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学科融合研究高中物理与数学
3.三角函数求最值
【必备知识】
三角函数在物理的应用中涉及比较多的问题就是求最值，常见的形式如下：
(1)y=asin0士bcos0,常化为y=√a2+bsin(0士3)或y=√a2+bcos(0干3).
(2)倍角公式：y=2sin0cos0=sin20.
(3)y=sin0cos0或y=sin0cos20,利用升幂、配凑、不等式进行求解.
如y=sin0cos20,两边平方均乘以2可得2y2=2sin0cos0=2sin0cos20cos20,
由均值不等式xy≤()，可得2y<2s0+co0+os0-(层)
2V3
取得等号的条件为2sin0=cos0,y≤9，
(0形如y。0或y一品的函数最值。
这种形式求最值，解法较多，采用数形结合比较简单，
。0%6其中a是大丁1的常数)求最值
如y=
设k=sin0
a十cos0一c0s0(一a,即k可以看作平面直角坐标系中过单位圆上一动点
sin 0-0
Q(cos0,sin)与定点P(一a,0)的直线的斜率，如图所示
当PQ与单位圆相切时，k取得最值，设两切点分别为M、
Q(cos0,sinθ)
N,有kmas=kpw=tan∠OPN=pN=三及
专；kmim=kPM=(π一
(-a.0)
∠OPM0=-OM
1
PM
wa2-1
csin0+d或y=acos0+b
(5)形如y=asin0+b
ccos 0+d
的函数的单调性
此类函数均可通过分离常数项和坐标平移转化为反比例函数来讨论其单调性.
【经典例题1】判断函数)一日的单调性，并求极值。
(解折】合n9=,1,画技交为y2是29222
x=2,所以y-2=
2
x-2
·077
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显然，此函数图徐是由反北制画数y=一交（这里及=号，实际问
题中可以取任意值)图像向上平移2个单位长度，向右平移2个单
2,2)
位长度得到，渐近线交点为(2,2)，由图像可知，
品数y一在区间[-1,1]内单调运增，则
01
=水-10-{0胃2日=f1-1=-2分
2×(-1)-4
【经典例题2】半径为R的圆盘在竖直平面上绕水平轴0匀速旋转，边缘速度为
轮边缘有水滴从各位置甩出，求轮边缘抛出的水滴相对水平轴O上升的最大高度及相应的
抛出点位置.
【解析】如图所示，假设圆盘顺时针旋转，0A是水平面线，设∠AOB=0,甩出水滴的
初速度等于B点的线速度，由匀速圆周运动的对称性易判断上升高度
H最大时0必在0°一90°之间，由抛体运动可知H随0变化的函数关系
H=Rsn9+V29-一若r0+Rsmg
0c0
A
2g
2g'
令sin0=x,则上式变为H=-
i+Rx+
28
2g
其中0≤x≤1，问题转化为二次函数区间内的最值问题，
化荷得H=一)+袋+
2g(
2g
此二次函数图像开口向下，对称轴x=5与区间[0,1]关系未定，分类讨论区间内的最值。
v2
()若歌<1，如因甲所示，因像项点在区间内，函款最大位为顶点级坐标，即H一器
2
+,此时，sin0=x=
2·
x-ER
x=8R
Ht
2
H
01
图甲
图乙
(2)若R≥1，如图乙所示，图像项点在区间右侧或区间右边界，二次函数在区间内单调
2
递增，则当x=1时，函数取得最大值，易得Hmx=R,此时sin0=x=1,0=90°.
·078参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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