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学科融合研究高中物理与数学
三、三角函数与图像变换
1.角度与边长
【必备知识】
对于任意三角形ABC,角A、B、C的对边分别为a、b、c,则有
正弦定理ABC:
b
余弦定理：c2=a2+b2-2 abcos C,a2=b2+c2-2 bccos A,b=a2+c2-2 accos B.
室【经典例题1】如图所示，两个质量分别为3m,m的小圆环A,B用不可伸长的细线
面
连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O.系统平衡时，细线所对的圆心角为
90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列
判断正确的是()
A.小圆环A、B受到大圆环的支持力之比为√3：1
B.小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15
C.细线与水平方向的夹角为30°
D细线的拉力大小为号s
费【解析】选A.对小国环A和B递行交力分析，根据平行四边形定则作出重力和支持
力的合力，此合力的大小等于细线的拉力的大小，设小圆环A、B所受的F
支持力与竖直方向的夹角分别为《和3，如图所示，根据正弦定理可以
得到
A
3mg。=F工，mg
FT
450
sin 45
sin a'sin 45 sin B'
由于Fm=Fr',a十B=90°，
整理可以得到a=30°，g=60,F=F'=5m
2 mg.
·052
学科融合研究高中物理与数学
再次利用正弦定理
FNA
√3mg
FNB
mg
in(180°-45°-30)-sin45'sin(180°-45°-60)-sin45,
整理可以得到-宁，故A正确，B、D错误；一
由题图根据几何知识可知，细线与水平方向的夹角为90°一(45°十30°)=15°，故C错误.
【经典例题2】如图所示，同一平面内两个共点力F、F2与Ox轴夹角分别为a和B,
为了使它们在Ox轴上的分力之和有最大值，Ox轴在该平面内绕O点逆时针转过的角度0
应满足的条件为()
A.0=&
B.0=3
C.a<03
D.0=&+3
2
力P在0：轴上的分力之和等于它们的合力在
余弦定理可知F1、F2的合力F=√F2十F22十2FF2cos(B-a).
这是一个确定的值，这个分力与F1的夹角9也是一个定值，如图
所示.
F
现使Ox轴绕O点逆时针转过0角，如图中的Ox'所示，则合力F
与Ox'之间的夹角为(9十a一)，此时F、F2在Ox'上的分力之和同样
0节
等于F在Ox'上的分力，所以F1cos(a-0)十F2cos(B-)=Fcos(9十
a-8).
当c0s(9十a一)=1时，两个分力之和有最大值，其值等于F,由图可知转过的角度应该
满足条件为a<0这是一个简单的三角函数最值问题，一些同学对两个共点力在某轴上的分力之和与它们
的分力在同一轴上的分力的关系不熟悉，缺乏作图尝试的习惯，通过练习本题学生可以掌握
该知识点。
【经典例题3】熊蜂能够以最大速度，竖直向上飞，以速度2竖直向下飞，熊蜂“牵
引力”与飞行方向无关，空气阻力与熊蜂速度大小成正比，求熊蜂与水平方向成角α飞行时的
最大速度
·053参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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