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学科融合研究高中物理与数学
五、导数与微元的思想
1.导数
【必备知识】
1.常用函数的导数：
(1)原函数为y=c(c为常数)，导数为y=0.
(2)原函数为y=x”,导数为y=n.x”-1。
(3)原函数为y=sinx,导数为y'=cosx.
(4)原函数为y=cosx,导数为y=-sinx.
2.导数的四则运算：
1)u士o)'=a士o2(uw/=o+aw:(3(台广=“o,0
【经典例题1】如图所示，一人通过动滑轮斜向上拉一水平地面上的物体，假定绳子
面
不可伸长且始终绷紧，某时刻此人拉绳的速度大小为，绳与水平面的夹角为0，求此时物体
运动的速度的大小.
【解析蜘因所示，不坊将昆子末瑞加长，与墙面相文于A点，A点矩地面的高度为
h,动滑轮P与墙面的距离为x,墙面左边的绳子的总长度为l,则有(=x十√x2十h.
将1看作关于x的画数，对x求导数可得'(x)=1十号·
2x
2
Vx2十h2
1+x
=1+cos0.
√x2+h2
而实际上，x也是关于时间t的函数，根据复合函数求导公式有
l'[x(t)]=1'(x)x'(t)=(1+cos0)x'(t).
根据导数含义知(t)是绳子长度变化的速度的大小，即拉绳子的速度，x'()即物体运
动的速度知的大小，故十C0s日当然此题也可从功的原理出发，利用功率相等计算。
·110
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【经典例题2】如图所示，两个半径均为R的薄圆环（环心分别为O,和O2)在同一平
面上，令左边的圆环静止，右边的圆环O2紧贴左边的圆环O并以速度沿O1O2的连线方向
向左运动，试求两圆环上部的交点A的速度与两环圆心间距d的关系.
【解析】如图建立平面直角坐标系xO,y,设任意时刻t两环圆心之间的距离为d=
t,则
圆环O1的方程为x2十y2=R,
圆环O2的方程为(x一t)2十y2=R2,
两式相减得A点的榜坐标x=,故w=(0=
将圆环O方程对时间t求导数可得2xx'(t)十2yy'(t)=0,
化简得y'(t)=一工x'(),
y
即UA=-乙UA:,
y
所以2=n2十a,2=+y
y204.2=R2
又因为当两环圆心间距为d时，有y2=R
()”,代入上式可得=VR-示”
R
器【经典例题3】某人在水平地面上抛出一沙包.问：必须以什么角度抛出，才能保证此
物在运动过程中始终远离抛出点？
C解析】设抛出时沙包的初速度为 ，指射角为0.1时刻沙包的住形大小为，圆
g=(cos00r+(sin0t-ser广-gt-gn0f+r.
令上式右边为()，即y()=g-gin0·十心，只要y(0在1>0时随1增大即
可保证s也随t增大.对y(t)求导数得y'(t)=g2t3一3 ogsin0·t2十2t=t(g2t2一3 vgsin0·
t+2).要使y(t)在t>0时为增函数，必须使y'(t)>0,即gt2-3 vgsin0·t+2u2>0.
g2t2-3 ugsin Ot+22可看作是关于t的一元二次方程，△=(-3 vgsin0)2-8g22<0,
化荷得sm0<2号，即角度小于0,5
·111参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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