）若将一元二次方程x2﹣6x﹣2017＝0转化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】A
【分析】利用配方法解方程的方法把原方程变形为（x﹣3）2＝2026，从而得到a、b的值，然后计算它们的和即可．
【解答】解：x2﹣6x﹣2017＝0，
x2﹣6x＝2017，
x2﹣6x+9＝2026，
（x﹣3）2＝2026，
所以a＝﹣3，b＝2026，
所以a+b＝﹣3+2026＝2023．
故选：A．
6．（2025秋 迁安市期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1
【答案】A
【分析】根据题意列出一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设这个数为x，则x2+3x＝﹣x﹣4，
整理得（x+2）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，
故选：A．
7．（2025秋 松滋市期末）一元二次方程x2+5x﹣4＝0的两个实数根为m和n，则代数式m2+n2的值为（　　）
A．17 B．6 C．33 D．26
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形计算代数式的值．
【解答】解：由根与系数的关系得，，
又∵（m+n）2﹣2mn，
∴m2+n2＝（﹣5）2﹣2×（﹣4）＝25+8＝33．
故选：C．
8．（2026 南阳开学）按照如图所示的计算程序，若a＝4，则关于x的方程x2+4＝bx的根的情况是（　　）
A．方程有两个相等实数根
B．方程没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．无法判断
【答案】C
【分析】先根据如图所示的程序计算出a＝4时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可．
【解答】解：当a＝4时，5﹣a2＝5﹣16＝﹣11＜0，
∴b＝﹣11，
∴方程为x2+11x+4＝0，
∵Δ＝112﹣4×1×4＝105＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
9．（2026 太和县一模）如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm，宽为8cm的北盘江大桥风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设风景照四周所镶边的宽为xcm，则所列方程正确的是（　　）
A．（8+x）（12+x）＝192 B．（8+2x）（12+2x）＝192
C．（8﹣2x）（12﹣2x）＝192 D．（8﹣x）（12﹣x）＝192
【答案】B
【分析】如果风景照四周所镶边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（12+2x）cm和（8+2x）cm，根据总面积即可列出方程．
【解答】解：设风景照四周所镶边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（12+2x）cm和（8+2x）cm，
根据题意可得出方程为：（8+2x）（12+2x）＝192．
故选：B．
10．（2025秋 长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2
【答案】B
【分析】根据新定义分x＞0和x＜0列出方程，再分别求解可得．
【解答】解：若x＞﹣x，即x＞0，则x，解得x＝2（负值舍去）；
若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x，解得x＝﹣1（正值舍去）；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 大同期末）一元二次方程x2＝2x的解为 x1＝0，x2＝2　 ．
【答案】x1＝0，x2＝2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：移项得x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0，
解得x＝0或x＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．（2025秋 晋江市校级期末）若关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　4　 ．
【答案】4．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令m﹣2＝2，求解m的值．
【解答】解：∵关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，
∴m﹣2＝2，
解得m＝4．
故答案为：4．
13．（2025秋 襄城区校级月考）关于x的方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为m　 ．
【答案】m．
【分析】分m＝0和m≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，两种情况讨论，据此求解即可．
【解答】解：当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，解得x＝1，方程有实数根；
当m≠0时，关于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m．
综上，关于x的方程m2x2+（2m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为m．
故答案为：m．
14．（2026 建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ．
【答案】x＝2021
【分析】结合已知条件得到x+2＝2022，求得x即可．
【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，
∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023，
解得x＝2021．
故答案为：x＝2021．
15．（2025秋 太平区期末）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　40　 %．
【答案】40．
【分析】设周平均增长率为x，根据第三周阅读人次是第一周的（1+x）2倍，列出方程求解即可．
【解答】解：设周平均增长率为x，
则根据题意列一元二次方程得，100×（1+x）2＝196，
整理得，（不符合题意，舍去负值），
x＝1.4﹣1＝0.4＝40%．
故答案为：40．
16．（2025秋 漳州期末）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有　①②③　 ．（填正确的序号）
【答案】①②③．
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断．
【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝2代入方程cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得，所以①正确，符合题意；
当ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确，符合题意；
一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，即ac＞1，一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0的根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，则它的倒方程也无解，所以③正确，符合题意；
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，当c＝0，b≠0时，cx2+bx+a＝0为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误，不符合题意．
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 北仑区校级期中）解方程：
（1）2（x﹣2）2＝8；
（2）x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝8，
（x﹣2）2＝4，
则x﹣2＝±2，
所以x1＝0，x2＝4；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
