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学科融合研究高中物理与数学
2.三角函数
【必备知识】
一、关于斜面或正交分解问题中的两个角之间的关系
1.若一个角的两条边和另一个角的两条边平行，则这两个角相等或互补；当两个角都是
锐角或都是钝角时，这两个角相等；如果这两个角一个为锐角，一个为钝角，则这两个角互补.
如下图所示，0=a1·
2.若一个角的两条边和另一个角的两条边垂直，则这两个角相等或互补：当两个角都是
锐角或都是钝角时，这两个角相等；如果这两个角一个为锐角，一个为钝角，则这两个角互补
如下图所示，0=02,0=2,0十0=π.
3.如果两个锐角的两边，一对相互垂直，一对相互平行，则这两个角互余.
如下图所示，0十0=受，0十a:=受
,0
B
A0
b
C
二、三角的定义
1.初中时的定义，如图甲所示.在直角三角形ABC中，有
sinA=∠A的对边_a=a
斜边c√a2十6
aA∠A韵邻边-力-6mA=A的对边4
斜边
c√a2+&
∠A的邻边b
y
P(xy)
R
b
图甲
图乙
2.高中时的定义，如图乙所示.从圆周运动的角度定义任意三角函数.在平面直角坐标系
中，有一圆心在坐标原点，半径为R的圆，动点P从x轴正半轴与圆交点处开始沿圆绕圆心
逆时针匀速转动，则∠POx将不断增大，某时刻P点的坐标为(x,y),设∠POx=0,则
正弦n0=为，余弦cos0-京·正切tan0=兰(x≠0)，因此am0-m9
cos 0
·062
学科融合研究高中物理与数学
3.相关公式.
(1)熟记下表结果
0°、30°、37°、45°、53°、60°、90°、180°的角的三角函数值
0
30
37°
45
53
60
90
180
270
1
4
sin
0
2
3
2
1
0
5
-1
2
5
2
3
1
cos
1
2
5
5
-1
2
0
0
2
2
0
3
3
tan
0
3
4
3
3
(2)诱导公式及相关公式
sin(90°±0)=cos0,cos(90°-0)=sin0,cos(90°+0)=-sin0,sin20+cos20=1,1+tan0=
1
cos20:1+
1
1
tan20 sin20'
(3)两角和差的正弦、余弦、正切公式
sin(A±B)=sin Acos B±cos Asin B.
cos(A±B)=cos Acos B千sin Asin B.
1am(A士B=
sin 20=2sin Ocos 0.
cos20=cos20-sin20=2cos20-1=1-2sin20→cos0=±
cos 20+1
2
sin
/1-c0s20
2tan 0
士、2
,tan 20-1-tan0'
(4)和差化积公式
sin sin-2sincosinsin -2cosin
2
2
2
2
cos 0+cos-2coscoscos 0-cos-2sinn
2
2
2
2
(5)积化和差公式
sin 0sin B--2[cos(0+B)-cos(0-B)]cos 0cos B-[cos(cos(0-)].
sin Ocos B=
[sin(B)+sin(0-8].cos 0sin 8-[sin(0+B-sin(0-8)].
·063参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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