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学科融合研究高中物理与数学
四、数列之美
数列
【必备知识】
物理情境中有很多问题与数列有关，某一复杂物理过程中如果同一物理情境重复出现，
往往会涉及数学归纳法和数列知识，
(1)高中物理涉及的数列知识主要有等差数列和等比数列的通项公式以及它们的前项
和公式
解题的基本思路分三步：
第一步，逐个分析开始阶段的几个物理过程；
第二步，利用数学归纳法寻找变化物理量的通项公式；
第三步，应用数列知识分析求解：
(2)等差数列的通项公式为a.=4十(n-1)d前n项和公式为S,=m(a,十a,=na十
2
n(n1)d,其中a为首项，d为公差。
2
(3)等比数列的通项公式为an=a1g-1
a(1-g")
9≠1，
aanq
等比数列前n项和公式为Sm=
1-q
或Sn=
1-99≠1，
其中a1为首
na1,q=1,
na1,q=1,
项，9为公比
【经典例题1】一质点从原点O沿x轴正方向运动，位移为α，紧接着转折90°沿y轴
正方向运动，位移为ar,再折转90°沿x轴正方向运动，位移为ar2,再转折90°沿y轴正方向
运动，位移为ar3,…以此继续下去，求质点运动的轨迹.(r|<1,a≠0且a为常数)
1,每次折转后的位移均比前一次的位移小，画
示，取轨迹中的坐标为(x,y)的任意点进行研究，则有
x=a十ar2十ar+ar5+…
arard
y=ar十ar3十ar5+ar+…
可见，x、y均为一个首项分别是a、ar,公比为r2的等比数列
arar
·094
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之和，
所以x=412三、y=a”《1二”〉，
ar
1-r2
1r2
则有2-=a,1-r)=a·1,=ax,
a
上式可以写成
这是一个双曲线方程，可见该质点的轨迹是双曲线的一部分，
【经典例题2】A、B两点相距为s,将AB等分为n段，小车从A点静止出发，第一段
的加速度为a,第二段的加速度为a十”，第三段的加速度为a+,求小车到达B点的
速度
【解析】对每一小段应用v2一2=2ax即可.
第1段：2=2·a·三；
第2段：2-心2=2·(a+a)·三
n
第3段：w-=2:(a+9）·月
第n-1段：u2-,g2=2.「a+n-2)a].三
n
第n段：g2-12=2.「a+n1)a].s
nn
全部求和并化简，可得s一
(3n-1)as
【经典例题3】一个小球从20的高度自由下落，碰着地后又竖直弹起，每次弹起时
的速度是者地时速度的号，求小球从开始下落到停下来所用的时间。
【分析】若第1次落地的速度为，则第1次弹起速度为，第2次弹起速度为
）v,第3
次起跳速度为()，…，最后1次弹起速度为（）.每次都做直上批运动，求出每次的时
间再相加即可，
·095参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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