则x﹣2，
所以．
18．（2025春 霍邱县月考）已知实数a是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，求代数式的值．
【分析】由方程的解可得a2﹣2025a+1＝0，可得a2+1＝2025a，a2﹣2024a＝a﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意可得：a2﹣2025a+1＝0．
∴a2+1＝2025a，
∴a2﹣2024a＝a﹣1，
∴．
19．（2025春 桥东区期末）计算
习题课上老师给了一道方程：x2+2x＝3x+6．
嘉嘉的解法 原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0……第一步 ∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步 ∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步 琪琪的解法 原方程可化为：x（x+2）＝3（x+2）……第一步 两边都除以（x+2）………………第二步 ∴x＝3………………………………第三步
（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 　二　 步开始错误，琪琪从第 　二　 步开始错误；
（2）写出方程正确的解答过程．
【分析】（1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第二步开始错误，琪琪从第二步开始错误；
故答案为：二，二；
（2）原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3．
20．（2025秋 绛县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝1，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣2，代入x1+x2﹣4x1x2＝1得出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣2）
＝4k2+1﹣4k+4k+8
＝4k2+9＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣2，
由x1+x2﹣4x1x2＝1得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣2）＝1，
解得：k＝﹣4．
21．（2025春 宿迁校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
22．（2025春 西湖区校级期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
（1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根；
（3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值．
【分析】（1）将一元二次方程（2x+1）2＝1化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含a的代数式表示出来并代入原方程，并把x＝a代入，得到关于a的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
【解答】（1）解：一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．理由如下：
∵（2x+1）2＝1，
∴4x2+4x+1＝1，
∴4x2+4x＝0，
∵a＝4，b＝4，c＝0，
∴b＝a+c，
∴一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．
（2）证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，
∴b＝a+c，
∴ax2+（a+c）x+c＝0，
∴（x+1）（ax+c）＝0，
∴x＝﹣1为“有爱方程”的根．
（3）解：∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，
∴﹣a＝3+b，
∴3x2﹣ax﹣（a+3）＝0，
∵a是该“有爱方程”的一个根，
∴3a2﹣a2﹣（a+3）＝0，
∴（a+1）（2a﹣3）＝0，
∴a＝﹣1或．
23．（2025春 西岗区校级期中）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　 ，x1x2＝　﹣1　 ；
（2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；
（3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10，，且c＜10，求c的最大值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）由 a+b＝c﹣10，，将a、b看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解．
【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，
∴利用根与系数的关系得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
故答案为：3，﹣1；
（2）∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴利用根与系数的关系得：m+n＝3，mn＝﹣1，
∴；
（3）∵a+b＝c﹣10，，
∴将a、b看作是方程的两实数根，
∴，
∵c＜10，
∴c﹣10＜0，
则，
（c﹣10）3+27≤0，
∴（c﹣10）3≤﹣27，
∴c﹣10≤﹣3，
∴c≤7，
∴c的最大值为7．
24．（2026 太和县一模）综合与实践
【项目主题】
探究新款迷你无人机校园营销方案
【项目背景】
某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略．
【项目准备】
数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况．
知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式．
工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格．
【项目实施】
阶段一：销售增长趋势分析
任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率．
阶段二：校园促销方案设计
任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
【项目成果】
科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案．
（1）解决任务1．
（2）解决任务2．
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据2025年11月的销售量×（1+x）2＝2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得；
（2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润＝每架的利润×销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得．
【解答】解：（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为x，
由题意得1125（1+x）2＝1620，
整理得，1125x2+2250x﹣495＝0，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该款迷你无人机的月平均增长率为20%；
（2）设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售（20+2y）架，
由题意得（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
解得y1＝10，y2＝20．
∵需要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：每架迷你无人机的售价应降低20元．

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