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学科融合研究高中物理与数学
3.增长的奥秘
【必备知识】
1.指数幂的运算法则
（a）=aa·a=am;g=a-:a=1
=a1=a;a°=1(a≠0)
2.指数函数的图像与性质
函数
y=a(a>0,且a≠1，x∈R)
a>1
0图像
y=a
2
y=a*
(0,1)
0.1)
2--y=1
-y=1
0
图像特征
在x轴上方，过定点(0,1)
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
单调递增
单调递减
性
函数值变
当x=0时，y=1
质
化规律
当x<0时，00时，y>1当x<0时，y>1;当x>0时，03.对数的运算法则(a>0,且a≠1；>0；N>0)
log1=0;log a=1;log aN N;log (M.N)=log M+log N;logMN Nlog M(nE
R):log6-片1ogd,换底公式1ogb=8g么a>0,且a≠1c>0,且c≠1,6>0》。
log a
4.对数函数的图像与性质
函数
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0<y
y
图像
x=1
y=log,x
x=1
d.o)
0/41,0x
y=logx
图像特征
在y轴右方，过定点(1,0)
定义域
(0,+∞)
值域
R
单调性
单调递增
单调递减
性
函数值变
当x=1时，y=0
质
化规律
当x>1时，y>0:当01时，y<0:当00
·021
学科融合研究高中物理与数学
5.对数函数图像的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图像的升降，即底数>1时，图像上升；
y=log x
y=logx
底数大于0且小于1时，图像下降，
(2)对数函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所以，其中图像的相
、y=logx
对位置与底数大小有关，图中0y=log x
在x轴上侧，图像从上到下相应的底数由小变大
在x轴下侧，图像从上到下相应的底数由小变大，
6.自然对数
以无理数e(e≈2.71828…)为底的对数称为自然对数，记作：loge N=lnN.
由换底公式得：hN-货义-Y3lnN2.3031gN
log.t=In z,In 10-ig e
1
7.放射性元素的衰变规律
放射性元素会自发地放出某种粒子而变成另一种新的元素.在物理学中，把放射性元素
的原子核有半数发生衰变需要的时间称为半衰期.如果某放射性元素的半衰期为T,则质量
为。的放射性元素的原子核经不同半衰期后的剩余质量如表所示.
时间t/T
0
1
2
3
剩下的放射性
1
元素的质量
2
4 mo
8 mo
16mo
2 mo
所以，质量为o的放射性元素的原子核经时间t后剩下的质量为m。
2
,其图像如图
所示.
m
345/
利用放射性元素的衰变规律，可以判断矿石或古生物体的年龄等，
8.抽气与蒸发问题
抽气与蒸发是跟放射性元素衰变非常类似的现象，它们同样涉及指数和对数运算的问
题，在特定条件下同样可以做定量计算.
例如，用抽气机对容器中的空气抽气.假设活塞每运动一个循环，能从容器里抽出一半质
量的气体，那么抽动次后容器里的剩余气体质量m与原有气体质量m。之间的关系为
·022参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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